Математическая статистика. Ч.2. Учебное пособие
.pdfсравнительно велика, то гипотеза принимается, если малаp 0,1 – отвергается.
Пример 3.1
Используя критерий Пирсона при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Х с эмпирическим распределением
выборки объема n 53.
Решение
На основе выборочных данных построен вариационный ряд:
№ |
Середина |
|
Эмпири- |
|
Нормированная |
Значение |
Теорети- |
||||
интер- |
|
интер- |
|
ческая |
|
середина |
функции |
ческая |
|||
вала |
|
вала |
|
частота |
|
интервала |
|
частота |
|||
i |
|
xi |
|
|
mi |
|
ui |
(ui ) |
mi |
||
1 |
|
|
4,52 |
|
12 |
|
-1,24 |
0,1849 |
8 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
6,53 |
|
18 |
|
-0,37 |
0,3726 |
17 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
8,54 |
|
15 |
|
0,49 |
0,3538 |
16 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
10,56 |
|
5 |
|
1,35 |
0,1604 |
7 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
12,57 |
|
2 |
|
2,22 |
0,0339 |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
14,58 |
|
1 |
|
3,08 |
0,0035 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
|
|
|
53 |
|
|
|
50 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|||||
Ширина интервала |
|
|
|
||||||||
h |
xmax xmin |
2,01 . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 3,22 lg n |
|
|
|
|||||
Среднее выборочное |
|
|
|
||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi mi |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
i 1 |
7,40 . |
|
|
|
||||
|
k |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
mi |
|
|
|
|
|
|
|
i 1
Сумма частот равна объему выборки
41
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
n mi 53. |
|
|
|
|
|||||||
|
i 1 |
|
|
|
|
||||||
Выборочное среднеквадратическое отклонение |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
)2 mi |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(xi |
X |
|
|
|
|
||
s |
|
|
|
i 1 |
|
2,33 . |
|||||
6 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
mi |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|||
Нормированная середина интервала находится по формуле |
|||||||||||
u |
xi x |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
i |
|
|
|
s |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Значение функции (x) |
1 |
e x2 / 2 в точках ui найдены по |
|||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
таблице 1 Приложения.
Теоретические частоты, найдены по формуле
mi nsh (ui )
и округлены до целых значений.
Пятый и шестой интервалы имеют частоту (как эмпирическую, так и теоретическую) меньше 5. Поэтому четвертый, пятый и шестой интервалы объединяем. После объединения интервальный ряд имеет вид:
№ |
Эмпири- |
Теорети- |
Эмпири- |
Теорети- |
2 |
|
интер- |
ческая |
ческая |
ческая |
ческая |
||
pi pi |
||||||
вала |
частота |
частота |
вероятность |
вероятность |
||
|
||||||
i |
mi |
mi |
pi |
pi |
pi |
|
|
||||||
1 |
12 |
8 |
0,23 |
0,16 |
0,0194818 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
18 |
17 |
0,34 |
0,34 |
0,0000004 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
15 |
16 |
0,28 |
0,32 |
0,0048322 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
8 |
9 |
0,15 |
0,18 |
0,0055934 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
53 |
50 |
1 |
1 |
0,02991 |
|
|
|
|
|
|
|
42
Наблюдаемое значение критерия найдем по формуле
|
l |
|
2 |
|
набл2 |
pi |
pi |
|
|
n |
53 0,2991 1,585 . |
|||
|
i 1 |
|
pi |
|
По таблице критических точек распределения 2 (таблица 6 Приложения), по заданному уровню значимости 0,05 и
числу степеней свободы k l 3 4 3 1 (здесь l 4 - число интервалов после объединения) найдем критическое
значение 2кр 0,05;1 3,841.
Так как 2набл 2кр , то нет оснований отвергнуть нулевую
гипотезу (признается, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону).
▲
Критерий Колмогорова
Критерий Колмогорова для простой гипотезы является наиболее простым критерием проверки гипотезы о виде закона распределения. Он связывает статистическую функцию
распределения F x , с функцией распределения F x непрерывной случайной величины .
