Математическое моделирование задач тепломассообмена в примерах. Учебное пособие

Медная пластина с размерами L = H = 0,5 м. Горизонтальные границы являются адиабатическими, а на вертикальных границах поддерживаются постоянные температуры Th = 80 °С и Тс = 30 °С. Начальная температура области решения T0 = 5 °С.

Математическая постановка задачи будет иметь вид:

(3.1)

Начальные и граничные условия запишутся следующим образом:

(3.2)

Для аппроксимации дифференциального уравнения (3.1) разностным введем пространственно-временную сетку с координатами

(3.3)

где hx, hy - шаги сетки по координатам х, у соответственно; τ - шаг по времени; i = 1,2,…, NX; j = 1,2,…, Ny; n = 0,1,…, К. Т.е. вся расчетная область (рис. 9) покрывается сеткой (рис.10).

31

Рис. 10. Разностная сетка области решения.

Введем следующее обозначение: T(хi, yj ,tn)= Tni,j.

Дискретизацию уравнения (3.1) будем проводить на основе локально одномерной схемы А.А. Самарского, которая является абсолютно устойчивой н обладает свойством суммарной аппроксимации. Сущность этого подхода состоит в том, что шаг по времени реализуется в два этапа -

на промежуточном временном шаге проводим дискретизацию двумерного уравнения (3.1) только в направлении оси х и получаем одномерное

32

уравнение, после его решения проводим вновь дискретизацию уравнения

(3.1), но уже в направлении оси у и, решая полученное одномерное

уравнение, определяем поле температуры на целом шаге по времени.

(3.4),

(3.5)

Разностные уравнения (3.4), (3.5) сводятся к стандартному трехдиагональному виду и решаются последовательно методом прогонки. Сначала для всей области решается уравнение (3.4), посте того как его решение будет найдено, переходят к решению уравнения (3.5).

Рассмотрим решение уравнения (3.4) методом прогонки. Приведем это уравнение к виду

Тогда коэффициенты Ai Вi, Сi, примут вид:

(3.7)

33

Для определения прогоночных коэффициентов по соотношению (3.7)

необходимо найти α1 и β1 из левого граничного условия. Далее определяя

n 1

значение TN , j2 из правого граничного условия, находят поле температуры

34

4. ПРИМЕРЫ СОСТАВЛЕНИЯ ПРОГРАММ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОДНОМЕРНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. 4.1 Программа расчета неявным методом с помощью MATHCAD вариант 1.

35

4.3Программа расчета неявным методом на основе MATHCAD вариант 2.

38

4.4 Программа расчета явным методом на основе MATHCAD вариант 2.

39