Математическая статистика. Ч.2. Учебное пособие

подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другая – при которых она принимается.

Определение. Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Определение. Областью допустимых значений (областью принятия гипотезы) называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформулировать так: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области допустимых значений – гипотезу принимают.

Поскольку критерий K – одномерная случайная величина, все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу. Поэтому критическая область и область принятия гипотезы также являются интервалами и, следовательно, существуют точки, которые их разделяют.

Определение. Критическими точками (границами) Kкр

называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области.

Определение. Правосторонней называют критическую область,

определяемую неравенством K Kпркр (рис. 2, а).

Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством K K левкр (рис. 2, б).

Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами K K левкр и K Kпркр (рис. 2, в).

В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, двусторонняя критическая область определяется

31

Когда критическая точка уже найдена, вычисляют по данным выборок наблюденное значение критерия и, если окажется, что

Kнабл Kкр , то нулевую гипотезу отвергают; если же Kнабл Kкр , то нет оснований, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу.

Отыскание левосторонней и двусторонней критических областей

Отыскание левосторонней и двусторонней критических областей сводится к нахождению соответствующих критических точек.

вероятность того, что критерий примет значение, меньшее Kкр ,

была равна принятому уровню значимости, т.е. P K Kкр

Двустороння критическая область определяется неравенствами K Kкр.1 и K Kкр. 2 . Критические точки находят исходя из

требования, чтобы при справедливости нулевой гипотезы сумма вероятностей того, что критерий примет значение, меньшее Kкр.1

или большее Kкр.2 , была равна принятому уровню значимости, т.е.

P K Kкр.1 P K Kкр.2 .

Если распределение критерия симметрично относительно его математического ожидания и критические точки также выбираются симметричными, то

P K Kкр.1 P K Kкр.2 2 .

Таким образом, методика проверки статистических гипотез сводится к следующему:

1. Выдвигается нулевая гипотеза H0 .

33

предположении истинности нулевой гипотезы подчинен закону распределения с плотностью f K H0 .

4. Подставляя в выражение для K K x1, x2 , ..., xn

конкретные выборочные данные, подсчитывают величину Kнабл

.

5. Из таблиц распределения f K H0 по заданному уровню значимости находят критические точки Kкр , которые делят всю

область возможных значений критерия K на две части: область допустимых значений и критическую область.

6. Сравнивают наблюдаемое значение критерия с критическими точками. Если полученное значение Kнабл принадлежит области

допустимых значений, то нулевая гипотеза считается не противоречащей выборочным данным. В противном случае она отвергается в пользу альтернативной.

Возникает вопрос: какую критическую область выбирать? Если уровень значимости уже выбран, то критическую область следует строить так, чтобы мощность критерия была максимальной.

Выбор правосторонней критической области гарантирует максимальную мощность критерия.

34

3.3. Критерии согласия

Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения.

Имеется несколько критериев согласия: 2 («хи квадрат») или

Пирсона, Колмогорова, Фишера, Смирнова и др. Ограничимся описанием применения критериев Пирсона и Колмогорова о законе распределения генеральной совокупности.

35

вычисленные на основе интервального ряда.

Величина K – случайная величина, так как для разных выборок она принимает различные, заранее не известные значения. Пирсон доказал, что при n закон распределения

случайной величины K независимо от того, какому закону подчинена генеральная совокупность, стремится к закону

распределения 2 с k степенями свободы. Поэтому случайная

величина K обозначается 2 , а сам критерий называется критерием «хи квадрат».

Замечание

Число степеней свободы находят из равенства k l 1 r ,

где l – число интервалов после объединения (пояснения см. далее), r – число параметров предполагаемого распределения, которые оценены по статистической совокупности.

Для нормального распределения оценивают два параметра - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение,

поэтому r 2 и число степеней свободы k l 3.

Для распределения Пуассона и показательного распределения оценивают один параметр, поэтому r 1 и число степеней свободы k l 2 .

Таким образом, сущность критерия согласия Пирсона состоит в сравнении эмпирических и теоретических вероятностей. Эмпирические вероятности находят на основе данных статистических наблюдений.

Рассмотрим два способа вычисления теоретических вероятностей нормального распределения по данным выборки.

36

(i 1, 2,...,l) , в качестве частоты mi варианты xi принимают

число вариант попавших в i -й интервал. Получаем интервальный ряд:

x

случайной величине (нормированная случайная

s

величина имеет нулевое математическое ожидание и единичное среднеквадратическое отклонение) и вычисляем концы

наибольшее значение yl , полагаем равным .

37

Зная теоретические вероятности, по формуле (3.1) вычисляем наблюдаемое значение критерия 2набл .

2. Способ

1. Для интервального ряда находим точечные оценки для математического ожидания и среднего квадратического отклонения:

38

называют локальной функцией Лапласа, что не совсем верно) находится по таблице 1 Приложения.

4. Вычисляем теоретические вероятности pi как отношение

pi mi . n

l

Здесь n mi . i 1

Зная теоретические вероятности, по формуле (3.1) вычисляем наблюдаемое значение критерия 2набл .

Правило проверки нулевой гипотезы с помощью критерия Пирсона

Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу H0 : генеральная совокупность распределена

по нормальному закону, необходимо на основе интервального ряда:

(таблица 6 Приложения), по заданному уровню значимости и числу степеней свободы k l 3, здесь l - число интервалов

после объединения, найти критическую точку 2кр ; k .

4. Если 2набл 2кр , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу (признается, что генеральная совокупность распределена

39

по нормальному закону). Если 2набл 2кр , то нулевая гипотеза отвергается.

Замечания

1. Данный критерий используется для проверки гипотез о распределении генеральной совокупности по любому известному закону (показательному, Пуассона, Рэлея и т.д.). При этом правило проверки нулевой гипотезы сохраняется, однако, следует иметь в виду следующее.

Для показательного распределения теоретические вероятности вычисляются по формуле:

где xв ; число степеней свободы k l 2 .

2. Объем выборки должен быть достаточно велик, не менее 50. Каждый интервал должен содержать не менее 5-10 наблюдений.

Если же число наблюдений mi мало (1 или 2), то такие интервалы

следует объединять.

3. Если уровень значимости не задается, то по таблице критических точек распределения 2 , по наблюдаемому

значению критерия 2набл и числу степеней свободы k находят вероятность p того, что величина, распределенная по закону

2 , превзойдет это значение. Тогда если полученная вероятность

40