Математическое моделирование объектов и систем управления. Учебно-методическое пособие

№ 3137 М И Н И С Т Е РС Т В О Н АУ К И И В ЫС Ш Е ГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра автоматизации

Н.В. Осипова

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Учебно-методическое пособие

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2019

УДК 004

О-74

Рецензент канд. техн. наук, доц Б.Ф. Коньшин

Осипова Н.В.

О-74 Математическое моделирование объектов и систем управления : учеб.-метод. пособие / Н.В. Осипова. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2019. – 39 с.

В учебно-методическом пособии изложены принципы построения математических моделей системуправления. Вкачествепримераобъекта управления рассмотрен беспилотный летательный аппарат. Также приведены теоретические основы синтеза модели фильтра Калмана для указанной системы. ПредставленыпрограммныйкодвпакетеMatlabирезультатымоделирования,которые показывают оценку углов ориентации и скорости движения летательного аппарата.

Предназначено для студентов НИТУ МИСиС, обучающихся в бакалавриате по направлению подготовки 27.04.04 «Управление в технических системах».

УДК 004

Н.В. Осипова, 2019

НИТУ «МИСиС», 2019

3

Предисловие

Методические указания включают следующие разделы: введение, теоретическую часть, описание требований к курсовой работе, контрольные вопросы к ее защите, список литературы и приложения.

Во введении приведены цель, структура и этапы выполнения курсовой работы по дисциплине «Математическое моделирование объектов и систем управления».

Втеоретической части изложены основные задачи управления навигационными объектами. Дана структурная схема модели САУ беспилотным летательным аппаратом (БПЛА). Рассмотрены методика составления его модели движения, синтеза фильтра Калмана, позволяющего оценить углы ориентации, скорости БПЛА. Также приведен алгоритм и пример написания программного кода в пакете прикладных программ Matlab, реализующего указанную модель движения и фильтр Калмана.

Вметодических указаниях изложены требования к выполнению, оформлению, защите и оценке курсовой работы, имеются примерные варианты заданий и перечень контрольных вопросов.

Список литературы представлен актуальными учебными изданиями за последние десять лет, которые позволят студенту самостоятельно освоить материал, необходимый для выполнения курсовой работы.

Вприложении А приведено обозначение переменных, используемых в программе Matlab, и их соответствие параметрам расчетных формул настоящих методических указаний, в приложении Б – блоксхема алгоритма модели работы фильтра Калмана для САУ БПЛА, в приложении В – программный код на языке Matlab.

4

Введение

Целью написания курсовой работы является закрепление знаний, полученных при изучении курса лекций, а также на лабораторных и практических занятиях. Основная ее задача состоит в приобретении навыков по разработке математической модели движения беспилотного летательного аппарата (БПЛА), синтезу фильтра Калмана и его реализации в виде программного кода в среде Matlab.

В соответствии с утвержденным учебным планом студенты­ направления 27.04.04 «Управление в технических системах» выполняют курсовую работу по дисциплине «Математическое моделирование объектов и систем управления» на 1 курсе магистратуры, 1 семестре.

Общий объем работы должен составлять 20 – 25 страниц машинописного текста.

Структура курсовой работы: 1 Титульный лист.

2 Задание.

3 Содержание.

4 Введение.

5 Разработка модели движения БПЛА.

6 Модель фильтра Калмана.

7 Реализация модели движения БПЛА и фильтра Калмана в пакете

Matlab.

8 Выводы и заключение.

9 Список использованных источников.

Перед началом выполнения курсовой работы студент получает индивидуальное задание.

Оформление и сдача курсовой работы осуществляется в печатном виде.

5

1 Теоретическая часть

1.1 Описание объекта исследований

Исследование систем автоматического управления какими-либо техническими объектами зачастую связано с изучением влияния на них различного рода возмущающих воздействий, к которым относятся, в первую очередь, шумы измерительных приборов, случайные нарушения технологического режима работы вследствие изменчивости факторов окружающей среды и т.д.

При этом главная задача заключается в выделении полезного сигнала из зашумленной информации. Благодаря этому повышается точность и надежность регулирования, обеспечивается эффективность работы автоматических систем.

Среди объектов исследований, наиболее подверженных воздействию различного рода помех, самыми распространенными являются системы навигации. Одним из методов, способствующих улучшению качества работы таких объектов, является применение алгоритмов фильтрации сигналов измерительных приборов, оценки параметров движения, в частности, фильтра Калмана [8].

