Методы оптимальных решений. Практикум

Частное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омская юридическая академия»

Л. А. Заозерская, А. А. Романова

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

Практикум

Омск 2015

ББК 22.1 З-29

Заозерская,Л.А.Методыоптимальныхрешений:практикум/Л.А.Заозерская, А. А. Романова. – Омск : Омская юридическая академия, 2015. – 50 с.

Рецензенты:

М. А. Екимова – проректор по электронному обучению Омской юридической академии, кандидат педагогических наук, доцент

А. В. Адельшин – старший научный сотрудник лаборатории дискретной оптимизации Омского филиала Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, кандидат физико-математических наук, доцент

Практикум «Методы оптимальных решений» одобрен на заседании кафедры­ математики и информационных технологий Омской юридической академии 30 января 2015 г., протокол № 6.

Практикум «Методы оптимальных решений» рекомендован к публикацииметодическимсоветомОмскойюридическойакадемии4февраля2015г., протокол № 4.

Практикум предназначен для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 38.03.01 Экономика, 38.03.02 Менеджмент, 38.03.04 Государственное и муниципальное управление, и обеспечивает методическую поддержку дисциплин «Методы оптимальных решений» и «Методы принятия управленческих решений». Практикум содержит индивидуальные задания по указанным дисциплинам, включает необходимые теоретические сведения и примеры решения задач.

© Омская юридическая академия, 2015

Содержание

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Индивидуальные задания для самостоятельной работы . . .21

Задание 1. Математическое моделирование . . . . . . . .21 Задание 2. Графическое решение задачи ЛП . . . . . . . 32 Задание 3. Симплекс-метод. . . . . . . . . . . . . . . 35 Задание 4. Двухэтапный метод. . . . . . . . . . . . . 38 Задание 5. Теория двойственности . . . . . . . . . . . 41 Задание 5. Транспортная задача. . . . . . . . . . . . . 41 Задание 7. Целочисленное программирование. . . . . . . 44

Ответы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Список использованной и рекомендуемой литературы . . . 49

3

Введение

Впрактических ситуациях, возникающих в экономике, планировании, управлении и других областях, часто требуется из множества допустимых решений выбрать одно, наилучшее в определенном смысле решение. Число допустимых вариантов поведения может быть слишком велико, и выбор наилучшего из них, исходя из практического опыта или интуиции, представляет собой весьма трудную задачу. В этом случае для поиска наилучшего решения используются научно обоснованные методы,

втом числе математические. Для применения таких методов исследуемый процесс должен быть представлен в виде математической модели, т. е. математической задачи, которая количественно описывает основные закономерности процесса и его цель (критерий оптимизации). Задачи нахождения наилучшего решения называются оптимизационными. Очень часто цель оптимизации описывается в виде функции многих переменных, а допустимое множество решений задается системой функциональных равенств и/или неравенств. Задачи такого типа и методы их решения изучаются в курсах •Методы оптимальных решений- и •Методы принятия управленческих решений-.

Впрактикуме представлены решения типовых задач и индивидуальные задания по указанным дисциплинам. Вариант для выполнения заданий определяется преподавателем. В конце пособия в пункте •Ответыприведены оптимальные значения целевой функции для каждой задачи. Данные значения указаны исключительно для контроля правильности выполнения. Студенту при выполнении каждого задания в ответе необходимо указывать не только оптимальное значение целевой функции, но и само оптимальное решение. Для допуска к экзамену по дисциплине необходимо сдать все индивидуальные задания своего варианта.

4

Примеры решения задач

Задача 1 [3]. Для указанной содержательной постановки задачи составить математическую модель в виде задачи ЛП.

Предприятие планирует выпускать два вида изделий из трех видов ресурсов. Затраты ресурсов на единицу продукции каждого вида (нормы расхода ресурсов), запасы ресурсов и доход, получаемый от реализации единицы изделия, приведены в таблице:

Изучение рынка сбыта показало, что объем выпуска изделий A не должен превышать объема выпуска изделий B более чем на 3 единицы. Какое количество изделий каждого вида должно выпускать предприятие, чтобы суммарный доход был максимален?

