5. ОЦЕНКА ПРОСТЫХ И СЛОЖНЫХ ЦЕННОСТЕЙ

Пусть рассматриваемая проблема уже определена, установлены её грани-

цы и выработан набор альтернативных действий, которые нужно оценить.

Допустим также, что проблема структурирована в виде дерева решений и найде-

ны вероятности для всех ветвей, исходящих из вершин-случаев. Предположим,

что в данный момент лицо, принимающее решение, приступает к количествен-

ному описанию своих предпочтений относительно возможных последствий.

В некоторых случаях удаётся объективно охарактеризовать каждое по-

следствие каким-то одним числом, которое будет адекватным отображением всех существенных моментов, с которыми мы сталкиваемся при движении вдоль этого пути. Например, в проблемах, связанных с бизнесом, таким числом может быть денежная величина, с помощью которой полностью описываются все финансовые соображения, в то время как остальные аспекты проблемы пока оставляются в стороне. В медицине этим числом может быть степень выздо-

ровления для данной болезни. В таких проблемах последствия адекватно харак-

теризуются посредством объективного, одномерного и поддающегося числово-

му описанию критерия.

Проблемы такого рода мы будем называть проблемами с простыми (иначе говоря, одномерными) ценностями в противоположность проблемам со сложны-

ми (многомерными) ценностями. В проблемах со сложными ценностями послед-

ствия не могут быть объективно и адекватно описаны одним критерием.

Решение проблем с простыми ценностями не представляло бы (по край-

ней мере в концептуальном плане) особой сложности, если бы не было неопре-

делённости, если бы на дереве решений не было вершин-случаев, придающих движению по дереву случайный характер. В таком случае мы имели бы просто проблему максимизации с хорошо определённой целевой функцией.

В случае, когда на каждом шаге принятия решений результат не может быть охарактеризован одним критерием, а приходиться анализировать послед-

ствия по n критериям, имеет место быть многомерная задача.

13

Таким образом, возможно четыре варианта задач: одномерная детерми-

нированная; многомерная детерминированная; одномерная с неопределённо-

стями; многомерная с неопределённостями.

5.1. ОДНОМЕРНАЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННАЯ ЗАДАЧА

Постановка задачи. Пусть выбран один критерий, характеризующий по-

ставленную цель и известны решения, приводящие к тем или иным последстви-

ям, причём каждое решение приводит к строго определённому последствию

(неопределённость отсутствует). Необходимо найти такие решения, при кото-

рых достигается экстремум выбранного критерия.

Поиск решения одномерной детерминированной задачи осуществляется известными методами линейного, нелинейного, динамического программиро-

вания. В этом случае оптимальное решение может быть найдено вне зависимо-

сти от лица, принимающего решение, его субъективного мнения.

Во всех остальных случаях система поддержки принятия решений под-

сказывает возможное решение, которое зависит от факторов, задаваемых ЛПР.

Соответственно, качество конечного решения будет зависеть от квалификации ЛПР, его опыта и в сильной степени является субъективным.

5.2. МНОГОМЕРНАЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННАЯ ЗАДАЧА

Постановка задачи. Пусть выбрано n критериев, характеризующих по-

ставленную цель и известны решения, приводящие к тем или иным последстви-

ям, причём каждое решение приводит к строго определённым значениям вы-

бранных критериев (неопределённость отсутствует). Необходимо найти такие решения, при которых достигается экстремум всех выбранных критериев.

Втакой постановке во многих случаях задача не может быть решена, так как зачастую критерии противоречат друг другу и их экстремумы достигаются при разных решениях.

Вэтом случае меняется постановка задачи. Здесь используют различные

методы [3]:

14

А) Метод главного критерия. Выбирается один критерий, остальные рассматриваются как ограничения. Рассмотрим пример: требуется спроектиро-

вать аппарат, имеющий как можно большую производительность и имеющий как можно меньшие размеры. В этом случае постановка задачи по методу глав-

ного критерия будет звучать: спроектировать аппарат, имеющий как можно большую производительность при заданных размерах. Или, наоборот, имею-

щий как можно меньшие размеры при заданной производительности. Здесь ре-

шение задачи зависит от того, какое значение ограничения будет задано лицом,

принимающим решение.

