Механика разрушения при статических, динамических и ударно-волновых нагрузках сборник задач и вопросов с решениями и ответами. Учебное пособие

в

г

Окончание рисунка

ПриизвестномУРСвеществаР–u-зависимостивторичногосжа- тиядляволн, отраженныхвлево и вправо, имеютаналитическийвид:

u − u2 = (P − P2 )(V − V2 ), u + u2 = (P − P1 )(V − V1 ).

Совместное решение этих уравнений дает значения Р* и u*.

30. Какие типы неустойчивостей контактных поверхностей

имеют место при гидродинамических течениях?

Неустойчивость – это резкое увеличение амплитуды малых начальныхвозмущенийнаконтактнойповерхностиразделавеществ

сразной плотностью при ее ускоренном движении.

Взависимости от вида гидродинамических течений различают три вида неустойчивостей, названных именами их открывателей:

•неустойчивостьРэлея– Тейлора– это неустойчивость, проявляющаяся при ускоренном движении контактной границы двух разноплотных сред при разных знаках градиента плотности и скорости;

•неустойчивость Рихтмайера – Мешкова возникает при прохождении УВ через контактную границу двух сред с разной плотностью, на которой имеют место малые возмущения;

•неустойчивость Кельвина – Гельмгольца возникает на контактнойграницеприразрыветангенциальнойкомпонентыскорости.

РАЗДЕЛ 2 Задачи физики прочности и механики

разрушения с решениями

Задача 1. Рассчитать модуль упругости поваренной соли, исходя из значения теоретической прочности σ = σтеор и экспериментального значения относительной упругой деформации εmах = 17 %.

Решение

Из закона Гука Е = σε , или, приняв σ = σтеор, при ε = εmax полу-

чим Е = σтеор (*).

εmax

ионами в NaCl r0 = 3·10–10 м, а силу Fmax найдем в предположении, что ионы взаимодействуют по закону Кулона:

Зарядкаждогоионапримемравнымзарядуэлектронаq = 1,6·10–19 Кл,

ε0 = 8,8·10–12 Ф/м, а r = r0 + r = r0 + ε0r0 = 1,17r0 = 3,5·10–10 м.

С учетом этого

Тогда согласно (*) искомая величина

Е = 2 1010 ≈ 12 1010 Н/м = 120 ГПа. 0,17

Задача 2. Оценить теоретическую прочность при растяжении кристалла с простой кубической решеткой.

Решение

Рассмотрим силовое взаимодействие между двумя атомами, исходное расстояние между которыми r0. Предположим, что один атом неподвижен, а другой под действием силы смещается от него на расстояние r.

Пусть удельное усилие (напряжение) между ними в начале нагружения линейно связано со смещением:

Сдругойстороны, предположим, чтомежатомнаяудельнаясила синусоидально зависит от смещения r: σ = 0 (положение равновесия), затемрастетдомаксимумаисновападаетдонуляприr = b, т. е.

σтеор = σ0 = πЕrb .

0

Задача3. Рассчитатьудельнуюповерхностнуюэнергиюиразрушающее напряжение, приложенное к кристаллу на бесконечности, для задачи 2.

Решение

Удельнаяповерхностнаяэнергияравнаработе, затраченнойна удаление одного атома от другого на расстояние b(σ = 0):

Свяжем полученный результат с параметрами ЛМР, воспользовавшись известным соотношением

KC = 2E γ .

Для растянутой бесконечной плоскости с трещиной длиной 2l коэффициент интенсивности напряжений из решения задачи Гриффитса

K = σC∞ πl.

НамоментразрушенияKC = K, следовательно, σC∞ πl = 2E γ , откуда

Задача 4. Бесконечная пластина с трещиной растягивается равномерно распределенным напряжением σ в перпендикулярном к линии трещины направлении. Требуется найти коэффициент интенсивности напряжений K.

Решение

Для вычисления K воспользуемся методом сечений из курса «Сопротивление материалов». Выделим сечением часть тела так, чтобы это сечение проходило вдоль трещины. Дополнительное усиление, возникающее у конца трещины в результате концентраций напряжений, можно записать в виде

2 0a σ0dr,

где а определяется из условия, что σ0 = σн (σн – номинальное напряжение) при r = a Размер а найдем из условия K 2πа = σ, откуда

a = K 2 2πσ2 . Условие равновесия внутренних и внешних сил, дей-

ствующих на оставшуюся часть тела, сводится к тому, что усилие, не передающееся через линию трещины, компенсируется усилием от концентрации напряжений у вершины трещины. Таким образом, условие равновесия будет следующим:

2σl − 2 0a σ0dr = 0,

где 2l – длина трещины, а толщина пластины равна единице. Подставляя в это выражение σ0 = K1C πl и интегрируя, получим коэффициент интенсивности напряжений в виде

K1C = σ πl ,

совпадающем с точным решением из задачи Гриффитса.