В качестве критерия рассматривается максимальное значение
модуля разности между статистической функцией распределения |
|||||
F x |
и |
соответствующей |
теоретической функцией |
||
распределения: |
|
|
|
||
|
|
|
|||
D max |
F x F x |
. |
(3.6) |
||
Случайная |
величина D имеет |
достаточно простой закон |
|||
распределения. Колмогоров доказал, что какова бы ни была функция распределения F x непрерывной случайной величины, при неограниченном возрастании числа независимых
43
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
наблюдений n |
вероятность неравенства |
D n |
||||||||||||
стремится к пределу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
P 1 |
|
1 k e 2k 2 2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Значения вероятности P сведены в таблицу: |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
P |
|
|
|
|
P |
|
|
|
P |
|||
|
0,0 |
1,000 |
|
|
|
0,7 |
|
0,711 |
|
1,4 |
|
0,040 |
||
|
0,1 |
1,000 |
|
|
|
0,8 |
|
0,544 |
|
1,5 |
|
0,022 |
||
|
0,2 |
1,000 |
|
|
|
0,9 |
|
0,393 |
|
1,6 |
|
0,012 |
||
|
0,3 |
1,000 |
|
|
|
1,0 |
|
0,270 |
|
1,7 |
|
0,006 |
||
|
0,4 |
0,997 |
|
|
|
1,1 |
|
0,178 |
|
1,8 |
|
0,003 |
||
|
0,5 |
0,964 |
|
|
|
1,2 |
|
0,112 |
|
1,9 |
|
0,002 |
||
|
0,6 |
0,864 |
|
|
|
1,3 |
|
0,068 |
|
2,0 |
|
0,001 |
||
Схема применения критерия Колмогорова
1. Строим статистическую функцию распределения F x и предполагаемую теоретическую функцию распределения F x (рис. 3).
Рисунок 3
2. Определяем D и D
n .
44
3. По таблице находим вероятность P . Если P мала, то гипотеза отвергается; если же P велика, то гипотеза принимается.
Замечание
Критерий Колмогорова можно применять лишь в случае, когда теоретическое распределение F x полностью известно заранее
из каких-либо теоретических соображений, т.е. когда известен не только вид функции распределения, но и все входящие в нее параметры. Такое бывает редко, так как обычно известен только общий вид функции, а входящие в нее числовые параметры определяются по данным статистических наблюдений. Но в этом случае данный критерий дает заведомо завышенные вероятности
P . Поэтому в ряде случаев можно допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу).
Пример 3.2
Используя критерий Колмогорова при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Х с эмпирическим распределением
выборки |
объема |
n 53, |
представленной |
в примере 3.1 |
||||||
интервальным рядом: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эмпири- |
|
Теорети- |
Эмпири- |
Теорети- |
|
|
|
|
№ |
|
|
|
ческая |
ческая |
|
|
|
||
|
ческая |
|
ческая |
|
|
|
|
|||
интер- |
|
|
функция |
функция |
|
|
|
|||
|
вероят- |
|
вероят- |
|
|
|
||||
вала |
|
|
распреде- |
распреде- |
|
|
|
|||
|
ность |
|
ность |
|
|
|
||||
|
|
|
|
ления |
ления |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i |
|
p |
|
p |
|
F (xi ) |
F (xi ) |
|
F(xi ) F (xi ) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0,23 |
|
0,16 |
|
12 |
8 |
0,0664 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0,34 |
|
0,34 |
|
18 |
17 |
0,0660 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0,28 |
|
0,32 |
|
15 |
16 |
0,0291 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
0,15 |
|
0,18 |
|
8 |
9 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
|
1 |
|
1 |
|
53 |
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45
Здесь значения эмпирической и теоретической
функции распределения равны, соответственно, накопленным эмпирическим и теоретическим вероятностям.
По таблице определяем
Dmax F x F x 0,0664 и
D
n 0,0664 
53 0,4835 0,5 .
По таблице найдем
P P 0,5 0,964 .
Так как P велика, то гипотеза о подчинении генеральной совокупности нормальному закону принимается.
▲
3.4. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
По независимым выборкам объема n1 и n2, извлеченных из нормальных генеральных совокупностей X, Y, найдены
исправленные выборочные дисперсии s2X и sY2 . Необходимо сравнить эти дисперсии.
1. Для того, чтобы при заданном уровне значимости , проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий
нормальных совокупностей
H0 : D X D Y
при конкурирующей гипотезе
H1 : D X D Y ,
надо вычислить наблюдаемое значение критерия (отношение большей исправленной дисперсии к меньшей):
F |
sБ2 |
, |
(3.7) |
|
|||
набл |
sМ2 |
|
|
|
|
|
46
которое сравнивается с критическим значением Fkp ; df1; df2 , найденным по таблице критических значений
распределения Фишера-Снедекора по заданному уровню и
числам степеней свободы |
df1 n1 1 |
, df2 n2 1 ( df1 - |
|||
число степеней свободы большей исправленной дисперсии). |
|||||
Если Fнабл Fkp |
- нет оснований отвергнуть нулевую |
||||
гипотезу (гипотеза H0 принимается, т.е. дисперсии считаются |
|||||
равными). |
|
|
|
|
|
Если Fнабл Fkp |
- |
нулевая |
гипотеза |
отвергается, |
|
принимается |
гипотеза |
H1 , т.е. дисперсия sБ2 |
статистически |
||
значимо больше дисперсии sМ2 . |
|
|
|||
2. При конкурирующей гипотезе |
|
|
|||
H1 : D X D Y |
|
|
|
||
критическое значение |
Fkp / 2;df1; df2 находят по уровню |
||||
значимости / 2 и числам степеней свободы |
df1 n1 1 , |
||||
df2 n2 1 |
( df1 |
- число степеней свободы большей |
|||
исправленной дисперсии). |
|
|
|
||
Если Fнабл Fkp |
- |
нет оснований отвергнуть нулевую |
|||
гипотезу H0 . |
|
|
|
|
|
Если Fнабл Fkp |
- |
нулевая |
гипотеза |
отвергается, |
|
принимается гипотеза H1 , т.е. дисперсии sБ2 и sМ2 различаются статистически значимо.