Б) Метод с использованием функции полезности. Метод заключается в объединении всех критериев в один. В реальных задачах критерии, как прави-

ло, имеют различные размерности и сильно отличающиеся диапазоны измене-

ния. В таких случаях прежде, чем объединять критерии, необходимо осущест-

вить процедуру их нормализации. Пусть для каждого критерия Ri известны его минимальное Rimin и максимальное Rimax значения. Тогда нормализованные зна-

чения критерия примут вид:

Далее строится новый глобальный критерий (называемый «полезность»),

куда в виде аддитивной или мультипликативной свёртки с весовыми коэффи-

циентами, отражающими важность локального критерия, входят все локальные критерии.

Рассмотрим пример: требуется спроектировать технологическую линию,

имеющую максимально возможную производительность, максимальное каче-

ство готового продукта и минимальное энергопотребление. Для этого примера постановка задачи будет выглядеть так: найти варьируемые переменные, при которых аддитивный критерий KR1 или мультипликативные критерии KR2, KR3

будут максимальными:

KR1 = αĀ + βŪ – γĒ → max;

15

KR2 = (αĀŪ)/Ē → max;

KR2 = ĀαŪβĒ-γ → max,

где Ā – нормализованное значение критерия производительности; Ū – нормали-

зованное значение критерия качества; Ē – нормализованное значение критерия

энергопотребления; α, β, γ – весовые коэффициенты.

В данном методе субъективность лица, принимающего решение, заклю-

чается в выборе весов α, β, γ.

В) Лексикографическое упорядочение. Упорядочение объектов осуще-

ствляется таким образом, что, например, объект А предпочитается объекту В,

если он имеет бόльшую оценку по наиболее важному критерию R1, невзирая на то, насколько он является хорошим или же плохим по другим менее важным критериям. Но если значения R1 для объектов А и В совпадут, вводится в рас-

смотрение следующий по важности критерий R2 и по нему выбирается предпо-

читаемый объект. Соответственно, в случае совпадения оценок по критериям

R1, R2 вводится критерий R3 и т.д. Термин «лексикографическое» объясняется

тем, что эта процедура напоминает построение словаря.

Г) Оптимизация по Парето. Пусть действия а1 и а2 приводят к последст-

здесь имеется в виду, что все критерии максимизируются.

Решение а* является эффективным (парето-оптимальным, недоминируе-

мым, неподчиненным), если не существует решения а, для которого

Ri(a) ≥ Ri(a*), i = 1, 2, ..., n и значение хотя бы одного критерия лучше (больше),

16

нежели у a*. Совокупность всех возможных эффективных решений a* образует множество Парето. В качестве примера на рис. 5.1, 5.2 представлена геометри-

ческая иллюстрация области Парето задачи оптимизации двумерной векторной функции R = {R1, R2}, зависящей от двух решений а1, а2. Оба критерия для определённости максимизируются; через Е1, Е2 обозначены глобальные макси-

мумы, соответственно, критериев R1, R2.

Рис. 5.1. Область Парето в критериальных координатах

Рис. 5.2. Область Парето в координатах управляющих воздействий

17

К методам поиска решения задачи относятся методы построения области Парето и последующего выбора из этой области решения, наиболее предпочти-

тельного с точки зрения лица, принимающего решение. Частным случаем тако-

го подхода является поиск любой точки области Парето, так как с точки зрения паретовского отношения порядка все точки области Парето равноценны.

Рассмотрим метод решения задачи в постановке Парето [12].

Из рисунков 5.1, 5.2 хорошо видно, что глобальные экстремумы критери-

ев R1, R2 принадлежат области Парето (это следует из её определения).

Первым этапом работы алгоритма будет ранжирование всех критериев в порядке увеличения трудоёмкости поиска глобального экстремума. Трудоём-

кость рассчитывается в виде суммы вычислительных затрат на решение систе-

мы уравнений математической модели и работу алгоритма оптимизации с учё-

том свойств зависимости критерия от варьируемых переменных (наличия ло-

кальных экстремумов, овражности, степени выпуклости и т.д.).

