Методология организационной психологии. Учебное пособие

Представляется важным, что нелинейность связана с принципом экстремального действия, который для нелинейных систем, изучаемых синергетикой, формулируется как принцип минимальной диссипации энергии. В настоящее время его принято формулировать так: «Когда природа допускает существование нескольких процессов, достигающих одной и той же цели, то реализуется тот, который требует минимальных энергетических затрат»1.

Учет нелинейности оказывается существенным, например, при описании турбулентного движения. До сих пор нет общепринятоговзгляданаприродутурбулентности. Широкораспространены две точки зрения. С одной стороны, турбулентность возникает как результат случайных процессов, отражающихся в уравнениях термодинамики, асдругой— еепричинуможнообъяснитьзасчет введения других сил, например флуктуирующих процессов. Задача осложняется еще и тем, что описание турбулентных процессов приводит к проблеме выбора различных решений описывающего данный процесс дифференциального уравнения.

Решение вопроса описания турбулентного движения наряду с решением многочисленных проблем, возникающих при описании перехода от регулярного к стохастическому движению, в настоящее время связывается с развитием стохастической или хаотической динамики. Развитие этой необычной области классической механики показало, что статистические законы не ограничены описанием только сложных систем с большим числом степеней свободы. «Динамический хаос возможен и в некоторой области фазового пространства, даже в случае двух степеней свободы консервативнойгамильтониановойсистемы. Источникчрезвычайной сложности, характерной для индивидуальной реализации случайного процесса, оказался совсем не там, где его искали со времен Больцмана, — указывает Б. В. Чириков. — Дело вовсе не в сложном устройстве конкретной динамической системы <...> а в точно заданных начальных условиях движения. В силу непрерывности фазового пространства в классической механике эти начальные условия содержат бесконечное количество информации, которое при наличии сильной неустойчивости и определяет предельно сложную, непредсказуемую и невоспроизводимую картину хао-

1 Моисеев Н. Н. Математика ставит эксперимент. — М.: Знание, 1979. —

С. 56.

131

тического движения. Такая система не “забывает” свои начальные условия, а наоборот, следует им во всех мельчайших деталях, и именно это и приводит к хаосу, который с самого начала заложен в этих деталях»1.

Основной подход, развиваемый в теории динамического хаоса, — это учет нелинейности, переход от рассмотрения простых, известных регулярных колебаний к описанию различных стадий хаотического движения. Следует отметить, что одной из особенностей этой теории является то, что она характеризуется неустоявшейся системой понятий. Так, в ней трудно провести различие понятий «хаотическое» и «стохастическое» движения. Подобные трудности не впервые возникают перед физической теорией. На самом деле задача еще более сложна, так как требуется проводить различие между процессами простыми и сложными, хаотическими и упорядоченными, регулярными и стохастическими и другими. Теория динамического хаоса позволяет показать, что хаос рождает порядок, который, в свою очередь, является основанием хаоса, что простое в ряде отношений выступает сложным, и наоборот, что хаос не есть лишь статистическое равновесие, а в его динамике можно выделить различные уровни порядка.

На протяжении ряда лет в физической теории решается вопрос об эргодичности движения, то есть вопрос о том, покрывает ли траектория всю энергетически доступную данному движению область фазового пространства или она ограничивается теми или иными интегралами движения. Для большинства начальных условий инвариантные поверхности интегрируемых систем, в случаях их возмущений, не меняются. По-иному дело обстоит в диссипативных системах, фазовый объем которых сокращается со временем.

Установлено, что системы обыкновенных дифференциальных уравнений описывают стохастические процессы без привлечения каких-либо флуктуирующих сил. Конечным состоянием диссипативнойсистемыявляетсядвижениевнекоторомпространстве, получившем название аттрактора. Размерность аттрактора меньше размерности исходного фазового пространства. Такие аттракторы имеют место и в классической механике, к ним относятся, напри-

1 Чириков Б. В. Предисловие // Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. — М.: Мир, 1984. — С. 5.

