Математика. Ч. 2. Логарифмическая функция. Практикум

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пример 89. Решите неравенство

(5x + 3) 0

(5x + 3) 0

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Пример 88. Решите неравенство log3				(x −2) 1.
Решение.
log		(x −2) 1		ООФ:
	3			ООФ:
log	(x −2) log		3	x − 2 0
3		3
т.к.		3 1, то		x 2
	x − 2 3
	x 3 + 2
		x 5		2
				2

		x (2;+ )
	x	.
	x
2	5

log			1	(5x + 3) 0
			1
			4
log	1	(5x + 3) log						1	1
	1							1
	4							4
т.к.					1	1, то
т.к.					4	1, то
					4
		5x + 3 1
		5x 1 − 3
				5x −2
				x −			2
				x −			5
							5

x −0.4

	x
– 0.6	– 0.4

ООФ:

5x + 3 0

5x −3 x − 53 x −0.6

– 0.6

x (− 0.6;+ ).

Ответ: x (−0.4;+ ).

Пример 90. Решите неравенство

Решение.

log	(2x +3) log		(x +1)
2		2
		т.к. 2 1, то
		2x + 3 x +1
		2x − x 1− 3
		x −2
			x
– 2		– 1

log2 (2x +3) log2 (x +1).

ООФ:

2x + 3 0			x +1 0
2x −3			x −1
	x −		3
	x −		2
			2
	x −1.5
			x
– 1.5	– 1
	x	(−1;+ )
			.

Ответ:	x (−1;+ )											.
Ответ:												.
Пример 91. Решите неравенство log2																		x
																		2
Решение.
		log							x	2	2
		log					2		x		2
							2
log				x		2		2 log								2
log		2		x				2 log							2	2
		2													2
	log				x		2		log					2		2
	log		2		x				log			2		2
			2									2
	log					x		2	log						4
	log			2		x			log				2		4
				2									2
	т.к. 2 1, то
						x		2	4
								2
						x2			= 4
					x = 2
+						–										+	x
– 2															2

ООФ:

x	2	0

x 0			.

Ответ: x (− ;−2) (2;+ ).

Пример 92. Решите неравенство log2														x	2	2.
															2
Решение.
	log			2		x	2	2								ООФ:
							2

log		x	2		2 log							2				x	2	0
log	2	x			2 log						2	2				x		0
	2										2					x 0
log2 x				2		log2				2		2				x 0			.
				2								2

log		2	x2			log			2		4
		2							2
т.к.				2 1, то
			x		2	4
					2
			x2			= 4
		x = 2
+				–								+	x
– 2											2
С учетом ООФ:
												x
– 2					0							2

Ответ: x − 2;0) (0;2 .

Пример 93. Решите неравенство

Решение.

log32 x − 4log3 x + 3 0

Пусть log3 x =t t 2 − 4t + 3 0

− 4t + 3 = 0

D = b

− 4ac =

(− 4)

− 4

1 3 = 4

;

− b D

4 4

4 2

t1,2 =

2 1

log32 x − 4log3 x + 3 0 .

ООФ: x 0

x (0;+ ).

+
1
t 1

	3
t	3

log x 1
		3
log	3	x log	3	3
	3		3

так как 3 1, то x 3

–	+	t
	3

		x 1
log	3	x 1
	3
log	3	x 3
	3

	log		3	x 3
			3
log	3	x log			3	27
	3				3
так как 3 1, то
			x 27
x 3

x 27

С учетом ООФ:

Ответ:

x (0;3

27;+ )

3.4. ПРИМЕРЫ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ

Пример 94.

	2 (2		2	+ 2		+19	=15 2		−5
А. Решите уравнение		x	−5)		x			x		.


Б. Укажите корни этого уравнения,							принадлежащего отрезку

3;4 .

Решение А. Сначала решим уравнение

2 (2		2	+ 2		+19 =15 2		−5
2 (2	x	−5)	+ 2	x	+19 =15 2	x	−5	.
	x			x		x

2 (2x −5)2 + 2x −5 + 24 =152x −5 .

