Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Механика разрушения при статических, динамических и ударно-волновых нагрузках сборник задач и вопросов с решениями и ответами. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

805 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Задачи физики прочности и механики разрушения с решениями

Коэффициент интенсивности напряжений

K = Mσ πl = M	PR	πl.
K = Mσ πl = M		πl.
1

Коэффициент учета кривизны с трещиной по Фолиусу

M = 1+ 1 61l2 = 2,6.

Условие разрушения цилиндра с краевой трещиной

K1 ≥ K1C

или

2,6	PR	πl ≥ K	,

		1C

откуда разрушающее давление

P =	K1C	= 1, 25 МПа.
	2,6R πl

Задача 11. Стержень Гопкинсона имеет модуль упругости Е = 200 ГПа и сечение S = 1 см2. Испытуемый образец имеет прочность σвр = 240 МПа и сечение S0 = 0,5 см2. В нагружающем стержне создается импульс напряжения амплитудой σ = 200 МПа. Образец

вопытеразрушается. Требуетсяопределитьмаксимальныезначения деформации, регистрируемые тензодатчиками, установленными на нагружающем и опорном стержнях.

Решение

Так как в методе стержней Гопкинсона стержни «работают»

вупругой области, то справедлив закон Гука, откуда

ε= Еσ или εнагрст = 200200МПаГПа = 0,001 отн. ед., или 0,1 %.

Раздел 2

Так как образец разрушился, значит, напряжение в образце не превышалоегопрочности, т. е. σ> σвр = 240 МПа. Учитываяравенство силвобразце(вправомсечении) иопорномстержне, можнозаписать

P	= Ропор	или	σ	обр		S	0	= σопор S.
обр	ст								ст
Отсюда определяем σстопор =		σвр S0			=	240 0,5				= 120 МПа.
		S					1

И вновь, учитывая,		что	стержни						Гопкинсона «работают»

вупругойобласти, получаем, чтомаксимальнаядеформациявопорном стержне равна

опор	=	σстопор	=	120 МПа	= 0,006 отн. ед., или 0,06 % .
σст		Е		200 МПа

Задача 12. Плоская ударная волна распространяется по изотропной упругой среде, подчиняющейся закону Гука. Требуется определить интенсивность деформаций и связь между главными напряжениями и деформациями.

Решение

Рассмотрим процесс сжатия УВ. Если среда не обладает прочностью (вода), давление в направлении распространения УВ равно давлению в любом направлении (σ1 = σ2 = σ3 = σс).

В среде с прочностью (сталь) σ1 ≠ σ2 = σ3. При этом ε1 ≠ 0;

ε2 = ε3 = 0.

Поскольку при деформировании в УВ происходит изменение как формы, так и объема, то тензор напряжений можно представить в виде двух составляющих:

P = −	(σ1 + σ2	+ σ3 )	= −σc	(1)
	3

Т		= Т0	+ D		− P	0	0
					− P	0	0
	Н			T =	0	−P 0
	Н	Н	H	H
					0	0	− P

– шаровой тензор, соответствующий среднему давлению в точке

Задачи физики прочности и механики разрушения с решениями			33
	σ1 + Pτxy τxz	– девиатор напряжений,
	σ1 + Pτxy τxz	– девиатор напряжений,
DH =	τxyσ y + Pτ yz	соответствующий
DH =	τxyσ y + Pτ yz	касательным напряжениям
	τzxτzyσ z + P	в точке

Обозначим компоненты девиатора напряжений для главных

направлений:
S1 = σ1 + P,
S2 = σ2 + P,
S3 = σ3 + P.	(2)
Из (1) следует
S1 + S2 + S3 = 0.	(3)

Если известны главные напряжения σ1, σ2, σ3, то интенсивность напряжений, характеризующая сопротивление единицы объема (частицы) изменению ее формы, равна

σi =	2	(σ1 − σ2 )2	+ (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 ,
σi =	2	(σ1 − σ2 )2	+ (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 ,
или с учетом (2)	2
или с учетом (2)
σi =	2	( S1 − S2 )2	+ ( S2 − S3 )2 + ( S3 − S1 )2 .			(4)
σi =	2	( S1 − S2 )2	+ ( S2 − S3 )2 + ( S3 − S1 )2 .			(4)
	2
С учетом (3) и (4)
		σi	= S1 − S2 ,			(5)
а с учетом (2) и (5)
		σ = − P + 2		σ	,
		1	3	i

34	Раздел 2
σ2	= σ3 = −P −	1	σi .	(6)
		3

Уравнения (6), определяющие влияние сдвиговых сил напряжения в УВ, справедливы как в упругой, так и в пластической областях. Для упругой области закон Гука дает следующую зависимость между главными напряжениями и главными деформациями:

σ1 = λη + 2με1, σ2 = λη + 2με2 ,

σ3 = λη + 2με3,

где λ, μ – коэффициенты Лямэ. Для плоской УВ ε1 = η, ε2 = ε3 = 0, тогда

σ1 = (λ + 2μ ) ε,
σ2 = λε1,	(7)
σ3 = λε1.

Складываяправыеилевыечастив(7) иучитываяР= –σС (1), получим

P = −

λ + 2 μ

η = Kη = Kε = −σ

(8)

где K = λ + 2 μ – модуль объемного сжатия. Уравнения (6) с помо-

щью (7) и (8) можно записать в виде

σ = λ + 2μ σ

1− ν

2μ

1− 2ν

= σ =

σ =

σ ,

(9)

2μ

1− 2ν

где ν =

– коэффициент Пуассона (более привычный).