132

мер, неподвижные точки, к которым притягивается траектория, и другие.

Существенным для развития теории динамического хаоса явилосьоткрытиеЭ. Лоренцемхаотическогодвижениявдиссипативных системах. Модель, рассматриваемая Э. Лоренцем, описывается системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Аттракторы, описывающие хаотическое движение, получили название странных. А. Лихтенберг и М. Либерман отмечают, что «...топология странных аттракторов весьма примечательна. Она характеризуется масштабной инвариантностью, при которой структура аттрактора повторяется на все более мелких пространственных масштабах. Такие структуры, называемые фракталами, обладают любопытными свойствами дробной размерности, промежуточной между размерностью точки и линии, линии и плоскости и т.п. Когда геометрическая структура странных аттракторов была выяснена, возникла качественная картина движения, важной особенностью которой является близкое соответствие между движением на странном аттракторе и движением, описываемым некоторым одномерным необратимым отображением. Такие отображения не возникают непосредственно из диссипативных потоков, но являются важными примерами простых систем с хаотическим поведением и находят приложение в таких разных областях, как экономика и экология»1.

Действительно, удалось показать, что многие процессы описываются либо уравнениями, предложенными Э. Лоренцем, либо системой уравнений, включающей странные аттракторы. С помощью этих уравнений рассматривают поведение некоторых типов плазменных волн, химические реакции в открытых системах, закономерности изменения численности биологических сообществ, вопросы, связанные с генерацией лазера в некотором диапазоне параметров, циклы солнечной активности и другие.

Нелинейные представления, описывающие системы со странными аттракторами, приводят к появлению в теории новых понятий, что, в свою очередь, способствует уточнению физической теории. Важно отметить, что этот переход к новым представлениям получен на основе упрощенных математических моделей, ко-

1 Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. —

М.: Мир, 1984. — С. 19–20.

133

торые лишь качественно передают основной характер поведения самых разнообразных нелинейных систем. Модели со странными аттракторами позволяют дать как интегральную, так и дифференциальную характеристику описываемых ими процессов, показать, как порядок переходит в беспорядок и наоборот.

Одной из важных функций представлений о единстве линейности и нелинейности является то, что эти понятия участвуют в процессе переноса знаний из одной физической теории в другие, благодаря чему осуществляется своеобразная взаимосвязь между этими теориями. Это не прямой, механический перенос полученного знания из одной области в другую, а перенос, имеющий творческую направленность. Физическое знание в данном случае трансформируется, порождает новые результаты с учетом специфики той области физического знания, куда оно индуцировано.

Вопрос о появлении упорядоченных структур не является специфическим только для термодинамики, он возникает и в астрофизике при попытках объяснить структуру спиральных галактик, биологии и химии — при объяснении ревербираторов (спиральных волн). Несмотря на то что процессы самоорганизации находят свое проявление в самых различных формах, они имеют ряд общих черт. «Отличительная черта моделей самоорганизующихсяпроцессов, — отмечаетГ. И. Рузавин, — заключается в том, что в них используются нелинейные математические уравнения, в которых переменные входят в степени выше первой»1.

Таким образом, можно сделать вывод, что синергетика, используя единство линейности и нелинейности, выражает в теории те аспекты материального единства мира, которые связаны с общими свойствами саморазвития сложных систем. Нелинейные уравнения, составляющие основу этой теории, позволяют с помощью достаточно простых моделей описывать самые различные процессы. Причем, даже не решая этих уравнений, можно выработать представление о качественно новых чертах тех процессов, которые этими уравнениями описываются.

Для физической науки всегда было наиболее сложно построить теорию, описывающую неупорядоченные процессы, например вихри в турбулентном потоке жидкости, сложные атмосфер-

1 Рузавин Г. И. Синергетика и принцип самодвижения материи // Вопросы философии. — 1984. — № 8. — С. 43.