На втором этапе осуществляется поиск варьируемых переменных, дос-

тавляющих глобальный экстремум отдельным критериям без учёта остальных.

При этом поиск начинается с критерия, имеющего минимальную трудоёмкость такого поиска. Для найденных оптимальных по первому критерию решений вычисляются остальные критерии и полученный результат выдается лицу, при-

нимающему решение. Если результат его удовлетворяет, работа алгоритма за-

вершается; в противном случае осуществляется решение задачи скалярной оп-

тимизации для следующего по трудоёмкости поиска экстремума критерия и т.д.

На рисунке 5.1 показана работа второго этапа рассматриваемого алгорит-

ма. Предположим, что трудоёмкость поиска экстремума критерия R1 меньше,

чем R2. Тогда на первом этапе работы алгоритма лицу, принимающему решение будет предложена сначала точка 1 со значениями критериев R1 = Е1, R2 = R2,1,

затем, если она его не удовлетворяет, точка 2 со значениями критериев R1 = = R1,2, R2 = E2.

Таким образом, поиск произвольной точки области Парето, по сравнению с известными методами, будет осуществляться с меньшими вычислительными

18

затратами, так как на каждом шаге поискового алгоритма вычисляется только один критерий Ri, а все остальные – только в точке экстремума критерия Ri.

Если ни одна из найденных на втором этапе работы алгоритма крайних точек области Парето не удовлетворяет лицо, принимающее решение, осущест-

вляется переход к третьему этапу – построению всей области Парето.

На четвёртом этапе производится выбор компромиссной точки из постро-

енной на третьем этапе области Парето на основе дополнительной информации.

В данном случае субъективность ЛПР заключается в выборе точки облас-

ти Парето.

Д) Метод анализа иерархий (МАИ) считается наиболее эффективным и широко используемым методом многокритериального принятия решений для исследований в различных областях [4]. МАИ обеспечивает удобный подход к анализу проблем, связанных с принятием решений. Это метод оценки субъек-

тивных и объективных функций для помощи пользователю в принятии прием-

лемого решения. Ещё одной важной особенностью МАИ является достижение консенсуса в процессе принятия решений в группах. Метод обладает способно-

стью направлять лиц, принимающих решения, для достижения наилучшего и оптимального решения их проблемы, а не для получения «правильных» отве-

тов. Он предлагает широкую и сбалансированную иерархическую структуру для решения проблем принятия решений на основе общей цели и соответст-

вующих критериев. МАИ имеет множество применений в разнообразных си-

туациях, таких как принятие решений, ранжирование, расстановка приоритетов.

Метод помогает количественно оценить вес оцениваемых критериев в виде чи-

сел. Вес критериев каждого элемента определяет его относительную важность по сравнению с другими элементами иерархии. Следовательно, это облегчает лицам, принимающим решения, идентификацию и определение приоритетов значимых факторов. Помимо этого, расчет индекса несогласованности является ещё одной важной особенностью метода. Это позволяет лицам, принимающим решения, проверять последовательность своих суждений. Более высокое значе-

ние индекса несогласованности, т.е. более 0.10, не следует считать допусти-

19

мым, и в таких расчётах требуется переоценка. Основные этапы, необходимые для использования МАИ, включают построение иерархии, попарные сравнения,

получение относительных весов, проверку согласованности и обобщение ре-

зультатов.

Построение иерархии. Построение иерархической структуры является краеугольным камнем в МАИ. Оно рассматривается как важный этап метода, и

не существует специализированного подхода для построения иерархии. По-

строение иерархии является процессом сверху вниз и состоит из нескольких уровней. Элементы иерархических уровней управляются таким образом, чтобы они были одинакового масштаба и величины. Элементы одного и того же уров-

ня иерархии должны быть соотнесены с другими соответствующими фактора-

ми структуры. Формирование иерархии в МАИ обычно начинается с цели бо-

лее высокого уровня и подразделяется на факторы принятия решений более низкого уровня. В любой модели количество иерархических уровней зависит от сложности проблемы и степени количественной оценки для каждого элемента.