Решение. Составим математическую модель задачи. Обозначим через x1 объем выпуска продукции A, а через x2 продукции B. Тогда план выпуска продукции можно записать в виде вектора x = (x1, x2). Работая по этому плану, предприятие расходует ресурсы 1, 2 и 3 в количествах 3x1 + 3x2, 2x1 + 6x2 и 4x1 соответственно. Заметим, что расход каждого ресурса не может превышать его запаса. Следовательно, план x должен удовлетворять ограничениям:

3x1 + 3x2 ≤ 15, 2x1 + 6x2 ≤ 18, 4x1 ≤ 16.

Разницу в объемах выпуска продукции A и B можно записать в виде ограничения x1 − x2 ≤ 3. Суммарный доход от реализации всей продукции, произведенной в соответствии с планом x, равен: f (x) = 3x1 + 4x2.

Таким образом, получаем следующую задачу ЛП:

f (x) = 3x1 + 4x2 → max 3x1 + 3x2 ≤ 15, 2x1 + 6x2 ≤ 18, 4x1 ≤ 16, x1 − x2 ≤ 3,

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

5

Замечание. Легко проверить, что допустимым решением задачи является, например, вектор x1 = (2, 1). Значение целевой функции на нем равно f(x1) = 3· 2 + 4· 1 = 10. Вектор x2 = (2, 3) не является таковым, так как он нарушает ограничение по 2-му ресурсу (2· 2 + 6· 3 > 18).

Задача 2. Решить графически задачу оптимального планирования производства из Задачи 1.

Решение. 1. Изобразим сначала на координатной плоскости множество допустимых решений D. Условия неотрицательности переменных x1 и x2 ограничивают область их значений первым квадрантом.

бивает плоскость на две полуплоскости, в данном случае выше линии и ниже нее. Чтобы выбрать, какая из них удовлетворяет неравенству 3x1 + 3x2 ≤ 15, подставим в него координаты любой точки, не лежащей на данной прямой (например, начало координат x1 = 0, x2 = 0). Поскольку 3 · 0 + 3 · 0 ≤ 15, т. е. получаем верное выражение, то неравенству соответствует полуплоскость, содержащая начало координат. Она помечена стрелкой. В противном случае выбирается другая полуплоскость.

Аналогично поступаем с остальными ограничениями задачи. Пересечение всех построенных полуплоскостей образует многоугольник ABCEF (см. рис. 1.2). Это и есть допустимая область задачи.

Рис. 1.1

2. Построим линию уровня целевой функции f(x) = 0, т. е. прямую 3x1+4x2 = 0. Данная прямая проходит через начало координат и перпендикулярна вектору f = (3, 4). Это градиент целевой функции, который показывает направление наискорейшего роста функции.

6

параллельно себе в направлении градиента, найдем последнюю точку, в которой она пересекается с допустимым множеством. В нашем случае это точка C, которая и будет точкой максимума целевой функции (см. рис. 1.2), т. е. является оптимальным решением задачи.

Точка C лежит на пересечении прямых (1) и (2). Чтобы найти ее координаты, необходимо решить систему, состоящую из соответствующих уравнений:

3x1 + 3x2 = 15, 2x1 + 6x2 = 18.

Отсюда, x1 = 3, x2 = 2, т. е. оптимальный план выпуска продукции x = (3, 2), а оптимальное значение целевой функции f (x ) = 3·3+4·2 =

17.

Для содержательной постановки из Задачи 1 это означает, что если предприятие будет выпускать 3 единицы первой продукции и 2 единицы второй продукции, то оно получит доход, равный 17, и это максимально возможный доход.

Задача 3. Построить КЗЛП, эквивалентную данной задаче ЛП:

f (x) = x1 − x2 → min

Решение. Напомним, что в КЗЛП целевая функция максимизируется, среди линейных ограничений присутствуют только равенства и все

7

переменные являются неотрицательными. Опишем стандартные приемы, позволяющие строить для задачи ЛП эквивалентную ей КЗЛП.