47
Пример 3.3
По двум независимым выборкам, объемы которых n1 = 11 и
n2 = 14, |
извлеченным |
из |
нормальных |
генеральных |
||
совокупностей |
X и |
Y , найдены исправленные выборочные |
||||
дисперсии s2 |
= 0,76 и |
s2 |
= 0,38. |
|
|
|
|
X |
|
Y |
|
|
|
При уровне значимости = 0,05 проверить нулевую гипотезу |
||||||
H0 : D X D Y |
о равенстве генеральных дисперсий, при |
|||||
конкурирующей гипотезе H1 : D X D Y . |
|
|||||
Решение
Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей
F |
|
|
0,76 |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
набл |
0,38 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
По |
условию |
конкурирующая гипотеза |
имеет |
вид |
|||
D X |
D Y , |
поэтому, |
критическая |
область |
– |
||
правосторонняя. |
По таблице 3 |
Приложения, |
по уровню |
||||
значимости = 0,05 и числам степеней свободы |
|
|
|||||
df1 n1 1 11 1 10 и df2 n2 1 14 1 13
находим критическую точку
Fkp 0,05;10;13 2,67 .
Так как Fнабл Fkp - нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. Другими словами, выборочные исправленные дисперсии различаются незначимо.
▲
48
Пример 3.4
По двум независимым выборкам, объемы которых n1 = 14 и
n2 = 10, |
извлеченным |
из |
нормальных |
генеральных |
||
совокупностей |
X и |
Y , найдены исправленные выборочные |
||||
дисперсии s2 |
= 0,84 и |
s2 |
= 2,52. |
|
|
|
|
X |
|
Y |
|
|
|
При уровне значимости = 0,1 проверить нулевую гипотезу |
||||||
H0 : D X D Y |
о равенстве генеральных дисперсий, при |
|||||
конкурирующей гипотезе H1 : D X D Y . |
|
|||||
Решение
Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей
F |
|
|
2,52 |
3. |
|
|
|
|
|
|
|||
набл |
0,84 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
По |
условию |
конкурирующая |
гипотеза |
имеет вид |
||
D X |
D Y , поэтому, критическая область – двусторонняя. |
|||||
По |
таблице 3 |
Приложения, по |
уровню |
значимости |
||
/ 2 = 0,1 / 2 = 0,05 и числам степеней свободы
df1 n1 1 10 1 9 и
df2 n2 1 14 1 13
находим критическую точку
Fkp 0,05;9;13 2,72 .
Так как - нулевую гипотезу о равенстве
генеральных дисперсий отвергаем. Другими словами, выборочные исправленные дисперсии различаются статистически значимо.
▲
49
3.5. Сравнение двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых известны
Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально, причем их дисперсии D X и D Y известны
(например, из предшествующего опыта или найдены теоретически).
Из генеральных совокупностей извлечены большие независимые выборки объема n (n 30) и m (m 30) , по
которым найдены выборочные средние x и y .
1. Требуется при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные средние (математические ожидания) нормальных совокупностей равны между собой
H0 : M X M Y ,
при конкурирующей гипотезе
H1 : M X M Y ,
надо вычислить наблюдаемое значение критерия:
Zнабл |
|
x y |
||
|
|
|
(3.8) |
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
D( X ) / n D(Y ) / m |
||
и по таблице функции Лапласа (таблица 2 Приложения) найти критическую точку zkp из равенства
Ф(zkp ) (1 ) / 2.
Если |
|
Zнабл |
|
zkp |
- нет оснований отвергнуть нулевую |
|
|
||||
гипотезу (генеральные средние признаются равными). |
|||||
Если |
|
Zнабл |
|
zkp |
- нулевую гипотезу отвергают |
|
|
||||
(генеральные средние различны статистически значимо).
2. При конкурирующей гипотезе
50