Однако типичная модель обработки аналитических иерархий состоит из четы-

рёх уровней. Он начинается с уровня 1 (цели или задачи), связанные с ним ос-

новные критерии (уровень 2), подкритерии (уровень 3), а уровень 4 иерархии содержит варианты альтернатив. В целом, критерии, подкритерии и альтерна-

тивные варианты сгруппированы для достижения цели или задачи уровня 1. Попарное сравнение. После построения иерархии следующим шагом яв-

ляется установление относительной важности основных критериев и подкрите-

риев путём их сравнения в виде пар. Это важный шаг, который рассматривается как основной в МАИ. Во время этого процесса элементы в каждом наборе ие-

рархии сравниваются с соответствующими элементами группы. Для этого ис-

пользуется девятибалльная шкала, которая показана в табл. 5.1, для измерения относительной важности элементов. Интенсивность этой шкалы колеблется от одного до девяти. При сравнении вариантов нет «правильного» или «непра-

вильного» выбора. Тем не менее, это выбор предпочтения между двумя пунк-

тами числовой шкалы. При выборе между двумя пунктами следует отметить,

20

4Между умеренным превосходством и значительной важностью

какое предпочтение более важно по сравнению с другим пунктом на том же уровне иерархии. Вторым ключевым аспектом является присвоение числового значения для количественной оценки суждения.

Попарные сравнения записываются в матрицу решений. Алгебраическое представление матрицы решения имеет следующий вид:

где n – количество оцениваемых элементов.

Элементы aij матрицы (5.1) являются относительными суждениями между двумя альтернативами i и j таким образом, что i-я строка соответствует j-му столбцу. Для элементов матрицы характерны следующие особенности:

21

при этом элемент aij также может быть задан следующим образом:

где wi, wj – относительный вес i-й и j-й альтернатив.

Получение относительных весов. Этот шаг требует оценки относитель-

ных весов для каждого из критериев и подкритериев иерархии принятия реше-

ний. Исследователи разработали множество подходов для оценки относитель-

ных весов на основе матрицы сравнения. Однако для получения относительных весов обычно используются собственные векторные и логарифмические мето-

ды. Томас Саати в 1991 г., как основоположник МАИ, предложил метод собст-

венных векторов, основанный на теории матриц. В этом методе соответствую-

щие веса элементов решения определяются путём сравнения нормированного собственного значения с основным собственным значением. В соответствии с уравнениями (5.2) – (5.4), матрица (5.1) может быть представлена следующим

для которой требуется найти собственный вектор w вида:

Несмотря на многие другие подходы, среднее геометрическое считается лучшим выбором для генерации собственного вектора. Оно рассчитывается пу-

22

тём умножения каждой строки приведённой выше матрицы. Поскольку суще-

ствует n элементов, то берется корень n-й степени. Наконец, нормализованные корни получаются путём выведения общего числа и последующего деления их на общий результат. Томас Саати предположил, что собственные значения не согласуются с этим подходом. Таким образом, перед окончательной обработкой результатов необходимо провести тест на согласованность.

Проверка согласованности. Величина коэффициента оценки согласо-

ванности (ОС) является важным аспектом МАИ. Оптимальное принятие реше-

ний при попарном сравнении в основном связано с допустимым значением оценки согласованности. Этот шаг действует как шлюз для наблюдения за со-

гласованностью и противоречивостью матрицы решений. Как правило, для по-

парного сравнения рассматриваются проверки согласованности кардинальных и порядковых значений. Порядковая последовательность требует, чтобы, если a

больше, чем b, а b больше, чем c, то a должно быть больше, чем c. Однако кар-

динальная согласованность утверждает, что требуется более сильная взаимо-

связь между факторами, подлежащими оценке. В этом случае, если a в два раза важнее b, а b в три раза важнее c, то a должно быть в шесть раз важнее c. Для расчета оценки согласованности была предложена случайная согласованность

(СС) для измерения согласованности весов, значения которой представлены в табл. 5.2.

