1.2.3. Метод синтеза релейно – контактных схем
Проинтерпретируем булевы функции как электрические сети, содержащие двухпозиционные переключатели x, ¬x – соответственно, замыкающий и размыкающий контакты; &, – соответственно, последовательное и параллельное соединения контактов; 1 и 0 – соответственно, «ток проходит» и «ток не проходит». Две цепи называются эквивалентными, если через одну из них ток проходит тогда и только тогда, когда он проходит через другую.
Упражнение
1. Упростить следующую релейно-контактную схему, получив ее функцию проводимости, и минимизировав ее.
Решение: f (x,y,z) = (x & ¬y) z ((x ¬y) & z) = (x & ¬y) z
2. Используя с. д. н. ф. (с. к. н. ф.), найти формулу для функции проводимости f и начертить соответствующую ей релейно-контактную схему, если f (1,0,0,0) = f (1,1,0,0) = f (0,1,1,0) = 1.
Решение: f (x,y,z,u) = (x & ¬y & ¬z & ¬u) (x & y & ¬z & ¬u) (¬x & y & z & ¬u) = ((x & ¬z & ¬u) & (¬y y)) (¬x & y & z & ¬u) = (x & ¬z & ¬u) (¬x & y & z & ¬u) = ((x & ¬z) (¬x & y & z)) & ¬u.
19
3. Найти отсутствующий элемент в схеме, заданной функцией проводимости f (x,y) = x ¬y:
1.2.4. Приложение в теории множеств
Множеством называют вполне определенную совокупность различаемых объектов. Например, множество «всех книг данной библиотеки», или множество «всех людей, живших в XX веке».
Имеются два способа задания множеств:
(1)путем явного перечисления его элементов, например, целые числа между 0 и 5, т. е. {0, 1, 2, 3, 4, 5};
(2)указанием свойства, определяющего принадлежность элемента данному множеству, т. е. {x: φ(x)}.
Рассмотрим язык, предназначенный для описания свойств множеств.
А л ф а в и т содержит переменные по множествам, две константы – U и, символы операций ∩, , −, символ принадлежности , и символы логики высказываний.
Т е р м ы и ф о р м у л ы определим одновременно:
1)x,y,z, … – предметные переменные, пробегающие множества, – термы;
2)если t,r – термы, то t r элементарная формула (атом);
3)если φ, ψ – формулы, то φ & ψ, φ ψ, ¬φ, φ → ψ, φ ↔ ψ – формулы;
4)если x – переменная, и φ – формула, то {x: φ(x)} – терм.
Определим операции (пересечение, объединение, разность, дополнение) и отношения (включение, равенство) над множествами (для удоб-
ства объекты-множества будем обозначать заглавными буквами, а объекты, являющиеся элементами множеств, малыми буквами):
1.x A ∩ B x A & x B
2.x A B x A x B
20
3.x A\B x A & x / B
4.A B x(x A → x B)
5.A = B x(x A ↔ x B)
6.U = {x : x = x}, = {x : x ≠ x}
7.A = {x U & x / A}
Формулы x ≠ x и x / A означают соответственно: ¬(x = x) и ¬(x A).
Свойства операций и отношений
1)A ∩B = B ∩A,A B = B A;
2)(A ∩B) ∩C = A ∩(B ∩C), (A B) C = A (B C);
3)A ∩(B C) = (A ∩B) (A ∩C), A (B ∩C) = (A B) ∩(A C);
4)A A B, A ∩B A, A\B A, A ∩A = A, A A = A, A = A, A, A U, A\ = A;
5)A B ↔ A ∩B = A ↔ A B = B
6)A B & C D → A C B D; A B & C D → A ∩C B ∩D; A B & C D → A\D B\C.
Можно заметить, что существует тесная связь, между множествами
ивысказываниями, между операциями над множествами и логическими операциями. Пусть мы имеем несколько высказываний. Образуем множество всех логических возможностей для рассматриваемых высказываний и назовем его универсальным множеством. Поставим каждому высказыванию в соответствие подмножество тех логических возможностей универсального множества, для которых это высказывание истинно, – его множество истинности. Очевидно, что множествами истинности высказываний P & Q, P Q, ¬P будут, соответственно, множества P ∩Q, P Q, U\P, где P, Q – множества истинности высказываний P, Q, соответственно.
Пусть булева функция f (x1, …, xn) представима термом, содержащим только логические символы & , , ¬. Обозначим через f (x) формулу теории множеств, полученную из терма для f подстановками вместо пе-
ременных x1, …, xn формул x Z1, …, x Zn, соответственно. Обозначим через Zf выражение, полученное из терма для f (x1, …, xn) заменой переменных x1, …, xn символами Z1, …, Zn, и символов & , , ¬ символами ∩, , −, соответственно. При интерпретации Zf символы Zi будут обозначать подмножества универсума U (множества, содержащего в качестве подмножеств все другие множества).
21