Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы оптимизации в электроэнергетических системах. Конспект лекций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Рассмотрим пространство

(n 1)

измерений, в котором

измерений

соответствуют приращениям Pi мощностей n

– перерасходу затрат B . За начало координат точку, соответствующую оптимальному режиму,

станций, а

(n 1) -е измерение

в этом пространстве выберем считая его известным – рис. 7.

		B	n
B(P	, …, P	)	Σ	P	i	= δ( P)
B(P	, …, P	)	i=1		i
1	n		i=1

Рис. 7. Пространство (n+1) измерений [4].

Перерасход B представит собой некоторую поверхность, имеющую минимум в начале координат (см. рис. 7) Переменные Pi образуют также некоторую

поверхность рассматриваемого пространства. При анализе величины B можно рассматривать только точки, для которых выполняется условие баланса мощностей, т.е. точки, лежащие внутри области пересечения поверхностей.

Предположим, что вокруг точки оптимального решения описана сфера радиусом , величина которого

где

		n		i	2
				i	2	.
			P			.
		i 1
Пусть величина затрат
B		M				2	,
B	мax	M					,
	мax
M – число, подлежащее определению.

Если радиус сферы выбрать из равенства M 2 , то для всех

лежащих внутри этой сферы, суммарный перерасход затрат в энергосистеме не будет превышать величину :

B .

Тем самым функция

/ M

определит размер сферической

окрестности, полностью лежащий внутри области равноэкономичных (с

точностью до

) режимов. Чтобы найти эту функцию, надо определить

величину M ,

оценивающую рост изменения затрат с увеличением радиуса

сферы.

Оценим максимум B .

P P

( 29 )

i 1

Так как в точке, соответствующей оптимальному режиму,

1 ( P) P ,

то

1 ( P) P P ;

1 ( P)

P P .

i 1

Принимая во внимание равенство (28), запишем

c ij

B P P .

i 1

j 1

Подставляя (30) в (29), найдем

( 30 )

	n	n	i	j	n	i	2
	c ij		i	j	i	i	2	.
B		B P P			P			.
	i 1	j 1			i 1

( 31 )

Оценивая первое слагаемое, из множества

коэффициент потерь Bmax . Тогда очевидно

Bij

выберем максимальный

(n 1)B

max

j 1

max

1)B

P2.

i 1

j 1

i 1

Оценивая второе слагаемое, также из множества коэффициентов выберем максимальный, тогда

n			2		n		2
		P	2			P	2	.
		P		max		P		.
	i	i		max		i
i 1					i 1

В результате выражение (31) может быть записано

B c (n 1)Bmax max Pi2.

i 1

При

n	i	2	2
	i	2	2
	P
i 1

и B M

	c	(n
	c



искомая величина

B		max	,
max		max

определится:

а радиус области равноэкономичных (с точностью до

) режимов

		.
	(n 1)B
c		max
	max

( 32 )

Полученное выражение позволяет проанализировать влияние параметров системы и режима на величину радиуса оцениваемой области

равноэкономичных режимов. Если задаваться значениями				, то при известных
параметрах оптимального режима и системы ( B ,			,	) можно найти
зависимость	( )	или обратную ей зависимость	( ) . При известных

характеристиках ( ) или ( ) возможны 2 задачи:

1) если известны отклонения мощностей станций от их оптимальных

значений

, то можно определить радиус

n	i	2
	i	2
	P
i 1

, а затем величину

получающегося энергосистеме

при таких отклонениях мощностей перерасхода затрат в

;

2) если задаться величиной перерасхода затрат можно найти отклонения мощностей станций,

, то по величине радиуса при которых перерасход

затрат не превысит заданной величины.

Лекция 5.

Оптимальное распределение потоков мощности в замкнутых контурах электрической сети [6]

Взаимосвязь между расчетом установившегося режима и его оптимизацией.

