Математическая статистика. Ч.2. Учебное пособие

~

Если это равенство не выполняется, то оценка , полученная

по разным выборкам, будет в среднем либо завышать значение

~ ~

(если M ), либо занижать его (если M ). Таким образом, требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.

Замечание

На первый взгляд, приведенное выше определение любой оценки, как всякой функции результатов наблюдений, было бы

более естественным и не таким расплывчатым, если бы в нем

~

содержалось условие M . К сожалению, этого сделать нельзя, так как практически важные оценки оказываются смещенными, хотя и слабо.

состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел,

В случае использования состоятельных оценок оправдывается увеличение объема выборки, так как при этом становятся маловероятными значительные ошибки при оценивании. Поэтому практический смысл имеют только состоятельные оценки. Если

оценка состоятельна, то практически достоверно, что при

~

n .

11

называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию

эффективной.

Эффективную оценку в ряде случаев можно найти, используя

неравенство Рао-Крамера-Фреше:

где I – количество информации Фишера о параметре ,

содержащееся в единичном наблюдении и определяемое в дискретном случае формулой:

12

где p x; P x ,

а в непрерывном случае – формулой

где f x; – плотность распределения случайной величины .

Замечание

В качестве статистических оценок параметров генеральной совокупности желательно использовать оценки, удовлетворяющие одновременно требованиям несмещенности, состоятельности и эффективности. Однако достичь этого удается не всегда. Может оказаться, что для простоты расчетов целесообразно использовать незначительно смещенные оценки или оценки, обладающие большей дисперсией по сравнению с эффективными оценками, и т.п.

2.2. Точечные оценки

Различают точечные и интервальные оценки неизвестных параметров.

Определение. Точечной оценкой называется оценка, которая определяется одним числом.

Рассмотрим наиболее важные точечные оценки – оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины.

Пусть имеется случайная величина с математическим ожиданием a M и дисперсией D D . Оба параметра

неизвестны. Требуется на основании опытных данных найти состоятельные и несмещенные оценки этих параметров.

Генеральной средней xг называется среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Если все значения х1 , х2 ,...,хN признака генеральной совокупности объема N различны, то

13

Для характеристики рассеяния значений признака генеральной совокупности вокруг своего среднего значения вводят генеральную дисперсию и генеральное среднее квадратическое отклонение.

Генеральной дисперсией Dг называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения xг .

14

Генеральным средним квадратическим отклонением г называется квадратный корень из генеральной дисперсии:

Пусть произведено n опытов, результатом которых является выборка х1 , х2 ,...,хп значений случайной величины . Величины

х1 , х2 ,...,хп можно рассматривать как n независимых случайных величин, каждая их которых распределена по такому же закону,

15

Замечания

1) Если все значения вариант х1, х2 ,...,хп выборки объема n различны, то

Выборочная средняя характеризует среднее значение вариационного ряда.

Допустим, что все значения признака совокупности

(генеральной или выборочной) разбиты на несколько групп. Рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти ее среднюю арифметическую.

Групповой средней xгр называется среднее арифметическое значений признака, принадлежащих группе.

Общей средней x называется среднее арифметическое значений признака, принадлежащих всей совокупности.

Перейдем к оценке для дисперсии.

называется среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений вариант от их среднего значения xв , т.е.

оцениваемому параметру D . Следовательно, Dв – смещенная оценка.

16

Однако эта оценка является состоятельной, (согласно закону больших чисел в форме теоремы Чебышева)

В качестве несмещенной оценки генеральной дисперсии

17

Найти несмещенную оценку генеральной средней.

Решение

Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя (2.7):

Пример 2.2

Найти выборочную дисперсию и несмещенную оценку генеральной дисперсии по выборке объема n 50:

Решение

Выборочную дисперсию найдем по формуле:

Dв 1 ni xi2 (xв )2 n i

(5 0,12 15 0,52 20 0,62 10 0,82 ) / 50 0,562

0,348 0,3136 0,0344

Здесь выборочная средняя равна

ni xi

18

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия (2.9):

▲

2.3. Интервальные оценки

~

Точечная оценка является лишь приближенным значением неизвестного параметра даже в том случае, если она несмещенная (в среднем совпадает с ), состоятельная (стремится к с ростом n ) и эффективная (обладает наименьшей степенью случайных отклонений от ) и для выборки небольшого объема может существенно отличаться от .

Определение. Интервальной оценкой называется интервал,

который определяется по выборке так, чтобы он содержал оцениваемый параметр с достаточно высокой вероятностью.

оценки.

Однако гарантировать выполнение последнего неравенства

~

невозможно из-за случайного характера . Можно говорить лишь о вероятности его выполнения.

19

которой этот интервал заключает в себе (накрывает) точку ,

а не как вероятность попадания в него (рис. 1).

параметра , называется доверительным интервалом,

соответствующим точности и надежности .

~

Наибольшее отклонение оценки от оцениваемого

параметра , в частности выборочной средней от генеральной средней, которое возможно с заданной доверительной вероятностью , называется предельной ошибкой выборки.

Ошибка является ошибкой репрезентативности

(представительства) выборки. Она возникает только вследствие того, что исследуется не вся генеральная совокупность, а лишь ее

20