УДК [510.57+510.635](075.8) ББК 22.12я73

Г18

Гамова, А. Н.

Г18 Математическая логика и теория алгоритмов : учебное посо-

бие для студентов механико-математического факультета и факультета компьютерных наук и информационных технологий [Электронный ресурс] / А. Н. Гамова. – 4-е изд., доп. – Саратов : Изд-во Сарат.

ун-та, 2020. – 92 с. – URL: https://books.sgu.ru/tutorials/978-5-292- 04649-3. – Имеется печатный аналог.

ISBN 978-5-292-04649-3 (online)

ISBN 978-5-292-04648-6 (print)

Учебное пособие состоит из двух разделов: исчисления и алгоритмы. Теоретический материал сопровождается примерами решения задач и упражнениями.

Для студентов механико-математического факультета и факультета компьютерных наук и информационных технологий, а также магистров и аспирантов.

Р е к о м е н д у ю т к п е ч а т и :

кафедра математической кибернетики и компьютерных наук, кафедра теоретических основ компьютерной безопасности и криптографии

Саратовского национального исследовательского государственного университета имени Н. Г. Чернышевского

доктор физико-математических наук Д. А. Бредихин

Работа издана по тематическому плану 2019 года (утвержден Ученым советом Саратовского национального исследовательского

государственного университета имени Н. Г. Чернышевского, протокол № 3 от 19 февраля 2019 года)

УДК [510.57+510.635](075.8) ББК 22.12я73

Работа издана в авторской редакции

Посвящается 110-летнему юбилею Саратовского национального исследовательского

государственного университета имени Н. Г. Чернышевского

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данное учебное пособие представляет собой курс лекций, которые автор читает на факультете компьютерных наук и информационных технологий Саратовского национального исследовательского государственного университета имени Н. Г. Чернышевского. Содержание курса составили два раздела математической логики: исчисления и алгоритмы. Подбор материала лекций определялся задачей развития у слушателей навыков использования методов математической логики для изучения других математических наук. Так, развитый в математической логике, современный аксиоматический метод сначала был применен для построения аксиоматической системы в исчислении высказываний и исчислении предикатов первого порядка, а затем для построения теории первого порядка, содержащей нелогические аксиомы, – арифметики Пеано. В разделе алгоритмы представлены два направления уточнения алгоритма и вычислимости – машины Тьюринга и частично рекурсивные функции. Полученные там результаты использовались для изучения проблем полноты, непротиворечивости и разрешимости расширенной арифметики.

Многие важные теоремы не вошли в пособие из-за ограниченности объема курса, например, доказательство эквивалентности разных уточнений понятия алгоритма и др. Не ставилась задача изложения исчислений высших порядков и обобщенных вычислений, а также неклассических логик, что может составить предмет дальнейшего изучения. Из приложений выделим конечные автоматы, теорию формальных языков, алгоритмическую теорию информации, а также недетерминированные вычисления на машине Тьюринга, связанные с вопросами сложности вычислений.

ВВЕДЕНИЕ

Логика возникла в культуре Древней Греции. Первое дошедшее до нас сочинение по логике – «Аналитики» Аристотеля (384–322гг. до н. э.). Независимо развивалась буддистская логика, но достоянием европейской науки она стала сравнительно недавно, поэтому известная нам логика «вышла» из логики Аристотеля. Математическая логика отличается тем, что пользуется языком математических символов. Ее основоположниками были: Д. Буль (исчисление высказываний), Г. Фреге, Г. Пеано, Б. Рассел. Выдвинутая в 20-е годы XIX века программа Д. Гильберта обоснования математики с помощью логики привела к формализации математических теорий. К настоящему времени доказана непротиворечивость элементарной геометрии, арифметики, анализа, аксиоматической системы теории множеств Цермело-Френкеля и т. д. Некоторые важные теории оказались полными: исчисление высказываний и исчисление предикатов, элементарная геометрия, теория векторных пространств и т. д. Но в других теориях получены предложения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Так, в аксиоматической теории множеств Цермело-Френкеля это аксиома выбора и континуум-гипотеза. Как следует из теорем Геделя о неполноте, всякая достаточно богатая теория необходимо содержит такие предложения.

Вматематической логике было дано точное определение алгоритма и вычислимости. Были получены разрешающие алгоритмы для ряда теорий, например, элементарной геометрии, упорядоченного поля действительных чисел, атомной булевой алгебры и т. д. Неразрешимы теории (для которых не существует единого алгоритма для решения всех задач) элементарной арифметики, математического анализа, класса всех конечных симметрических групп (групп перестановок), аксиоматических систем теории множеств.

Впоследние годы большое внимание уделяется теории сложности алгоритмов и вычислений. Одного только существования алгоритма, решающего ту или иную массовую проблему, далеко не достаточно для практики. После уточнения понятия сложности вычисления стали исследо вать вопросы такого рода, как внутренняя сложность вычислимой функции и наилучшая программа, ее вычисляющая. Ответы на эти вопросы содержатся в теоремах Блюма об ускорении.