Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 2. Логарифмическая функция. Практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Свойство 3. Из свойства	a	0	=1
		0

Пример 17. Вычислить log2			1.
Решение.

log2 1

log	1=
a

= 0.

Пример 18. Вычислить

Решение.

log6 1.

log6 1=

Пример 19. Вычислить

Решение.

log	15	1	.

log	1=
15

Свойство 4. loga b	c	= c loga b .
	c
Пусть

=b (a

)

= b a

log

c log b

Пример 20. Вычислить log2

Решение.

log

8 = log

= 3

c log	a	b = log	a

log	2	2 = 3 1 =
	2

b	c

3	.

log		b	c
	a

= c log	a

Пример 21. Вычислить log5 25.

Решение.

log5 25 = log5 52 = 2 log5 5 = 2 1 = 2 .

Пример 22. Вычислить

Решение.

log	3	729 =
	3

log

log	3

3 729.

6	= 6 log		3 = 6 1 =
3		3

Свойство 5.	log			b =	1	log	a	b
Свойство 5.		a	d		d		a

Пример 23. Вычислить log8

Решение.

log	8	2 = log	2	3	2
	8			3

1	log		2 =
3	log	2	2 =
		2

1	1	=
3

1 3

Пример 24. Вычислить log125

Решение.

log		25 = log			5	2
log	125	25 = log	5	3	5
	125			3

25.

=	2	log		5 =	2	1	=
	3		5		3

2 3

Пример 25. Вычислить log4 8.

Решение.

log		8 = log			2	3	=	3	log		2	=
log	4	8 = log	2	2	2		=	2	log	2	2	=
	4			2						2

3	1	=
2

3 2

Свойство

Пусть

a	log	b	=
	a

loga b +loga c = loga (b c).

и a

= c a

=b c a

=b c

log

b+log

loga b +loga c = loga (b c).

Пример 26.

Решение.

log	6	2 +log
	6

Пример 27.

Решение.

Вычислить log6 2 +log6 18.

	18 = log	(2 18)= log			36 = log		6	2	= 2	log
6				6		6					6
	6
Вычислить log12			2 +log12 6.

log12 2 +log12 6 = log12 (2 6)= log12 12 =1.

6 = 2 1 =

Пример 28. Вычислить log8 4 +

Решение.

log	8	4 + log	16 = log			(4 16)= log				8
		8			8
Свойство 7.			log		b −log			c = log
				a			a		a

log8 16 .

64 = log		2
64 = log	8	8
	8
b
.
c

= 2 log	8 =
8

2 1=

a	log	b
a	a
	a

Пусть

=b и a

log c

= c a

log

: a

log

loga b −loga

log

b−log

Пример 29. Вычислить log2 6 −log2

Решение.

log

6 − log

3 = log

= log

2 =1

log	b

	a
	c

Пример 30. Вычислить log25 10 −log25 2.

Решение.

log25 10 − log25	2 = log25	10	= log25 5 = log52	5 =	1	log5	5 =	1	1	=	1	.

					2			2			2
		2

Пример 31. Вычислить

log

54 −log

Решение.

log3

= log3

= 3

log3 3 = 3 1 = 3.

54 −log3 2 = log3

27 = log3 3

Свойство 8.

logc b

= loga b .

logc a

Пусть

log b

. Прологарифмируем обе части по основанию c:

logc aloga b

= logc b ;

loga b logc

a =logc b ;

log

b =

log

= log

log

Пример 32. Вычислить log7 25 .

log7 5

Решение.

log	7	25		= log		25		= log			5	2	=
	7											2
log			5		5					5
					5					5
		7
		7
Пример 33. Вычислить							log 5 + log
Пример 33. Вычислить								6						6
								6						6
								log	6		225
									6

2 log	5	5 = 2 1 =
	5

3	.

Решение.

log6 5 + log6 3	=	log6 (5 3)	=	log6 15	= log		15 = log	2 15 =
						225
log6 225		log6 225		log6 225			15

= 12 log15 15 = 12 1 = 12.

Свойство 9.	log	a	b =	1			.
				log		a

					b

Свойство 9 является следствием свойства 8, то есть, если

, то

log	a

Пример 34. Вычислить

Решение.

log	3	2 log	2	3
	3		2

b =	log	b	b	=		1			.
b =		b		=					.
	log	b	a		log		b	a
		b					b
log3 2 log2 3.

= log 2	1			=	log 2
						3

3	log		2		log		2
		3				3

Свойство 10.	log10 b = lg b		(десятичный логарифм числа b).
Пример 35. Вычислить		lg10		.

Решение.
	lg10 =1		(по свойству 1).

Пример 36. Вычислить

Решение.

lg1 =

lg1	.

0	(по свойству 2).

Пример 37. Вычислить lg1000.

Решение.

lg1000 = lg10	3

= 3 lg10

= 3 1=

Пример 38. Вычислить

log	7	200 − log						7	2
	7							7
log			7	5	+ log	7	2
			7			7

Решение.

log7

200

log7 200 −log7

log7

100

= log

100 = lg100 = lg10

log7 (5 2)

log7 5 + log7 2

log7 10

= 2 lg10 = 2 1 = 2.