При расчете установившегося режима напряжения узлов сети рассчитываются, исходя из заданных параметров схемы в виде матрицы узловых проводимостей и из заданных значений токов или мощностей нагрузок или генераторов. Как же тогда ставить оптимизационную задачу, какие параметры можно варьировать? Поясним этот момент.

Обозначим совокупность параметров установившегося режима ЭЭС вектор-столбцом Z (Z1, Z2 , ..., Zm ) , т.е. имеем систему уравнений вида

W(Z) = 0

или

W(Z, Y) =

, описывающих установившийся режим. Параметры

режима Z делятся на независимые Y и зависимые X . Число уравнений установившегося режима 2n равно числу зависимых параметров режима X

(комплексных напряжений в узлах). Общее число параметров режима

входящих в уравнение, больше

– числа этих уравнений. Такие системы

уравнений называются недоопределенными. Избыточными переменными являются независимые переменные, ими могут быть именно узловые проводимости, токи или мощности нагрузок или генераторов или их составляющие, производные величины.

Избыток числа переменных по сравнению с числом уравнений равен m 2n и физически означает, что электроэнергетическая система имеет m 2n степеней свободы. Наличие свободы позволяет регулировать режим.

Рассмотрим это на простом примере.

Пусть имеется система из двух генераторных станций и одного нагрузочного узла (см. рис. 8).

Ṡ	=P	+jQ		3		Ṡ	=P	+jQ
Г1	Г1		Г1	3		Г2	Г2		Г2
		1				2
			Ṡ	=P	+jQ	н3
			н3	н3		н3

Рис. 8. Схема системы с двумя степенями свободы [6].

Допустим, что уравнения установившегося режима имеют вид баланса мощностей для нагрузочного узла.

PГ1 PГ2 Pн3 0,

Q	Г1	Q	Г2	Q	0.
	Г1		Г2	н3

Нагрузки в третьем узле заданы. Тогда два уравнения баланса содержат четыре переменные. Этот баланс можно удовлетворить при разных сочетаниях мощностей PГ1, PГ2 , QГ1 , QГ2 . Две из них можно задавать произвольно в

пределах допустимого, тогда две другие определятся из уравнений баланса. В данном случае имеются две степени свободы.

Реально степени свободы определяются возможностью регулирования активных и реактивных мощностей электростанций, наличием регулируемых трансформаторов, возможностью отключения и включения оборудования и т.д. Именно наличие степеней свободы определяет существование множества возможных решений, из которых нас могут интересовать только допустимые, при которых параметры режима остаются в допустимых пределах. Цель управления – среди допустимых режимов найти наиболее экономичный, т.е. оптимальный режим.

Чем больше степеней свободы, тем лучшее оптимальное решение можно найти, но и тем труднее его отыскать, т.к. одновременно усложняется задача.

При фиксированных степенях свободы, т.е. при фиксированных, иначе говоря, известных независимых параметрах расчет режима представляет собой задачу расчета установившегося режима (УР).

Разделение параметров на зависимые и независимые при расчете УР определяется постановкой задачи и способом задания исходных данных. Напомним, для генераторных узлов независимыми параметрами являются, как правило, активная мощность и модуль напряжения, зависимыми – реактивная мощность и фаза напряжения. Для нагрузочных узлов независимые переменные

– активная и реактивная составляющая мощности нагрузки, зависимые – модуль и фаза напряжения.

При оптимизации режима электрической сети за счет наличия степеней свободы параметров режима выбирают такие их значения, которые обеспечивают наименьшие суммарные потери активной мощности в сети.

