Переходные процессы и спектры. Учебное пособие

14.Каков физический смысл спектральной функции и что представляет собою по определению размерность спектральной плотности амплитуд одиночного сигнала?

15.Какими теоремами определяются свойства спектра сигнала

взависимости от изменения его параметров?

16.Как определяется мощность периодического и непериодического сигналов через их спектры?

17.Как можно с помощью спектрального представления охарактеризовать свойства единичного сигнала и единичного импульса?

18.Каким образом можно определить реакцию цепи на негармоническое воздействие с помощью спектрального метода?

19.Какие требования необходимо предъявить к свойствам электрической цепи для передачи через нее сигналов без искажений?

7.1.Задачи для самостоятельного решения

7.1.1.Напишите зависимость, выражающую пятую гармонику сигнала u t в тригонометрической форме, если известно

из спектра амплитуд и спектра фаз, что интервал между спектральными линиями равен f 1Мгц, амплитуда пятой гармоники U5 10 В, 5 0,3 рад.

7.1.2.Определите мощность пятой гармоники из задачи 7.1, если напряжение u t действует на сопротивление в 1 Ом.

7.1.3.Определите, какой приблизительно полосой пропускания должен обладать линейный усилитель, чтобы обеспечить усиление без искажений прямоугольных импульсов с

длительностью u 1 10 3 с?

7.1.4. Определите формулы для коэффициентов an и bn ,

если вместо переменной t для сигнала S t использовать переменную в радианной мере t и период 2 рад.

171

7.1.5. Разложить в тригонометрический ряд Фурье периодическую функцию (рис.7.1), получаемую при однополупериодном "выпрямлении" косинусоидыs(t)=cos t при - /2 t /2.

7.1.6. Используя комплексную форму разложения периодического процесса в ряд Фурье, определить спектр сигнала (рис. 7.2), задаваемый аналитическим выражением

Рис. 7.2

172

7.1.9.Осуществить определение спектра сигнала из задачи

7.1.6посредством программы Workbench. Сравнить результаты моделирования с расчетными значениями, полученными ранее.

7.1.10.Решить задачу 7.1.5, используя быстрое преобразование Фурье (БПФ) из программы Mathcad.

7.2.Примеры решения задач

7.2.1.Разложить в тригонометрический ряд Фурье знакопеременную прямоугольную функцию (рис. 7.4), определяемую выражением

173

Рис.7.4

Решение

Обозначим через величину t, т. е. t= и запишем выражение для спектра функции в виде

Ввиду того, что функция s( ) симметрична относительно горизонтальной оси, то в спектре будет отсутствовать постоянная составляющая, т. е. а0/2=0.

С учетом несимметричности s( ) относительно вертикальной оси получаем, что аn=0, т. е. в спектре сигнала не будет косинусоидальных составляющих.

Определим коэффициент bn, используя формулу

1 2

bn S( ) sinn d .

0

Учитывая значения, принимаемые функцией S( ), находим, что

n

174

Придавая n значения 1,2,3 и т.д., получаем, что

Таким образом, функция S( ) может быть представлена выражением

7.2.2. Используя комплексную форму разложения периодического процесса в ряд Фурье, определить спектр сигнала (рис.7.5), определяемый выражением

Рис. 7.5

Решение

Определяем комплексную амплитуду Аn сигнала S(t) с уче-

том, что T=2t1, как

175

T2 jn1 1 e jn 1T2 1 .

Принимая во внимание, что 2 , получаем, что

Используя выражение е-jn =cosn -j·sinn , и принимая во внимание, что sin n =0 для n=1,2,3,…,получим, что для нечетных n

An 2 . jn

Комплексный ряд Фурье для сигнала будет иметь вид

В тригонометрической форме спектр сигнала записывается

как

Постоянная составляющая сигнала определяется по формуле, с учетом, что n=0

T T /2

A20 T1 e jn tdt T1 1 dt 12 .

0 0

Составляющие спектра сигналаопределяются как

176

7.2.3. Определить спектральную функцию одиночного прямоугольного импульса (рис.7.6).

Рис. 7.6

Построить график спектральной функции.

Решение

Для определения спектральной функции S(j ) воспользуемся формулой (5.21)

S(j ) S(t) e j tdt .

С учетом того, что импульс симметричен относительно вертикальной оси, получим, что

177

Умножив и разделив полученное выражение на j2, и применив формулу Эйлера для sin , найдем, что

После преобразования этого выражения получим, что

Начальные фазы гармоник будут определяться законом

функции sin tu , т.е. 2

178

Графики модуля S(j ) и фазовой характеристики s пред-

ставлены на рис. 7.7.

Рис. 7.7

7.2.4. Используя программу Mathcad, определить спектр колебания S t , получаемый при двухполупериодном «выпрямлении» косинусоидального сигнала u t cos t (рис.7.8).

179

Решение

Зададимся конкретными значениями сигнала u t . Возьмем количество анализируемых гармоник k : 0,1..10. Выберем период T : 0.005, изменение временного интервала

0

T

b k : T2 S t sin 6.28 f t k dt

H k : if a k 0,Y k , S k

180