Свойство 11.	loge b = ln b(«натуральный логарифм числа b»).
Пример 39. Вычислить ln e .
Решение.
	ln e =1 (по свойству 1).
Пример 40. Вычислить		ln 1		.
		ln 1
Решение.
	ln 1 = 0		(по свойству 2).
Пример 41. Вычислить ln e					.
				4
Решение.
	ln e	4	= 4 ln e = 4			1	= 4 .
	ln e		= 4 ln e = 4			1	= 4 .

Для вычисления отличного от десятичного или натурального логарифмов на инженерном калькуляторе используется свойство 8, то есть

log		b =	lg b
log	a	b =	lg a
	a

или

log	a	b =
	a

ln b ln a

В математических программах, например, Excel, Mathcad, Photomath и других loga b можно найти без преобразований.

Пример 42. Вычислить

Решение.

log	5	a +log	5	b = log	(a b)
	5		5	5

Пример 43. Вычислить

log	5	a
	5

= log	5

log	1	a
	1
	2

+log5 b , если

625 = log					4
625 = log				5	5
				5
+ log	1	b	, если
+ log		b
	2

= 4

= 625	.

log5 5 = 4 1=

=1 .

Решение.

log	1	a + log
	1
	2

Пример 44.

1b = log1 (a b

Вычислить

log

a +


	1				1		3		1
	1	= log			1		= 3 log		1	= 3		1	=
1	8	= log		1	2		= 3 log	1	2	= 3		1	=
1				1				1
2				2				2
lg b			, если			ab =1000000					.
			, если								.

Решение.

lg a + lg b = lg(a b)= lg1000000 = lg10	6

= 6 lg10

6 1=

Пример 45. Вычислить

log	2

a −log	2

, если

a b

	=	1
	=	16
		16

Решение.

log		a − log		b = log	a	= log
	2		2				2
				2	b

Пример 46. Вычислить log1

Решение.

log1

a −log1

b = log1

= log

1	= log		2	−4	= −4 log		2 = −4 1 = −4
				−4
16		2				2
16

a − log1	b, если	a	=	1	.
		b		25

5

	1	= log1	1	2	= 2 log1	1	= 2	1	= 2 .
1
	25		5			5

5		5			5

Пример 47. Вычислить

Решение.

lg a −

lg a − lg b	a

, если	b

a
lg b = lg			= lg1 =

b

Пример 48. Вычислить

log	3	b
	3
log	3	a
	3

, если loga b = 4 .

Решение.

	log3 b	= loga b = 4 .
	log3 a	= loga b = 4 .
	log3 a

Пример 49. Вычислить	log			9	b	, если loga b
Пример 49. Вычислить						, если loga b

	log			9	a
				9
Решение.
log b				= log				b =	1
		9		= log				b =		.
		9
log			a				a		18
log		9	a						18
		9

	=	1
	=	18
		18

Пример 50. Вычислить

Решение.

log		2	3	с = log		a	2	+ log
	a	a	b		a				a

= 2 1+ 3 2 + (− 4)= 2 + 6

Пример 51. Вычислить

loga			a	b			с , если			loga
			2			3
b	3	+ log				с = 2 log					a +
b		+ log			a	с = 2 log				a	a +
					a					a
− 4 = 4.
			a	4				b
loga			a					b	, если		log
loga				с		2			, если		log
						2

= 2

log	a	b
	a

b = −4

log	a	с = −4
	a

+loga с =

иloga с =

Решение.

= log

+ log

b −log

= log

+ log

−log

log

с2

= 4loga a + 12 loga b − 2loga с = 4 1+ 12 (− 4)− 2 3 = 4 − 2 −6 = −4.

2. ГРАФИКИ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

Если y = ный на рис. 1.

log	a	x,
	a

то график функции имеет вид, изображен-

y = log	a	x ,	a 1
	a
			x

Рис. 1. График функции

y = loga x, a 1

Анализ графика функции:

1. Область определения функции (область допустимых значений):

	x (0;+ )	или		D(x) (0;+ )					.
		или							.
2.	Множество значений функции				y R			или		E(x) (− ;+ )	.
2.	Множество значений функции							или			.
3.	Функция возрастает при		x (0;+ )				.
3.	Функция возрастает при						.
4.	Функция общего вида.
5. Ограниченность функции слева						x = 0 .
6.	При y 0 x (1;+ ), при	y 0		x (0;1), при						y = 0 x =1.
7.	Наибольшее и наименьшее значения функции не существуют.

Если y =loga x, a (0;1), то график функции имеет вид, изображенный на рис. 2.

1 x

y = log	a	x ,	a (0;1)
	a

Рис. 2. График функции y =loga x, a (0;1)

Анализ графика функции:

1.Область определения функции (область допустимых значений):

x(0;+ ) или D(x) (0;+ ).

2. Множество значений функции		y R	или	E(x) (− ;+ )	.
2. Множество значений функции			или		.
3. Функция убывает при	x (0;+ )	.
3. Функция убывает при		.

4.Функция общего вида.

5.Ограниченность функции слева x = 0 .

6.	При y 0 x (0;1), при			y 0	x (1;+ ), при				y = 0	x =1.
7.	Наибольшее и наименьшее значения функции не существуют.
Пример 52. Построить график функции y =log2 x .
Решение. Построим таблицу значений:

		x	1	2	4	8	1	1

							2	4
							2	4

		y	0	1	2	3	–1	–2

График функции

y =log	2	x
	2

на рис. 3.

y (x )

= log

–1

–2

Рис. 3. График функции y =log2 x

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]