В связи с этим допустимый диапазон коэффициента оценки согласован-

ности должен быть равен или меньше 0,10. Пересмотр в попарном сравнении является обязательным, если коэффициент оценки согласованности больше этого граничного значения.

5.2. Случайная согласованность

23

Обобщение результатов. Последний шаг начинается с суммирования относительных значений для каждого набора альтернатив на всех уровнях ие-

рархии. Эти значения объединяются вместе, чтобы определить общую оценку или вес критериев для каждой альтернативы. В результате благодаря этой до-

полнительной функции получаются нормализованные локальные векторы при-

оритетов. Теперь окончательные приоритеты синтезируются путём агрегирова-

ния произведения локального вектора приоритетов и относительных весов со-

ответствующей альтернативы. Процесс агрегирования начинается с нижнего уровня иерархии и продолжается вверх к цели самого высокого уровня. Умест-

но отметить, что суммирование всех весов альтернатив и их соответствующей важности равно 1,00. Следующее уравнение показывает упрощенную арифме-

тическую формулировку для агрегирования весов альтернатив на разных уров-

нях иерархии:

глобальный приоритет альтернативы = ∑[(вес альтернативы по критерию)×

При таком расчете наиболее значимая альтернатива имеет наибольшее значение среди остальных.

Решение задачи многокритериального принятия решения с использо-

ванием МАИ. Пусть имеется задача выбора ноутбука к покупке. Сведения о рассматриваемых альтернативах приведены в табл. 5.3. Выбор осуществляется среди четырёх альтернатив (Lenovo IdeaPad 330-15AST – A1, Acer Aspire 3 A315- 21-69VM – А2, Lenovo Ideapad 330-17AST – A3, HP 15-ra069ur – A4), оцениваемых по пяти критериям (Операционная система – K1, Плотность пикселей – K2, Тип процессора – K3, Длительность работы – K4, Стоимость – K5). По данным крите-

риям желательно иметь следующие значения: K1 – K 4 → max, K5 → min.

На рисунке 5.3 приводится декомпозиция задачи выбора ноутбука в ие-

рархию.

24

5.3. Сведения о рассматриваемых альтернативах

Рис. 5.3. Декомпозиция задачи в иерархию

Осуществим попарные сравнения критериев между собой с использова-

нием табл. 5.1:

−K2 имеет значительную важность перед K1;

−K3 имеет сильное превосходство перед K1;

25

−K4 имеет очень сильное превосходство перед K1;

−K5 имеет сильное превосходство перед K1;

−K3 имеет умеренное превосходство перед K2;

−K4 имеет значительную важность перед K2;

−K5 имеет умеренное превосходство перед K2;

−K4 имеет умеренное превосходство перед K3;

−K4 имеет умеренное превосходство перед K5;

−K5 имеет равное значение с K3.

Результаты попарных сравнений критериев и расчётов их важности пред-

ставлены в табл. 5.4.

5.4. Попарные сравнения критериев и расчёт их важности

Вычислим среднее геометрическое значение для каждой строки попарной оценки критериев:

1/5

Ср. геом. 1 = (1 · 1/5 · 1/7 · 1/9 · 1/7) = 0,214;

1/5

Ср. геом. 2 = (5 · 1 · 1/3 · 1/5 · 1/3) = 0,644;

1/5

Ср. геом. 3 = (7 · 3 · 1 · 1/3 · 1) = 1,476;

1/5

Ср. геом. 4 = (9 · 5 · 3 · 1 · 3) = 3,323;

1/5

Ср. геом. 5 = (7· 3 · 1 · 1/3 · 1) = 1,476.

Осуществим расчёт суммы значений по каждому столбцу:

26

Сум. стб. 1 = 1 + 5 + 7 + 9 + 7 = 29;

Сум. стб. 2 = 1/5 + 1 + 3 + 5 + 3 = 12,2;

Сум. стб. 3 = 1/7 + 1/3 + 1 + 3 + 1 = 5,476;

Сум. стб. 4 = 1/9 + 1/5 + 1/3 + 1 + 1/3 = 1,978;

Сум. стб. 5 = 1/7 + 1/3 + 1 + 3 + 1 = 5,476;

Сум. стб. ср. геом. = 0,214 + 0,644 + 1,476 + 3,323 + 1,476 = 7,133.