Задача 5. Две одинаковые пластины с трещинами растягиваются равномерно распределенным напряжением σ. Какая из трещин более опасная?

аб

Решение

Более опасной является наружная трещина.

Воспользуемся формулой для расчета коэффициента интенсивности напряжений.

K = σi πl Yi .

Согласно Ирвину дляэтих случаевтарировочныефункцииимеютвид

Поскольку пластины одинаковые (Ka = Kb), то с учетом Ya > Yb следует, что σb > σa, поэтому разрушение стартует с поверхности.

Задача 6. Пластина шириной 2b = 200 мм растянута напряжением 250 МПа. Пластина содержит центральную трещину длиной 2l = 50 мм. Предел текучести σт = 350 мм. Требуется определить коэффициентинтенсивностинапряженийсучетомибезучетаналичия пластической зоны у вершины трещины. Тарировочная функция имеет вид

Решение

Коэффициент интенсивности напряжений без учета пластической поправки

Оставаясь в рамках ЛМР, для учета пластической поправки (зоны стока пластической энергии) следует в формулу для K1C подставить эффективную длину

lэф = l + ry ,

где ry – радиус зоны.

Для плоского напряженного состояния

тогда

lэф = 25 + 4,4 = 29,4 мм.

Можно проверить: для плоскости lэф = ϕl,

где пластическая поправка по Ирвину

ϕ = 1+ 1 σ 2 = 1,16, 2 σт

т. е. lэф ≈ 29 мм.

Таким образом, искомый коэффициент интенсивности напряжений с учетом наличия пластической зоны

ТоестьKC > K, иэтопонятно, посколькупластическоетечениеувершины трещины приводит к увеличению реальных разрушающих напряжений по сравнению с упругой моделью Гриффитса.

Задача 7. Испытали две пластины из хрупкого материала. Вобоихслучаях длинацентральных трещин2l быланамногоменьше шириныпластины2b. Водномслучаеразрушающеенапряжениесоставляет 40 % от предела текучести, в другом 80 %. Чему равно отношение длин трещин в испытуемых образцах?

Решение

Запишемвыражениедлякоэффициентаинтенсивностинапряжений:

KC = σC π lC .

В первом случае KC = 0, 4σт πl1 , во втором случае

KC = 0,8σт πl2 .

Посколькуматериалодинитотже, егомеханическиесвойства одинаковы, значит, отношение дает

В первом случае разрушающее напряжение меньше, следовательно, длина трещины будет больше.

Задача8. Пластинасцентральнойтрещинойдлиной2l1 = 10 мм разрушиласьпринагрузкеP1 = 60 кН. ШиринапластиныН= 100 мм, толщина b = 2 мм. Требуется определить разрушающую нагрузку аналогичной пластины с трещиной 2l2 = 20 мм, если разрушение хрупкое.

Решение

Для хрупкого разрушения можно определить

Задача 9. Оценить толщину наклепанного слоя на поверхности излома стальной детали в условиях плоской деформации. Для стали принять Е = 2·105 МПа, ν = 0,3, σт = 400 МПа, вязкость разру-

шения K1С = 50 МПа · м, удлинение при разрыве δK = 60 %.

Решение

Приток энергии в зону пластических деформаций у вершины трещины при ее увеличении на δl:

]

]

Работа разрушения в пластически продеформированном слое (их два: сверху и снизу) искомой толщины xp при увеличении трещины на δl:

δГ= σij dεij 2xpδl = 2σiεiP xpδl,

где σi , εiР − интенсивностинапряженияипластическойдеформации

при разрушении.

Уравнение энергетического баланса

δω + δГ= 0

или

Задача 10. В тонкостенном стальном цилиндре образовалась трещина длиной l = 300 мм. Радиус цилиндра R = 400 мм, толщина стенки = 15 мм. Требуетсяопределитькритическоедавление вци-

линдре, если вязкость разрушения K1 = 85 МПа · м.

Решение

Окружные напряжения, возникающие в стенке цилиндра от давления P,

σθθ = P R .