Математическая статистика. Ч.2. Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА»

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ

КАФЕДРА «ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ ЦИФРОВОЙ ЭКОНОМИКИ»

Н.В. Карпенко

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ЧАСТЬ II

Учебное пособие для студентов направления 380401 «Экономика»

Москва - 2020

3

ВВЕДЕНИЕ

Математическая статистика – наука, изучающая методы обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений, обладающих статистической устойчивостью, закономерностью, с целью выявления этой закономерности. Выводы о закономерностях, которым подчиняются явления, изучаемые методами математической статистики, как правило основываются на ограниченном числе наблюдений.

Обработав результаты наблюдений, исследователь выдвигает ряд гипотез (предположений) о том, что рассматриваемое явление можно описать той или иной вероятностной теоретической моделью. Далее, используя математико-статистические методы, можно дать ответ на вопрос, какую из гипотез или моделей следует принять, которая и будет считаться искомой закономерностью изучаемого явления. Правомерен такой вывод или нет, покажет практика использования выбранной модели. Таково типичное содержание математико-статистического исследования.

В данном пособии теоретический материал не представлен в исчерпывающем объёме и предполагает дополнительное использование учебников и учебных пособий, например тех, которые указаны в списке литературы.

4

1. ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД

1.1. Основные понятия

Совокупность всех объектов (результатов наблюдений), обладающих некоторым признаком (свойством), называется

генеральной совокупностью. При этом необходимо, что бы объекты функционировали (наблюдения производились) в неизменных условиях.

Число объектов генеральной совокупности может быть конечным или бесконечным. Причем в случае достаточно большого количества элементов генеральной совокупности присоединение к ней новых элементов практически не влияет на результаты выборочного анализа.

На практике, как правило, обследование всех объектов генеральной совокупности (сплошное обследование) не производится в силу излишней трудоемкости, экономической нецелесообразности либо невозможности такого процесса.

В таких случаях наилучшим способом обследования является выборочное наблюдение: выбирают из генеральной совокупности часть ее объектов и подвергают их изучению.

Выборочной совокупностью (выборкой) называют совокупность объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Число объектов в совокупности, генеральной или выборочной, называется ее объемом (размером) и обозначается соответственно

N или n.

Например, если из 15000 деталей отобрано для обследования 150 деталей, то объем генеральной совокупности N = 15000, а объем выборки n = 150.

Конкретные значения выборки, полученные в результате наблюдений (испытаний), называют реализацией выборки и

обозначают строчными буквами x1 , x2 , ..., xn .

Метод статистического исследования, состоящий в том, что на основе изучения выборочной совокупности делается заключение о всей генеральной совокупности, называется выборочным.

5

Для того чтобы по данным выборки точно характеризовать всю генеральную совокупность, необходимо, чтобы отобранные элементы правильно ее представляли.

Выборка, достаточно хорошо описывающая всю генеральную совокупность, является репрезентативной (представительной).

Репрезентативность - это степень соответствия характеристик выборки характеристикам генеральной совокупности.

На всю генеральную совокупность можно распространить результаты анализа только по репрезентативным выборкам.

Репрезентативность достигается за счет случайного отбора, т.е. все объекты генеральной совокупности должны иметь равные вероятности попасть в выборку. На этом вопросе мы останавливаться не будем. Виды выборок и процедуры их формирования изучаются в курсе «Общая теория статистики». В данном пособии будут рассматриваться теоретические положения для простой случайной бесповторной выборки.

Репрезентативная выборка должна иметь достаточно большой объем. Объем выборки зависит от планируемой строгости эксперимента и следующих составляющих:

изменчивость признака (чем разнообразней значения признака, тем больше наблюдений нужно, чтобы выявить закономерности);

размер эффекта (чем меньшие эффекты, т.е. более тонкие особенности, необходимо выявить, тем больше наблюдений необходимо);

уровень доверия (величина вероятности, при котором отвергается нулевая гипотеза).

Размер выборки n можно найти по следующим формулам. Для оценки среднего значения

6

где H - допустимая ошибка (в натуральных единицах измерения); z - доверительный уровень (при α = 0,05 z = 1,96), σ - стандартное отклонение.

где H - допустимая ошибка (в натуральных единицах измерения),- среднеквадратическое отклонение; t - доверительный уровень находится из условия:

2Ф t

( Ф t - интегральная функция Лапласа) (при α = 0,05 t = 1,96),

p - доля признака (максимальное значение неопределенности достигается при p = 0,5).

Пример 1.1

Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания a генеральной совокупности по выборочной средней равна

7

1.2. Предельная ошибка выборки

Средняя ошибка выборки показывает, насколько отклоняется в среднем параметр выборки от соответствующего параметра генеральной совокупности X. Если рассчитать среднюю из ошибок всех возможных выборок определенного вида заданного объема n, извлеченных из одной и той же генеральной совокупности объема N, то получим их обобщающую характеристику - среднюю ошибку выборки ( ).

При бесповторном случайном отборе

где sx2 - выборочная дисперсия.

Предельная ошибка выборки – это произведение

t .

Здесь множитель кратности t находится из условия:

2Ф t

( Ф t - интегральная функция Лапласа)

При бесповторном случайном отборе предельная ошибка среднего равна

8

2. СТАТИСТИЧСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

2.1. Основные понятия

Сформулируем задачу оценки параметров в общем виде.

параметр в распределении Пуассона или параметры a и для нормального распределения и т. д.

Для вычисления параметра исследовать все элементы генеральной совокупности не представляется возможным. Поэтому о параметре пытаются судить по выборке, состоящей

из значений (вариантов) x1 , x2 , ..., xn . Эти значения можно рассматривать как частные значения (реализации) n независимых случайных величин 1 , 2 , ..., n , каждая из которых имеет тот же закон распределения, что и сама случайная величина .

~

Определение. Оценкой параметра называют всякую функцию результатов наблюдений над случайной величиной (иначе – статистику), с помощью которой судят о значении параметра :

величиной, зависящей от закона распределения случайной величины и числа n .

9

Всегда существует множество функций от результатов наблюдений 1 , 2 , ..., n (от n «экземпляров» случайной величины ), которые можно предложить в качестве оценки

~

параметра . Какими свойствами должна обладать оценка чтобы в каком-то смысле быть «доброкачественной» оценкой?

Назвать «наилучшей» оценкой такую оценку, которая наиболее близка к истинному значению оцениваемого параметра,

невозможно, так как – случайная величина и невозможно

предсказать индивидуальное значение оценки в данном частном случае.

Так что о качестве оценки следует судить не по индивидуальным ее значениям, а лишь по распределению ее значений в большой сети испытаний, т.е. по выборочному распределению оценки.

~

Если значения оценки концентрируются около истинного

значения параметра , т.е. основная часть массы выборочного распределения оценки сосредоточена в малой окрестности

оцениваемого параметра , то с большой вероятностью можно

~

считать, что оценка отличается от параметра лишь на малую

~

величину. Поэтому, чтобы значение было близко к ,

меньшим. Таково основное условие, которому должна удовлетворять «наилучшая» оценка.

Рассмотрим наиболее важные свойства оценок.

В противном случае оценка называется смещенной.

10