Переход от минимума к максимуму достигается умножением целевой

функции на (–1): ¯ −

f (x) = f (x).

Первое ограничение можно превратить в равенство, добавив к его левой части новую неотрицательную переменную x3. Для второго ограничения неотрицательную переменную x4 нужно отнять от левой части неравенства. Такие переменные называются дополнительными, так как они дополняют неравенства до равенств. Заметим, что в рассматриваемой задаче нет ограничений на знак переменной x2, т. е. она может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Такую переменную можно представить в виде разности двух новых неотрицательных переменных: x2 = x2 − x2, где x2, x2 ≥ 0. После выполнения этих преобразований задача примет вид:

¯ − 1 + x − x → max f (x) = x 2 2

x1, x2, x2, x3, x4 ≥ 0.

Эта задача является канонической.

Задача 4. Решить симплекс-методом задачу оптимального планирования производства из Задачи 1, используя сокращенные симплексные таблицы.

Решение. Приведем задачу к каноническому виду. Для преобразования неравенств в равенства введем дополнительные неотрицательные переменные x3, x4, x5, x6. Очевидно, что полученная задача ЛП является приведенной:

xj ≥ 0, j = 1, ..., 6.

Для составления начальной симплексной таблицы представим нашу

8

задачу в следующей эквивалентной форме:

f(x) = 0 − (−3x1 − 4x2) → max x3 = 15 − (3x1 + 3x2),

x4 = 18 − (2x1 + 6x2), x5 = 16 − (4x1 + 0x2), x6 = 3 − (x1 − x2), xj ≥ 0, j = 1, ..., 6.

Выпишем начальную симплексную таблицу.

Базисное решение x0 = (0, 0, 15, 18, 16, 3) и f(x0) = 0.

Шаг 1. В нулевой строке f начальной таблицы есть отрицательные

элементы в столбцах с номерами 1 и 2 (a01 = −3, a02 = −4), решение x0 не оптимально.

Шаг 2. Столбцы 1 и 2 содержат положительные элементы, следовательно признак неразрешимости не выполняется. Переходим к шагу 3.

Шаг 3. В качестве ведущего столбца можно взять столбец 1 (a01 = −3) или столбец 2 (a02 = −4). Возьмем, например, последний, так как −4 < −3.

Шаг 4. Для выбора ведущей строки рассмотрим все строки, содержащие положительные элементы в ведущем столбце (это строки 1 и 2 с элементами, равными 3 и 6). Вычислим минимальное из отношений элементов нулевого столбца к указанным элементам ведущего столбца:

Минимум достигается для строки 2, которая становится ведущей. Таким образом ведущий элемент будет равен 6 (в таблице он помечен звездочкой).

Шаг 5. Ведущая строка соответствует базисной переменной x4, а ведущий столбец - небазисной переменной x2.

9

В новой симплексной таблице переменные x2 и x4 меняются местами. На месте ведущего элемента записывается его обратная величина 1/6. Элементы ведущей строки делятся на 6.

Элементы ведущего столбца делятся на (−6).

Остальные элементы симплексной таблицы пересчитываются по правилу прямоугольника. Например, новое значение целевой функции вычисляется следующим образом:

После пересчета симплексная таблица имеет вид:

Базисное решение x1 = (0, 3, 6, 0, 16, 6), f(x1) = 12.

Начинаем вторую итерацию симплекс-метода. Признаки оптимальности и неразрешимости не выполняются, поэтому выбираем ведущий столбец. Здесь он единственный. Это первый столбец, отвечающий x1 (a01 = −53 < 0). В ведущем столбце четыре положительных элемента: 2, 1/3, 4, 4/3. Чтобы выбрать среди них ведущий, вычисляем

Следовательно, первая строка является ведущей, а ведущим элементом a11 = 2. Переменная x1 становится базисной, а x3 ‚ небазисной. После пересчета получаем следующую симплексную таблицу:

10