Оптимизация распределения мощностей в замкнутом контуре

Постановка задачи. Будем считать, что в узлах сети заданы неизменные токи к нагрузкам и от генераторов, т.е. уравнения установившегося режима линейны. Если в узлах заданы мощности, то токи определим через номинальное напряжение:

J		Sk	( 33 )
	k
		3Uном

Тем не менее, решать задачу оптимального распределения мощностей удобнее через мощности, поэтому в уравнениях перейдем к мощностям,

домножив обе части уравнений на	3U	ном	.
		ном

Найдем распределение мощностей в сети на рис. наименьшим потерям активной мощности в сети

P min,

9, соответствующее

( 34 )

при выполнении ограничений-равенств по первому закону Кирхгофа для узлов

2 и 3:

S	S	23	S	2	,
12		23		2
						( 35 )
S	S	23	S	3	,
13		23		3
или для активных и реактивных мощностей
P	P		P		,
12	23		2
P	P		P		,
13		23	3
						( 36 )
Q	Q		Q			,
12		23		2
Q	Q		Q .
13		23		3

			Ṡ	12
Ṡ				12				Ṡ
		1				2
		1				2
1								2
			Ż		12
			Ż

		Ż	13		Ż	23
			13			23
	Ṡ	13				Ṡ	23
		13					23

Ṡ		3
		3

3

Рис. 9. Схема замкнутой сети [6].

Потери активной мощности в сети с учетом (33) равны

			S		2					S		2					S		2
			S							S							S			r .
P				12			r					23		r				13		r .
		U		2			12		U		2			23			U	2		13
		U		ном					U		ном						U	ном
				ном							ном							ном
Условие минимума потерь запишем так:																						Q
P		2	Q			2				P			2	Q		2				P	2	Q	2
		2				2							2			2					2		2
min P min	12				12			r				23			23		r			13		13		r	.
min P min			2					r						2			r					2		r	.
			2					12						2			23					2		13
		Uном											Uном								Uном

( 37 )

Потери мощности, записанные в виде (7), – это целевая функция (ЦФ) задачи оптимизации режима сети, условия (6) – это ограничения-равенства первого закона Кирхгофа. Формулировка задачи оптимизации в виде (36), (37) – одна из самых простейших [6].

Система ограничений (36) содержит шесть неизвестных перетоков активной и реактивной мощности и четыре уравнения, т.е. 2 степени свободы. Напомним, что при расчете УР кроме комплексных уравнений (35) по первому закону Кирхгофа еще записывалась система уравнений по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура. Тогда степеней свободы нет, нет возможности регулировать потери мощности в сети.

Решение методом дифференциального исчисления.

Для решения задачи методом дифференциального исчисления нужно в уравнениях-ограничениях оставить только две неизвестные величины.

Поэтому, используя (36), выразим P	, P	,
23	13

Q23

Q13

через P ,

Q12

заданные нагрузки в узлах:

		P	P		P	,
		23	12		2
P		P		P P				,
13			12		2		3
	Q		Q		Q		,
		23	12		2

Q13 Q12 Q2 Q3.

Подставим полученные выражения в ЦФ – (37):

		P2	Q2			(P P )	2 (Q Q )			2
P		12	12	r		12 2		12 2			r
P		Uном2		r			Uном2				r
		Uном2		12			Uном2			23
	( P P P )2 ( Q Q Q )2
	12		2	3		12	2	3	r13.
					Uном2				r13.
						57

Теперь задача определения экстремума функции шести неизвестных с ограничениями свелась к задаче отыскания экстремума функции двух переменных без ограничений.

Экстремум находим из условия равенства нулю частных производных от

ЦФ по переменным

P 12

Q12

2P r

2(P

P )r

2( P

P P )r

12 12

3 13

ном

2Q r

2(Q

2( Q

12 12

ном

Раскрыв скобки и выразив неизвестные, получим аналитические

выражения для оптимальных потоков мощности

P (r

) P r

;

3 13

(38а)

) Q

3 13 .

(38б)

Из сравнения условий (38а) и (38б) следует, что минимум потерь активной мощности в рассматриваемой замкнутой сети соответствует распределению мощностей в сети только с активными сопротивлениями ветвей. Это распределение называется экономическим.