134

ные явления, шумы в электронной схеме. Традиционным является статистический подход к неупорядоченным процессам. Скажем, нельзя заранее предсказать, какова будет следующая амплитуда шумового сигнала, но можно оценить вероятность достижения этим сигналом определенных значений.

Если рассматривать различные процессы — изменение популяций от поколения к поколению, шумы в механических, электрических и химических осцилляторах и другие, — то можно заметить у них одну общую черту. При изменении какого-либо внешнего параметра поведение системы от простого переходит к хаотическому. Имеется определенный диапазон значений этого параметра, при котором поведение системы является упорядоченным и, что не менее важно, периодическим. Если выйти за границы этого диапазона, то процесс перестает воспроизводиться через Т секунд. Новая периодичность сохраняется внутри нового диапазона значений параметра, пока не достигается новое критическое значение. Удвоение периода можно наблюдать во всех вышеперечисленных процессах. «В пределе, — отмечает М. Фейгенбаум, — хаотического непериодического движения имеется единственное и поэтому универсальное решение, общее для всех систем, испытывающих удвоение»1.

Это обстоятельство приводит к интересному следствию:— скорость перехода к хаотическому движению — является универсальной величиной, равной 4,6692016... Из этого следует и другой не менее важный вывод: «Универсальность теории такова, что большинство измеримых параметров любой из таких систем в пределе хаотического движения может быть определено без помощи специальных, описывающих данную систему уравнений, то есть если система переходит к хаотическому поведению путем удвоения периода (качественная характеристика), то ее количественные характеристики становятся полностью заданными. Этот вывод подобен следствиям современной теории фазовых переходов, в которой несколько качественных характеристик системы, совершающейфазовыйпереход, особенноразмерность, определяют универсальные критические элементы»2.

1Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем // Успе-

хи физических наук. — 1983. — Т. 141. — Вып. 2. — С. 346.

2Там же.

135

Теория описания сложных хаотических процессов, обсуждаемая М. Фейгенбаумом, с нашей точки зрения, представляет интерес, ибо автор, по существу, исходит из признания единства мира

ипытается найти то общее, что присуще хаотическим процессам различной природы. Эта теория показывает, что поведение всех диссипативных систем вблизи перехода к хаотическому движению носит универсальный характер. Теория универсальности (название предложено М. Фейгенбаумом, иногда ее называют теорией бифуркаций) дает возможность описать поведение той или иной системы за пределами возможностей других математических представлений. Поясним это с помощью следующего примера. Система дифференциальных уравнений имеет определенное заданное отображение. Конкретный вид этого отображения с помощью современных математических методов неизвестен. Вместе с тем если это отображение испытывает удвоение периода, то теория универсальности дает точные количественные предсказания, вне всякой зависимости от конкретного вида отображения.

Большое внимание к себе теория универсальности привлекает еще и потому, что экспериментально установлено, что ряд жидкостных потоков переходит в турбулентное состояние через удвоение периода.

Важным методологическим выводом, вытекающим из теории универсальности, является также и то, что поведению нелинейных систем различной природы и различного характера нелинейности присущи общие, универсальные характеристики. Выделение таких характеристик свидетельствует о том, что эта теория все в большей степени учитывает фактор материального единства

исвидетельствует о единстве физического знания.

Из анализа роли понятий линейности и нелинейности в физической теории видно, что они основываются на таких категориях, как тождество и различие, изменение и становление, то есть на категориях, обладающих всеобщим значением. Каждый закон выражает тот или иной порядок явлений, их регулярность или последовательность во времени. В любом законе природы находит свое выражение однородность, присущая различным явлениям и материальным процессам. Однородность, вместе с ней и линейность, выражает одинаковость связей, отношений и структур, в то время как нелинейность выявляет их различие. Таким образом,

136

линейность и нелинейность выступают существенными сторонами явлений окружающего мира.

