Математическое моделирование задач тепломассообмена в примерах. Учебное пособие

Из этого условия определяется шаг интегрирования по временной координате. Таким образом, явная разностная схема является условно устойчивой и требует специальных мероприятий по оценке возможности ее использования. Результаты расчетов по приведенной программе при L = 0,1

м, λ = 46 Вт/(м °С), ρ = 7800 кг/м3, с = 460 Дж/(кг°С), T0=20 °С, Тл = 300 °С,

Тп = 100 °С через 60 секунд процесса нагрева приведены на рис. 6.

Рис. 6. Распределение температуры по толщине пластины в момент времени

t = 60 с (с использованием явной разностной схемы)

Анализируя рисунки 5 и 6, видим, что полученные поля температур идентичны. Покажем, в чем же заключается недостаток явных

21

помощью программы, построенной на основе явной схемы, рассчитан только случай N = 50, t = 60. При N > 50 и t > 20 происходит ошибка

Рис. 7. Распределение температуры по толщине пластины в.момент времени t = 60 с: а - явная схема, б - неявная схема

Рис. 7а наглядно демонстрирует появление осцилляций при использовании явной схемы, что характеризует её неустойчивость. Неявная же схема напротив дает корректный результат. Поэтому дальнейшее изложение материала будем проводить с использованием неявной разностной схемы.

22

2.2 КОНЕЧНО-РАЗНОСТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ ВТОРОГО РОДА

Если для задачи, изложенной в пункте 2.1, в качестве граничных условий на внешних поверхностях использовать граничные условия второго рода (заданы тепловые потоки q1 и q2, рис. 8), тогда математическая формулировка граничных условий будет иметь следующий вид:

(2.19)

Рис. 8. Геометрия задачи (граничные условия второго рода)

Проанализируем соотношения (2.19):

ql > 0 => на границе x = 0 происходит нагрев материала;

q1 < 0 => на границе x = 0 происходит охлаждение материала$

23

q2> 0 => на границе x = L происходит охлаждение материала;

q2 < 0 => на границе х = L происходит нагрев материала.

Проведем дискретизацию граничных условий II рода с погрешностью O(h). Погрешность аппроксимации вида O(h) означает, что различия между точными значениями и полученными (приближенными) будут одного порядка с шагом по пространству h. Поскольку обычно h<1, то погрешность будет тем меньше, чем выше порядок аппроксимации. Например, погрешность аппроксимации вида O(h2) дает результаты более точные, т.к. h2 < h < 1.

Поскольку мы будем использовать неявную разностную схему, то левое граничное условие необходимо для определения первых прогоночных

коэффициентов α1 и β1 из соотношения T1 1T2 1

Итак.

(2.20)

(2.21)

Отсюда следует, что

(2.21)

24

А правое граничное условие используют для определения температуры TN.

Итак:

(2.22)

(2.23)

Проведем дискретизацию граничных условий II рода с погрешностью O(h2). Предположим, что на границе выполняется уравнение теплопроводности (5.3):

(2.24)

где а - коэффициент температуропроводности материала.

Разложим функцию Т(х) в ряд Тейлора в окрестности точки х = 0 до членов второго порядка получим относительно h:

25

(2.25)

Используя предыдущие соотношения

(2.26)

(2.27)

Таким образом,

(2.28)

Определим TN используя правое граничное условие.

26

(2.29)

Таким образом

(2.30)

(2.31)

Граничные условия третьего рода для рассматриваемой задачи (если температуры окружающей среды Tе1 и Tе2 и коэффициенты теплоотдачи к1 и к2) можно сформулировать следующим образом:

(2.32)

Проведем дискретизацию граничных условий III рода с погрешностью O(h).

Определим первые прогоночные коэффициенты α1 и β1 и из соотношения T1 1T2 1 .

27

(2.33)

Введем обозначение h Bi

(2.34)

А правое граничное условие используют для определения температуры TN.Таким образом

(2.35)

28

(2.36)

Проведем дискретизацию граничных условий III рода с погрешностью O(h2). Предположим, что на границе выполняется уравнение теплопроводности (19). Далее по аналогии с аппроксимацией граничного условия II рода получим:

, (2.37)

(2.38)

Использование же правого граничного условия дает следующее соотношение:

29

(2.39)

3. ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ОДНОРОДНОГО ТЕЛА

Проанализируем процесс теплопереноса в пластине (рис. 9).

Рис. 9. Область решения.

30