Основы метрологии. Учебное пособие по дисциплине «Метрология. Стандартизация. Сертификация»

суммировании любым из слагаемых u под радикалом можно пренебречь, если его учет почти не меняет u . Строго говоря, и при этом может уменьшиться до u ', но так как значение u выражается не более чем двумя значащими цифрами, то условие можно считать выполненным, если u-u ' < 0,05 и ., откуда 0,95 u <u'. Возводя обе части неравенства в квадрат и принимая во внимание, что

получим Таким образом, слагаемым

можно пренебречь. Это правило распространяется и на сумму нескольких слагаемых.

МНОГОКРАТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

Метрологический анализ многократного измерения показывает, что главной его особенностью является получение и использование большого объема апостериорной измерительной информации. Это не означает, необходимость в анализе априорной информации отпадает. Такой анализ обязательно предшествует многократному измерению и преследует те же цели, что и при однократном измерении, но с той разницей, что при многократном измерении распределение вероятности результата измерения устанавливается экспериментально.

51

После анализа априорной информации и тщательной подготовки к измерению получают n независимых значений отсчета. Эта основная измерительная процедура может быть организована по-разному. Если изменением измеряемой величины во времени можно пренебречь, то все значения отсчета, являющегося случайным числом, проще всего получить путем многократного повторения операции сравнения с помощью одного и того же средства измерений. Если же из априорной информации можно заключить, что за время такой процедуры измеряемая величина существенно изменится, то ее измеряют одновременно несколькими средствами измерений, каждое из которых дает одно из независимых значений отсчета. Все значения отсчета x, независимо от способа их получения, переводятся затем в показания X, в которые вносятся поправки i . Если многократные измерения выполняются одним средством измерений, то поправки могут отличаться друг от друга из-за изменения во времени влияющих факторов. Если же используются одновременно несколько средств измерений, то поправки отличаются из-за индивидуальных особенностей каждой из них. Для простоты будем считать их известными точно.

Весь массив экспериментальных данных:

характеризует результат измерения Q. Он может быть также описан с помощью функции распределения вероятности Q. Но нужно проверить, не было ли допущено ошибок при получении отдельных значений результата измерения.

Оценки числовых характеристик законов распределения вероятности случайных чисел или величин, изображаемые точкой на числовой оси, называются точечными, интервалом - интервальными. Примером

52

последних служат доверительные интервалы. В отличие от самих числовых характеристик оценки являются случайными, причем их значения зависят от объема экспериментальных данных, а законы распределения вероятности - от законов распределения вероятности самих случайных чисел или значений измеряемых величин. Оценки должны удовлетворять трем требованиям: быть состоятельными, несмещенными и эффективными.

Состоятельной называется оценка, которая сходится по вероятности к оцениваемой числовой характеристике.

Несмещенной является оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемой числовой характеристике.

Эффективной называют ту из нескольких возможных несмещенных оценок, которая имеет наименьшую дисперсию.

При оценке числовых характеристик закона распределения вероятности результата измерения, при исключении ошибок и для всей дальнейшей обработке экспериментальных данных принципиальным является допущение, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности. Справедливость этого допущения также надо проверить.

Правдоподобно или нет допущение о том, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения, можно оценить по виду гистограммы, построенной на основании экспериментальных данных. Наглядность отображения гистограммой закона распределения вероятности результата измерения зависит от соблюдения следующих правил при ее построении:

53

1.интервалы Q, на которые разбивается ось абсцисс, следует выбирать, по возможности, одинаковыми;

2.число интервалов k устанавливать в соответствии со следующими данными:

3.масштаб гистограммы выбирать так, чтобы

еевысота относилась к основанию примерно, как 5

к 8.

Иногда по виду гистограммы можно с большой уверенностью заключить, что результат измерения подчиняется (или не подчиняется) нормальному закону распределения вероятности.

Рис. 4. Гистограмма

54

Если, например гистограмма имеет вид, показанный на рис. 4, а, то результат измерения определенно не подчиняется нормальному закону. Если же гистограмма имеет вид, показанный на рис. 4, б, то возникает сомнение: достаточно ли хорошо она соответствует теоретической кривой нормального закона распределения плотности вероятности, показанной пунктиром№ Для разрешения этого сомнения нужно иметь правило, руководствуясь которым можно было бы принимать то или иное решение.

Существует несколько так называемых критериев согласия, по которым проверяются гипотезы о соответствии экспериментальных данных тому или иному закону распределения вероятности результата измерения. Наиболее распространенным из них является критерий К. Пирсона.