Между законами явлений и их линейностью существует глубокая внутренняя связь. При помощи линейности можно вскрыть важные, существенные стороны явлений окружающего мира. В то же время знание линейности и нелинейности явлений еще не означает полного знания их законов. Линейность и нелинейность явлений не выражают все содержание явлений, а лишь их определенную сторону.

Законы действуют лишь в определенных условиях. В связи с этим правомерен вопрос о линейности или нелинейности законов по отношению к различным условиям. Если в условиях действия законов нет тождественных, сохраняющихся, повторяющихся моментов, тозаконыпоотношениюкнимлинейностьюнеобладают. Задачасостоитвтом, чтобывыявитьтождественноевразнообразных условиях действия законов, что, в свою очередь, позволяет определить их линейность.

Одним из оснований взаимосвязи между законами физической теории является наличие в различном их содержании моментов тождества, то есть линейности. Если нелинейность понимать формально, как отсутствие всяких элементов линейности, то мы тогда пришли бы к выводу о том, что наличие нелинейности исключает взаимосвязь между законами физической теории. Однако это не так. Во-первых, наличие нелинейности в содержании законов не элиминирует из их содержания линейность, не подвергает сомнению само содержание линейности. Во-вторых, линейность, как и нелинейность, служит основой существования связи между физическими законами.

Это наглядно видно из проведенного А. Эйнштейном анализа понятийного аппарата общей теории относительности. Он писал: «Группа общей относительности впервые приводит к тому, что наиболее простой инвариантный закон уже не будет линейным и однородным в переменных полях и их производных. Это — обстоятельство фундаментальной важности, и вот по какой причине. Если уравнения поля линейны (и однородны), то сумма двух решений снова будет решением; это имеет место, например, для максвелловских уравнений поля в пустом пространстве. В такой (линейной) теории уравнений поля недостаточно для вывода зако-

137

на взаимодействия между объектами, которые описываются (каждый в отдельности) решениями системы уравнений поля. Поэтому в прежних теориях необходимы были, наряду с уравнениями поля, особые уравнения, определяющие движения материальных объектов под действием поля»1.

Линейность и нелинейность выражают различные тенденции развития материального мира. Если линейность отражает тенденцию к устойчивости, равновесию, сохранению определенности структуры, то нелинейность выражает тенденцию к нарушению равновесия и структуры, тенденцию к нарушению устойчивости. Однако как линейность не может быть сведена к устойчивости и сохранению, так и нелинейность не сводится к изменчивости. Вместе с тем выяснение диалектической связи этих понятий помогает отыскать новые аспекты взаимодействия элементов той или иной материальной структуры.

Известно, что линейность тесно связана с симметрией. Одним из наиболее ярких примеров подобной связи является связь линейности с релятивистской инвариантностью законов движения. Связь между принципами инвариантности и законами сохранения обсуждалась в многочисленных работах. Нам хочется обратить внимание на то, что одна из причин «возросшей эффективности принципов инвариантности кроется в линейности положенного в основу квантовой теории гильбертова пространства»2.

Линейность гильбертова пространства дает возможность из любых двух векторов состояний построить бесконечно большое число новых векторов состояний. Отсюда следует, что возможность суперпозиции состояний связана с линейностью. В квантовойтеориипредставлениеолинейностигильбертовапространства обеспечивает возможность введения математического аппарата, в том числе дает возможность объяснить стратегию повышения ранга симметрии в теории.

Представление о линейности, на котором основывается большинство положений квантовой теории (квантовой механики, квантовойтеорииноля, квантовойэлектродинамики...), вомногом обусловливает ее достижения. Однако в этой теории до сих пор

1Эйнштейн А. Собр. научных трудов: В 4 т. — М.: Наука, 1966. — Т. 4. —

С. 287.

2Вигнер Е. Этюды о симметрии. — М.: Мир, 1971. — С. 54.

138

существуют неустранимые трудности, известные как трудности с расходимостями. Одной из попыток устранить эти трудности из теории является метод перенормировки.