На рисунке 1.1 изображена обобщенная структурная схема модели САУ БПЛА.

С помощью модели измерителей параметров движения формируются данные с датчиков ускорения и угловой скорости БПЛА, которые представлены обобщенным вектором Uи(t). Блок переключения режимов обеспечивает их ввод на вход блока начальной выставки в

6

течение заданного времени tв. По истечении tв он выдает вектор на-

(0)

чальных координат состояния объекта X(0) и их оценок X , в качестве которых, как правило, выступают углы ориентации БПЛА (тангаж, крен, курс), скорость, координаты (широта, долгота, высота). Также в момент времени tв происходит переключение из режима выставки в режим навигации, и измерения Uи(t) начинают использоваться в модели движения БПЛА.

Модель фильтра Калмана на основе априорной информации о ковариации ошибок оценивания координат состояния начальными условиями P(0), шумах системы Q, а также информации с модели СНС (спутниковой навигационной системы) с шумом R выдает истинные

значения ( )

X t .

Модель регулятора в зависимости от сигнала рассогласования ∆(t) между заданным значением вектора состояния X* и оцененным филь-

тром Калмана ( ) формирует управляющий сигнал ∆ ( ), корректи-

X t U t

руя ускорение и угловую скорость, внося поправку в вектор измере-

ний Uи(t).

Следует отметить, что выставка может осуществляться в два этапа. Вначале определяется угловое положение в неподвижном состоянии БПЛА, а затем в процессе полета уточняется его ориентация и проекции линейных скоростей на оси навигационной системы координат.

В курсовой работе будет рассмотрена методика составления модели движения БПЛА и синтез фильтр Калмана. При этом в качестве начальных условий будут выступать координаты состояния X(0), полученные на выставке в процессе полета.

1.2 Составление модели движения БПЛА

Рассмотрим основные системы координат (СК), которые находят применение в навигации и могут быть использованы при составлении математической модели движения БПЛА (рисунок 2) [1]:

-- связанная СК: ось x направлена по оси движения БПЛА, ось y – перпендикулярно оси x «вверх», ось z дополняет xОy до правой СК; -- навигационная СК: ось N (North – «север») обращена на северный полюс по касательной к меридиану, ось U (Up – «вверх») – перпендикулярна оси N, ось E (East – «восток») направлена по параллели

на восток.

7

y.x O z

ON’.U E

y.x O z

а– навигационная и связанная системы координат,

б– связанная система координат БПЛА

Рисунок 1.2 – Основные системы координат, применяемые в навигации

Если совместить начало координат О и О’, то СК xyz будет ориентирована относительно NUE на углы, имеющие следующие названия:

-- курс ψ – угол между северным направлением и продольной осью летательного аппарата, отсчитываемый по часовой стрелке, имеет диапазон изменения 0°…360°;

-- крен γ – угол, описывающий поворот объекта вокруг продольной оси в пределах –180°…180°;

-- тангаж ϑ – угол между продольной осью летательного аппарата и горизонтальной плоскостью, интервал изменения –90°…90°.

Опишем последовательность перехода от связанной СК к навигационной. Пусть в начальный момент времени xyz и NUE совпадали. Далее ось БПЛА совершила поворот на угол ψ вокруг вертикальной оси U и y, которые направлены «на нас» (рисунок 1.3, а).

Тогда новая СК будет обозначена как x’yz’. Найдем ее проекции на оси NUE:

8

в

а – на угол курса ψ; б – на угол тангажа ϑ; в – на угол крена γ Рисунок 1.3 – Последовательность поворотов БПЛА

В матричной форме:

Теперь опишем поворот новой СК x’yz’ на угол γ вокруг оси x’ (ри-

сунок 1.3, б):

Ось x’ останется без изменений, поэтому выражение (1.2) преобразуется к виду:

9

Последний поворот СК x’y’z’’ на угол ϑ вокруг оси z’’ опишется следующим образом (рис. 3, в):

В данном случае положение оси z’’ не меняется, следовательно

Для того чтобы определить ориентацию системы x’’y’’z’’, полученной в результате конечного поворота на углы ψ, γ, ϑ, подставим последовательно правую часть выражения (1.6) вместо вектора (x’’ y’ z’)T в (1.4), а затем заменим (x’y z’)T в формуле (1.2) на правую часть нового полученного уравнения (1.4):

10