Определим значения важности критериев:

w1 = Ср. геом. 1 / Сум. стб. ср. геом. = 0,214 / 7,133 = 0,030; w2 = Ср. геом. 2 / Сум. стб. ср. геом. = 0,644 / 7,133 = 0,090; w3 = Ср. геом. 3 / Сум. стб. ср. геом. = 1,476 / 7,133 = 0,207; w4 = Ср. геом. 4 / Сум. стб. ср. геом. = 3,323 / 7,133 = 0,466; w5 = Ср. геом. 5 / Сум. стб. ср. геом. = 1,476 / 7,133 = 0,207.

Сумма значений важности критериев w1 – w 5 должна равняться 1: w1 + w2 + w3 + w4 + w5 = 0,030 + 0,090 + 0,207 + 0,466 + 0,207 = 1,000.

Далее рассчитаем максимальное собственное значение матрицы решения:

λmax = Σ (Сум. стб. i·wi) = 29,000 · 0,030 + 12,200 · 0,090 + 5,476 · 0,207+ + 1,978 · 0,466 + 5,476 · 0,207 = 5,161.

Вычислим индекс согласованности для матрицы решения:

ИС = (λmax – n) / (n – 1) = (5,161 – 5) / (5 – 1) = 0,040.

По таблице 5.2 случайная согласованность СС = 1,12 для n = 5.

Определим отношение согласованности:

ОС = ИС / СС = 0,040 / 1,12 = 0,036.

Поскольку отношение согласованности меньше 0.10, то матрицу решения можно считать согласованной, а рассчитанные w1 – w 5 корректными.

Далее по аналогии проведём попарные сравнения альтернатив А1 – А4 по каждому из критериев K1 – K 5 и расчёты их важности w1 – w 5, а также вычислим для каждой матрицы решения λmax, ИС и ОС. Полученные результаты представ-

лены в табл. 5.5 – 5.10.

Поскольку отношение согласованности ОС в табл. 5.10 не превышает

0,10, то матрицы решения можно считать согласованными, а рассчитанные для них w1 – w 5 корректными.

27

5.5. Попарные сравнения А1 – А4 по K1 и расчёт их важности

5.6. Попарные сравнения А1 – А4 по K2 и расчёт их важности

5.7. Попарные сравнения А1 – А4 по K3 и расчёт их важности

28

5.8. Попарные сравнения А1 – А4 по K4 и расчёт их важности

5.9. Попарные сравнения А1 – А4 по K5 и расчёт их важности

5.10. λmax, ИС и ОС для каждой матрицы решения

Сведём рассчитанные важности в табл. 5.4 – 5.9 в табл. 5.11 и осуществим расчёт вектора глобальных приоритетов для альтернатив:

29

5.11. Расчёт вектора глобальных приоритетов для альтернатив

Глобальный приоритет:

А1 = 0,030 · 0,045 + 0,090 · 0,424 + 0,207 · 0,055 +0,466 · 0,153 + 0,207 · 0,548 = = 0,236.

Глобальный приоритет:

А2 = 0,030 · 0,318 + 0,090 · 0,424 + 0,207 · 0,118 +0,466 · 0,062 + 0,207 · 0,240 = = 0,151

Глобальный приоритет:

А3 = 0,030 · 0,318 + 0,090 · 0,103 + 0,207 · 0,263 +0,466 · 0,153 + 0,207 · 0,147 = = 0,175

Глобальный приоритет:

А4 = 0,030 · 0,318 + 0,090 · 0,050 + 0,207 · 0,564 +0,466 · 0,632 + 0,207 · 0,065 = = 0,439

Рассчитанные значения вектора глобальных приоритетов представлены в виде столбчатой диаграммы на рис. 5.

Рис. 5.4. Рассчитанные значения вектора глобальных приоритетов

30