Как уже отмечалось выше, перенормировка — специальная процедура, которая применяется в квантовой теории поля и приводит к точным результатам, но этот искусственный прием не имеет объяснения своей эффективности. В работах Н. Н. Боголюбова, Д. В. Ширкова, а также М. Гелл-Манна и других было установлено существование особой группы преобразований (так называемойренормгруппы), связаннойсметодомперенормировкив квантовой теории поля, а известно, что применение теории групп обусловлено свойствами симметрии физических систем. Понятия иметодыренормгруппыиспользуютсявомногихфизическихтеориях.

«Замечательный факт, — пишут Н. Н. Боголюбов и Д. В. Ширков, — общности теоретического описания далеких друг от друга физических явлений демонстрирует плодотворность использования математических абстракций в физике, их всеобъемлющий характер, отражающий единство природы и особенности процесса еепознания»1. Весьмавероятно, что представлениео единствелинейности и нелинейности квантовых процессов даствозможность вскрыть физический смысл перенормировки, внесет дальнейший вклад в оценку этой процедуры, которая во многих работах рассматривается не иначе как «один из способов заметать под ковер трудности электродинамики, связанные с расходимостями»2.

Интересным и перспективным в настоящее время представляется путь, учитывающий нелинейность квантовых процессов. В свое время В. Гейзенберг пытался построить теорию элементарныхчастицнаосновенекоторогоединогоспинорногополя. Он указывал, что «существует лишь одно простое уравнение, которое способно, вероятно, описывать наблюдаемые элементарные частицы»3. Обсуждаяусловияформулировкитакогоуравнения, он отмечает, что«этоуравнениедолжноописыватьвзаимодействиеи поэтому не может быть линейным. Так как взаимодействие пред-

1Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Ренормгруппа? Это очень просто // При-

рода. — 1984. — № 8. — С. 13.

2Фейнман Р. Характер физических законов. — М.: Мир, 1968. — С. 228.

3Гейзенберг В. Введение в полевую теорию элементарных частиц. — М.:

Мир, 1968. — С. 45.

139

полагается локальным, соответствующий ему член уравнения должен содержать произведение полевых операторов, взятых в одной пространственно-временной точке»1.

Еслируководствоватьсяэтимиидеями, товозможновкачестве фундаментального принять некоторое нейтринное поле. «Тогда, в принципе, — отмечает М. А. Марков, — можно выделить гравитационное поле из системы, состоящей из уравнения для гравитационного поля <...> и уравнения Дирака для нейтрино в ковариантном виде. В результате мы получим некоторое нелинейное уравнение для фермионного поля. Вывод и анализ даже приближенных уравнений такого рода весьма сложен. Подобные исследования находятся еще в зачаточной стадии, и в настоящее время нельзя судить, в какой степени разные решения этих уравнений сравнимы с различными элементарными частицами в духе идей, начало которым положил Гейзенберг»2.

Следует подчеркнуть, что данные представления получены М. А. Марковым на основе предположений о взаимосвязи различных материальных взаимодействий, в том числе и на предположении о необходимости учета гравитационного поля при описании взаимодействия элементарных частиц. Если помимо этого уравнения, учитывающего гравитационные взаимодействия, привлечь соображения о фундаментальной длине, то намечается еще один путь устранения трудностей с расходимостями наряду с перенормировкой.

Подобный учет нелинейности в теории не является новым. Понятие нелинейности вводится в теории, как правило, когда возникает необходимость описывать гравитационное поле. Так, система гравитационных уравнений Эйнштейна представляет собой систему нелинейных уравнений в частных производных. Здесь мы видим попытку Эйнштейна дать интерпретацию этих уравнений. Дело в том, что эта система уравнений квазилинейна, то есть она линейна в главных своих членах относительно максимального порядка. Существенным является то, что система уравнений Эйнштейна носит гиперболический характер, из чего сле-

1Там же, с. 35.

2Марков М. А. Может ли гравитационное поле оказаться существенным в теории элементарных частиц? // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. — М.:

Мир, 1979. — С. 475.

140