Пусть

Тогда

2	x

−5 =t

−5

2t	2	+t + 24	=15 t

+t −15 t + 24 = 0

t 0

+ t −15t + 24

= 0

−14t + 24 = 0

− 7t

−5 t 0

−5 t

2t2

+ t −15 (−t)

+ 24 = 0

2t2

+16t + 24 = 0

t2 +8t

−7t

+12 =0

D = b

− 4ac =

−4 1 12 = 49

− 48 =1

(−7)

;

−b

7 1

1,2

2 1

+8t

+12 = 0

D =b

−4 1 12 =64 −48 =16

;

−4ac =8

t 0

t = 4

− 5 = 4

= 9

= 2log2

= log

t = 3

− 5 = 3

= 8

= 2

= 3

t = 3

− 5 t 0

t = −2

− 5 = −2

= 3

log2

= log

= 2

t = −2

t = −6

+12 = 0

9 3

Решение Б. Отберем корни			x 3;4		.
Решение Б. Отберем корни					.
Так как 3 = log2 8 и		4 = log2 16,		то
данному отрезку.
Ответы:
А.	x1 = log2 9; x2 = 3; x3	= log2 3.
Б.	x1 = log2 9; x2 = 3.

x	= log	2	9; x	= 3
1		2	2

принадлежат

Пример 95.

Решение.

Решите неравенство

log(

1		+1
	x	+1
log	x
log
(x−4)	12
	12

1
	x
x−4)	12
	12

−1

Пусть

log	x

(x−4)
	12

1+t = 0

t = −1

= t

1+ log		x

(x−4)		12

log	x

(x−4)	12

, то

	1+ t	0
	t	0
	t

t 0

+	–				+	x
– 1		0
t (− ; −1 (0; + ).
			x	−1
t −1	log(x −4)
t −1	log(x −4)	12
		12

t 0			x	0
	log(x −4)				.
	log(x −4)
		12

Решим каждое из неравенств отдельно.

log(x −4) 12x −1

log(x−4)		x	log(x−4)	1
	12			x − 4

D = b2

x1,2 =


x − 4

	x


	12

	x



12
	x − 4

		x − 4



x


	12
x

12

−4ac =

−b

x 5

x (5;+ )

x 0

x (0;+ )

x − 4

x (− ;−2

− 4

x (4;+ )

x 4

x 5

x (− ;5)

x (0;+ )

x 0

x − 2;4)

x − 4

−

− 4

x(x − 4)−12

12(x − 4)

− 4x

−12

12(x − 4)

−4x −12 = 0

− 4

1 12 =16 + 48

= 64

(− 4)

;

4 8

2 1

− 2.

(4;6 x (5;6

6;+ )

x − 4 0 x 4

–	+	–	+	x
	– 2	4	6

x (− ;−2 (4;6

12x x −1 4

−

x − 4

x(x − 4)−12

12(x − 4)

− 4x −12

12(x − 4)

–

– 2

x − 2;4) 6;+ )

log

(x −4)

log

−4)

(x−4)

x − 4 1

x 5

x 0

x 12

x 4

(4;5) (12;+ ).

x − 4 0

x − 4 1

x 5

x 0

x 12

В результате

		x
log	(x −4)
	(x −4)	12
		12
		x
		x
log	(x −4)
	(x −4)	12
		12

−1 x (5;6

x (4;5) (12;+ )

x (4;5)

(5;6

(12;+ )

Ответ: x (4;5) (5;6 (12;+ ).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Логарифмическая функция — один из важнейших разделов математики. Логарифмическую функцию применяют в рамках изучения курсов физики и астрономии, химии и экономики, биологии.

Цель практикума состояла в том, чтобы помочь студентам в формировании практических навыков решения примеров, содержащих логарифмическую функцию, построения графиков логарифмической функции, сравнения чисел, содержащих логарифмическую функцию и решения типовых уравнений, неравенств и систем, содержащих логарифмическую функцию.

ЛИТЕРАТУРА

1.Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы : базовый и углублённый уровни : учебник / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва [и др.]. — 11-е изд., стер. — Москва : Просве-

щение, 2023. — 463 с.

2.Аникин, С. А. Математика для экономистов : учебное пособие для СПО / С. А. Аникин, О. И. Никонов, М. А. Медведева ; под редакцией Х. Н. Астафьева. — 3-е изд. — Саратов ; Екатеринбург : Профобразование, Уральский федеральный университет, 2024. —

72 c. — URL: https://www.iprbookshop.ru/139556.html (дата обраще-

ния: 20.11.2024).

3.Богомолов, Н. В. Математика : учебник для среднего профес-

сионального образования / Н. В. Богомолов, П. И. Самойленко. — 5-е изд., перераб. и доп. — Москва : Юрайт, 2024. — 401 с.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]