При использовании этого критерия за меру расхождения экспериментальных данных с теоретическим законом распределения вероятности результата измерения принимается сумма квадратов отклонения частостей mi / n от теоретической вероятности Pi попадания отдельного значения результата измерения в i - й интервал, причем каждое слагаемое берется с коэффициентом n /P i:

ВИДЫ ПОГРЕШНОСТЕЙ И ИСТОЧНИКИ ИХ ПОЯВЛЕНИЯ

Всякий процесс измерений независимо от условий, в которых его проводят, сопряжен с погрешностями,

(истинном) значении измеряемой величины. В зависимости от степени совершенства знаний, средств измерения и условий, в которых происходит измерение, получают различную степень приближения результата измерения к истинному значению измеряемой величины. Согласно ГОСТ 16263 - 70 под истинным значением физической величины следует понимать такое значение физической величины, которое идеальным образом отражало бы в качественном и количественном отношениях соответствующее свойство объекта. Вследствие ограниченных возможностей измерений практически истинное значение физической величины обычно остается неизвестным, и на практике вместо него используют понятие действительного значения физической величины, под которым понимают значение физической величины, найденное экспериментальным путем и настолько приближающееся к истинному значению, что для данной цели может быть использовано вместо него. Результат всякого измерения является функцией двух независимых величин, одной из которых является истинное (действительное) значение измеряемой величины, а другой - погрешность ее измерения. Следовательно, под погрешностью измерения величины следует понимать разность между результатом измерений и истинным значением измеряемой величины. Для определения истинного значения величины (например, для исправления ошибочного результата измерения) необходимо из результата измерений алгебраически вычесть погрешность, т.е. внести поправку в результаты измерений. Погрешность измерения, взятую с обратным знаком, называют поправкой.

56

КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Любые измерения направлены на получение результата, то есть оценки истинного значения физической величины в принятых единицах измерения. Вследствие несовершенства средств и методов измерений, воздействия внешних факторов и многих других причин результат каждого измерения неизбежно отягощен погрешностью. Качество измерения тем выше, чем ближе результат измерения к истинному значению. Количественной характеристикой качества измерений является погрешность измерения.

Погрешность средства измерения (error of a measuring instrument) – это разность между показанием средства измерения и истинным (действительным) значением измеряемой величины. Поскольку истинное значение физической величины неизвестно, то на практике пользуются ее действительным значением. Для рабочего средства измерения за действительное значение принимают показания рабочего эталона низшего порядка.

Погрешность результата каждого конкретного измерения складывается из многих составляющих, обязанных своим происхождением различным факторам и источникам. Традиционный аналитический подход к оцениванию погрешностей результата состоит в выделении этих составляющих, изучении их по отдельности и последующем суммировании.

Погрешности средства измерения могут быть классифицированы по ряду признаков: по способу выражения; по характеру проявления; по отношению к условиям применения. В целях единообразия подхода к

57

анализу и оцениванию погрешностей в метрологии принята следующая классификация погрешностей

По характеру проявления во времени:

систематическая погрешность измерения

(systematic error) – составляющая погрешности результата измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины. Источником систематической погрешности может послужить, например, неточное нанесение отметок на шкалу стрелочного прибора, деформация стрелки

случайная погрешность измерения (random error) –

составляющая погрешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку, значению) при повторных измерениях одной и той же физической величины, проведенных с одинаковой тщательностью. Случайная составляющая погрешности возможна в результате трения в опорах подвижной части прибора, колебаний температуры окружающего воздуха, влияния магнитных и электрических помех и т.п.;

промах – погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда.

По форме выражения:

абсолютная погрешность измерения (absolute error of a measurement) – погрешность измерения, выраженная в единицах измерения.

Абсолютная погрешность определяется по формуле

= Χп Χо,

где – погрешность средства измерений; Χо действительное значение измеряемой величины;

58

Χп значение измеряемой физической величины, найденное с помощью средства измерений.

относительная погрешность (relative error) –

погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или измеренному значению измеряемой величины.

Относительная погрешность определяется по формуле

δ = 100 / Χо,

где δ – относительная погрешность, выраженная в процентах.

Точность может быть выражена обратной величиной

измерения складывается из составляющих, обязанных своим происхождением различным факторам и источникам. Традиционный аналитический подход к оцениванию погрешностей результата состоит из выделения этих составляющих;

приведенная погрешность средства измерения

(fiducial error of a measuring instrument) – относительная погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерения к условно принятому значению величины. Часто за такое условно принятое значение принимают верхний предел измерений. Приведенную погрешность обычно выражают в процентах;

По источнику возникновения.

Обязательными компонентами любого измерения являются средство измерения, в котором реализован метод измерения, человек, проводящий измерения. Несовершенство каждого из этих компонентов приводит к появлению своей составляющей погрешности результата.

59

Различают погрешности:

-инструментальная погрешность (instrumental error)

–составляющая погрешности, обусловленная погрешностью применяемого средства измерений. Каждому из приборов, использованных при измерении, присущи определенные погрешности, причем в общей погрешности прибора может присутствовать и систематическая и случайная составляющая, которые окажут свое влияние на результат измерения.

-погрешность метода измерений (error of method) –

составляющая систематической погрешности измерений, обусловленная несовершенством реализованного метода измерения. Вследствие упрощений, принятых в уравнениях для измерений, нередко возникают существенные погрешности, для компенсации которых следует вводить поправки. Иногда погрешность метода измерения может проявляться как случайная;

-субъективная погрешность измерения –

систематически опаздывают (или опережают) снимать отсчеты показаний средств измерений. В результате отсутствия правильных навыков работы с приборами экспериментатор может внести в результат измерения личную составляющую погрешности из-за неточности отсчета доли деления по шкале, невнимательности и др.

По условиям возникновения погрешностей выделяются:

- основная погрешность средства измерения (intrinsic error of a measuring instrument) – погрешность средства измерения, применяемого при нормальных условиях.

60