Переходные процессы и спектры. Учебное пособие

4.1.3. Составить дифференциальное уравнение относительно напряжения uc(t) для цепи, представленной на рис. 4.3.

Рис. 4.3 4.1.4. Используя теорему об эквивалентном источнике

напряжения, упростить схему (рис. 4.4) и составить дифференциальное уравнение относительно напряжения uc(t). Осуществить то же самое, составив систему уравнений по закону Кирхгофа.

Рис. 4.4 4.1.5. Составить дифференциальное уравнение относи-

тельно напряжения uc(t) для цепи, представленной на рис. 4.5

Рис. 4.5

91

4.1.6. Используя теорему об эквивалентном источнике напряжения, упростить схему (рис. 4.6) и составить дифференциальное уравнение относительно напряжения uc (t).

Рис. 4.6

4.1.7. Конденсатор ёмкостью С был заряжен от источника постоянной э.д.с. (рис. 4.7) до напряжения U0 = E путём замыкания ключа К1 и последующего его размыкания. Затем замкнулся ключ К2 и конденсатор разрядился через резистор R. Найти выражение напряжения на конденсаторе uc(t) в процессе зарядки и разрядки. Дать графическое представление процессов.

Рис. 4.7

4.1.8. Ключ К1 замыкается в момент t = 0 (рис. 4.8). После полного заряда конденсатора С размыкается ключ К1 и замыкается ключ К2. Конденсатор С полностью разряжается через резистор R. Найти выражение напряжения на резисторе uR(t) и дать графическое представление.

92

Рис. 4.8

4.1.9.Осуществить определение переходного процесса в

цепи по рис. 4.3, используя программу Workbench, если R=100 Ом, С=1·10-6 Ф, а входной сигнал e(t) имеет вид прямоугольных импульсов (меандр) с частотой f=1 КГц и коэффициентом заполнения 50 (величинаобратная скважности), E=10 В.

4.1.10.а) Осуществить определение переходного процес-

са в цепи по рис. 4.4, используя программу Workbench, если R=100 Ом, С=11·10-6 Ф, а входной сигнал e(t) аналогичен зада-

че 4.1.9.

б) Осуществить определение переходного процесса в

цепи по рис. 4.6. (напряжение на CR3), используя программу

Workbench, если R1= R2=1000 Ом. С=1·10-6 Ф, R3=100 Ом.

Определить также напряжение на R3.

Примеры решения задач

4.1.11. Определить порядок цепи, представленной на рис. 4.9.

Решение

Значение порядка сложности цепи ν соответствует порядку дифференциального уравнения, поэтому желательно выяс-

93

Рис. 4.9

нить его величину до начала решения задачи. Значение ν не может превышать общего числа реактивных элементов в цепи L и С. Перед выяснением порядка сложности необходимо произвести преобразования в схеме. Например, параллельно включенные элементы одного типа не являются энергетически независимыми и при подсчёте числа L и С необходимо объединить такие элементы и заменить их эквивалентным элементом соответствующего типа. Так в схеме рис. 4.9 следует объединить в одну эквивалентную ёмкость Сэкв. элементы С2 и С3

(рис. 4.10).

Рис. 4.10

Снижает порядок сложности цепи и наличие в них, так называемых ёмкостных контуров. Это контуры, образованные либо только ёмкостями, либо ёмкостями совместно с независимым источником напряжения. Так на рис. 4.10 это контур,

94

образованный элементами С1, Сэкв., e(t).

Таким образом, из предполагаемой сложности цепи (рис. 4.9) ν=3, после преобразований остаётся сложность цепи ν = 1, которая получается после учёта объединения элементов С2 и С3 и учёта одного ёмкостного контура С1, Сэкв., e(t).

Ответ: ν = 1.

4.1.12. Определить порядок цепи, представленной на рис. 4.11.

Рис. 4.11

Порядок сложности цепи, составленной только из идеализированных пассивных элементов и независимых источников тока или напряжения, определяется формулой

ν PLC nek quc ,

где PLC общее число реактивных элементов, nek – число независимых ёмкостных контуров, quc – число независимых индуктивных узлов (сечений).

Индуктивный узел – узел, к которому подключены ветви, в каждой из которых есть либо только индуктивные элементы, либо только индуктивности с другими элементами R и С, или источники тока.

Предварительно схема должна быть преобразована, по возможности, на предмет сокращения числа элементов L и С.

Так на рис. 4.11 индуктивности L4 и L5 могут быть объединены в один индуктивный элемент, используя теорему об

95

эквивалентном источнике напряжения (рис. 4.12).

Рис. 4.12

Таким образом, из общего числа реактивных элементов схемы PLC 7 необходимо вычесть один ёмкостной контур (С1, С2, С3) и один индуктивный узел 1. Порядок сложности цепи определяется как

ν PLC nek quc 7 1 1 5.

Ответ: ν = 5.

4.1.13. Составить дифференциальное уравнение относительно напряжения uc(t) для схемы рис. 4.13.

Рис. 4.13

Решение

Для составления дифференциального уравнения воспользуемся компонентным уравнением для ёмкости С, т.е.

96

ic C duc dt

и вторым законом Кирхгоффа для схемы по рис. 4.13

e(t) uR (t) uC (t).

Определяя, uR (t) ic R, находим что

Таким образом, дифференциальное уравнение будет иметь вид

RС duc uc e(t). dt

4.1.14. Найти реакцию цепи, состоящей из R и L, когда на вход электрической схемы действует скачок напряжения вели-

чиной Um (рис. 4.14).

Рис. 4.14

Решение

Используя компонентное уравнение для индуктивности

дифференциальное уравнение цепи, т.е.

97

Для решения дифференциального уравнения

L di iR uВХ dt

составляем характеристическое уравнение и определяем его корни

i(t) iсв iпр.

Принуждённый ток определяется, когда переходной процесс закончился и t → ∞, т.е.

iпр uВХ .

R

Свободный ток iсв определяется из решения однородного дифференциального уравнения

L di iR 0. dt

Решение этого уравнения ищется в виде

где А – постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий, которые для данной задачи iL(0) = iL(0-) = 0. Подставляя начальные условия в выражение для тока i(t), получим, что

С учётом значения величины А ток в цепи будет определяться выражением

98

Принимая во внимание выражение для iL(t), реакцию цепи (напряжение на выходе) определим как

4.1.15. Для цепи изображённой на рис. 4.15, составить дифференциальное уравнение для определения тока в индуктивности L, используя метод контурных токов и теорему об эквивалентном источнике.

Решение

Составим систему уравнений, используя метод контурных токов. В соответствии с выбранными направлениями контурных токов уравнения будут иметь вид

2Ri1 i2R e(t).i2 R uL i1R 0.

Рис. 4.15

99

Определяя i1 из первого уравнения и подставляя его во

второе, с учётом, что uL L di2 , получим что dt

i1 e(t) i2R ,

2R

i2R Ldi2 e(t) i2R R 0, dt 2R

L di2 i2R e(t) . dt 2 2

Таким образом, дифференциальное уравнение относительно тока i2 будет иметь вид

2L di2 i2R e(t). dt

Теперь составим дифференциальное уравнение, применив теорему об эквивалентном источнике напряжения.

Преобразуем схему рис. 4.15 последовательно к виду рис. 4.16 и затем рис. 4.17.

Рис. 4.16

100