2(l + μ )

Задачи физики прочности и механики разрушения с решениями

Кактолькоматериалдостигнетпределатекучести, тосогласно условию Мизеса σi = σSD, поэтому из (9)

σ =

1− ν

1− 2ν

σ2 = σ3

σSD ,

(10)

1−

2ν

т. е. имеем связь с динамическим пределом текучести.

В упругой области

σ1

ν − 1

= const,

σ2

σ = σ

= σ

1− ν

(11)

1− 2ν

Отсюда следует

σSD

1− 2ν σHE ,

1− ν

σSD = σ1 − σ2.

(12)

Задача 13. Определить область существования двухволновой упругопластическойконфигурациивалюминии, принявσHE = 0,5 ГПа,

Е = 72,4 ГПа, ρ0 = 2,7 г/см3, ν = 0,33, D = 5,333 + 1,356u.

Решение

Из σ–V-диаграммы видно, что область существования двухволновой упругопластичной конфигурации заключается в пределах

σHE – σА.

ПоложениеточкиσА находитсяизусловияравенстваволновой


			(	− ν		)
скорости D продольной скорости звука CL	=		E 1	− ν				.
скорости D продольной скорости звука CL	=	ρ0 (1− 2ν )(1					+ ν )	.
		ρ0 (1− 2ν )(1					+ ν )
Зная, что D = СL, можно определить	u =		D − 5,333		.		Искомая
Зная, что D = СL, можно определить	u =		1,356		.		Искомая
			1,356

величина

Раздел 2

σ А = ρ0Du = ρ0CLu.

Проводя вычисления, определяем

СL = D = 6,29 км/с, иА = 0,71 км/с, σA = 12,1 ГПа.

Таким образом, искомая область по напряжению σ есть

0,5 < σ < 12,1 ГПа.

Задача 14. Вэксперименте с откольным разрушением образца измерили профиль скорости его свободной поверхности. Требуется определить откольную прочность материала образца.

Решение

Проведем анализ профиля скорости W(t) для свободной поверхности.

1.Пусть в т. F происходит разрушение при взаимодействии двух крайних волн расширения С+ иС− .

2.Изт. F воткольнуюпластинупойдетволнасжатия. Еетраек-

ториясовпадаетс С+ характеристикойFK, т. е. давлениевнейР= σр.

Задачи физики прочности и механики разрушения с решениями

3. Уравнение движения в характеристическом виде можно записать для:

–		dx		= u + c,	dP + ρCdu = 0,		интегралы вдоль (1)
С :
			dt			–
+	:		dx	= u − c,	dP − ρCdu = 0,		характеристик	(2)
С
			dt

4. В акустическом приближении (слабые УВ) вдоль участков характеристик OF и FK:

ρc ≈ ρ0с0.

(3)

5. Сучетом(3) запишеминтегралывдольхарактеристик(1) и(2):

	− ρ0C0 (uF − u0 ) = 0,
PF − P0			(4)
	+ ρ0C0 (uK − uF )	= 0.
PK − PF

6. Граничные условия имеют вид:
PF = σp – в плоскости откола,
P0 = PK = 0 – на границе,			(5)
u0 = W0 , uK = WK .

7. С учетом (5) из (4)

38	Раздел 2

−σp − ρ0C0 (uF − W0 ) = 0,
−	σp + ρ0C0 (WK − uF ) = 0,
	σp + ρ0C0 (WK − uF ) = 0,

	σp = ρ0C0 (WK − W0 ).	(6)
	2

Формулу (6) можно получить также из закона сохранения импульса

= −

ρ0

Проинтегрируем это выражение:

WK du = −

(7)

ρ0

Изменение скорости от W0 до WK происходит за время циркуляции

t =

(8)

С учетом

σp

и (8) из (9) следует, что

− W =

ρ0

или

σp = 0,5ρ0С0 (WK − W0 ) ≡ (6).

ε = dW 2C определяетсятемпомспадаскоростинаучасткеW0, WK.
dt	0

Для упругопластических сред вводят поправку:
	σp = 0,5ρ0С0 (W0 − WK + δW ),

			W	W
δW =	отк −	отк	0	K	.
δW =	отк −	отк	(WK + W0 )		.
	С0	Сl	(WK + W0 )

Задачи физики прочности и механики разрушения с решениями

Задача15. Ударниктолщинойl0 тормозитсянапреградеизодноименного материала. При скорости ударника Wуд = W0 зарождается процесс откольного разрушения. Каковы при этом параметры импульса растягивающих напряжений: амплитуда σр и длительность tp? При решении использовать акустическое приближение.

Решение

аб

Схема нагружения (а), Р–и-диаграмма (б), х–t-диаграмма (в)

При торможении ударника возникает режим с двумя ударными волнами S амплитудой P = 0,5ρ0C0W0. При отражении ударных волн от свободных поверхностей в вещество навстречу друг

Раздел 2

другу распространяются две волны расширения R амплитудой Pр каждая. Результатом их взаимодействия является образование растягивающего напряжения амплитудой Pp = P* = σотк.

Время действия растягивающего напряжения

tp = 2Сотк

или с учетом отк = уд

tp = 2l0 . C0

Задача16. Показать, чтовакустическомприближенииприсоударенииодноименныхматериалов ввидепластинтолщина откольного слоя равна толщине тонкого ударника.

Решение

а	б
	Схема нагружения (а), х–t-диаграмма (б)

Из рисунка видно, что толщина откольного слоя отк определяется местом встречи двух волн расширения R1 и R2. Запишем ба-

ланс времен их встречи (t1 = t2 ) :

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]