Решение методом неопределенных множителей Лагранжа (НМЛ)

Решим эту же задачу методом НМЛ. Т.е. ЦФ – уравнение (34). Введем дополнительное допущение, что потоки реактивной мощности отсутствуют. Это означает, что в узлах 2 и 3 имеет место полная компенсация реактивной мощности. Тогда задача формулируется несколько иначе: определить

	P	2		P	2		P	2

min P min	12		r	23		r	13		r
	2			2			2
			12			23			13
Uном				Uном			Uном

при выполнении ограничений-равенств

P	P	P	,
12	23	2
P	P	P .
13	23	3

Функция Лагранжа

( 39 )

( 40 )


	P		2		P		2		P		2
	P				P				P						P	P	)
L		12		r		23		r		13		r		(P	P	P	)
	U	2		12	U	2		23	U	2		13	1	12	23	2
	U	ном			U	ном			U	ном
		ном				ном				ном
	(P			P	P ) 0.
2		13		23		3

В функции пять переменных: три потока мощности и два множителя Лагранжа. Решаем, приравнивая нулю частные производные по всем переменным:

L			2P			r		0,
				12		12		0,
P				U	2		1
P				U	ном
	12				ном
L		2P		r					0,
			23 23						0,
P		U		2		1		2
P		U		ном
23				ном

L	2P		r
	13		13
P		2
	U	2
	U	ном
13		ном

L	P	P
	P	P
	12	23

1

L	P	P
	P	P
	13	23

2

Из трех первых уравнений системы

	0,	( 41 )
2		( 41 )

P2 0,

P3 ) 0.

(41) исключим множители Лагранжа:

	2P r			2P r
	12 12	,		13 13	,


1	Uном2		2	Uном2

23 23

12 12

13 13

ном

Вынесем за скобки общий множитель 2Uном2 , тогда в скобках получим уравнение, соответствующее второму закону Кирхгофа:

	P	r	P		r	P	r	0.
	12 12			23 23		13 13
Подставим в (42)	P	из четвертого уравнения системы (41) и
	23
пятого, с учетом P23 из четвертого:
P r (P		P )r			( P		P P )r				0.
12 12	12		2	23		12		2	3	13
					59

( 42 )

P	– из
13

Раскрываем скобки, выражаем

P 12

, получаем выражение, соответствующее

условию (38а).

Поскольку реактивная мощность входит в выражения аналогично активной, то условие (38б) может быть записано по аналогии.

Таким образом, решение задачи методом дифференциального исчисления и методом неопределенных множителей Лагранжа дает одинаковый результат, что подтверждает правильность решения и возможность применения любого метода.

Оптимизация распределения мощностей в сложной сети.

Запишем соответствующие выражения для сложной сети в матричном виде для случая отсутствия потоков реактивной мощности.

Потери мощности в линиях в матричной форме запишутся следующим образом:

где

P	1	P	T	R		P
			T
	2				B
	2	B			B	B
	U
	ном

– вектор-столбец потоков активных мощностей в ветвях, порядок

которого равен числу ветвей			m ; индекс «т» означает транспонирование;						RB	–
диагональная матрица активных сопротивлений ветвей порядка m .
Для сети, рассмотренной в предыдущем примере, потери мощности в
матричном развернутом виде запишутся
					r	0	0	P
	1				12			12
P	1	P	P	P	0	r	0	P .
P	2	P	P	P	0	r	0	P .
	2	12	23	13		23		23
	U
	ном				0	0	r	P
							13	13

Уравнения-ограничения по первому закону Кирхгофа в матричной форме имеют вид

MPB = P,

где	P – вектор-столбец активных мощностей
инциденций, в которой		n 1	строк ( n		узлов), m
в примере
					P
		1	1	0	12
		1	1	0	P23
		0	1	1	P
					P
					13
	Задача оптимизации: определить

в узлах, M столбцов ( m

P2 .

– первая матрица ветвей). Для сети

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]