Математика. Ч. 2. Логарифмическая функция. Практикум
.pdf
Пример 53. Построить график функции
Решение. Построим таблицу значений:
y = log |
1 |
|
|
|
2 |
x
.
x1
y0
1 2
1
1 4
2
2 4 8
–1 –2 –3
График функции
y = log |
1 |
x |
|
|
|
|
2 |
|
на рис. 3.
y
2 
1 
–1 –2 –3
Рис. 3. График функции
x
= log |
1 |
x |
|
|
|
|
2 |
|
y = log |
1 |
x |
|
|
|
|
2 |
|
ции
ции
Пример 54. Определить возрастает или убывает график функ-
y = log4.8 x . |
|
Решение. |
|
a = 4.8 1 график функции |
y = log4.8 x возрастает. |
Пример 55. Определить возрастает или убывает график функ- y = log0.7 x .
Решение.
a = 0.7 (0;1) график функции y = log0.7 x убывает.
21
Пример 56. Сравнить числа
Решение.
log4 5
и
log4
6
.
log |
4 |
5 |
|
|
|
|
log |
4 |
|
6
.
Сравним числа:
5 |
|
6
.
Так как
a
=
4
,
знак сохраняем:
Ответ:
Пример
log4 5
log4 5 log4 6 .
57. Сравнить числа
log
log4 6 .
1 |
5 |
и |
log |
|
|
||
4 |
|
|
|
1 4
6
.
Решение.
log |
1 |
5 |
|
log |
1 |
|
|
|
|
||
|
4 |
|
|
|
4 |
6
.
Сравним числа:
5 |
|
6
.
Так как
a =
1 4
, знак меняем:
log |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
log 1 4
6
.
Ответ: log 1 |
5 |
log 1 |
6 . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|||
22
Пример 58. Найти, между какими целыми числами располагается число log4 7 .
Решение. Известно, что
log4 4 =1, log4
|
Ответ: |
|||
ло |
Пример |
|||
log |
1 |
2 |
: |
|
|
|
|
||
|
|
3 |
|
|
16 = log4 |
4 |
2 |
= 2 log4 4 = 2 1= 2 |
. Так как |
7 (4;16) |
log4 |
7 (1;2). |
log4 7 располагается между 1 и 2.
59. Между какими целыми числами располагается чис-
Решение. Известно, что
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
= |
0 |
, |
log |
1 |
3 = log |
|
= −1 log |
|
= −1 1 |
|
. |
|||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
log |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
= −1 |
||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Так как |
2 (1;3) |
log |
1 |
2 (−1;0) |
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
log |
1 |
2 |
располагается между –1 и 0. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 60. Найдите область определения функции |
y |
||||||||||||||||||||||||
Решение. По определению выражение, стоящее под гарифма всегда больше нуля:
= log3 x .
знаком ло-
x 0
x 0
Ответ: |
x |
|
Пример 61.
x (0;+ ).
(0;+ ).
Найдите область определения функции y = log1 (x −1).
3
Решение. По определению выражение, стоящее под знаком логарифма всегда больше нуля:
23
x−1 0
x1
x 1
|
|
x (1;+ ) |
|
|
. |
Ответ: |
x (1;+ ) |
. |
|
Пример 62. Найдите область определения функции |
y =lg(6 − x |
Решение. По определению выражение, стоящее под знаком гарифма всегда больше нуля:
).
ло-
6 − x 0
−x −6
x6
|
|
x |
|
|
6 |
|
|
x (− ;6) |
|
|
. |
Ответ: |
x (− ;6) |
. |
|
||
Пример |
63. Найдите область определения функции |
|
y = log1 |
(x2 − 4) |
||
|
|
. |
|
4 |
|||
|
|||
Решение. По определению выражение, стоящее под знаком логарифма всегда больше нуля:
x2 −4 0 x2 4 x2 = 4 x = 2
24
+ |
– |
+ |
x |
|
– 2 |
2 |
|
x (− ;−2)
Ответ: x (− ;−2) (2;+ ).
(2;+
)
.
Пример 64. Найдите область определения функции
4 − x |
|
|
y = log5 |
|
|
|
||
x +1 |
. |
|
Решение. По определению |
||
гарифма всегда больше нуля: |
||
|
|
4 |
|
|
x |
выражение, стоящее под знаком ло-
− x |
0 . |
|
+1 |
||
|
Решим данное неравенство методом интервалов:
4 − x = 0
−x = −4
x= 4
x+1 0
x−1
|
|
– |
|
+ |
– |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (−1;4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
x (−1;4) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 65. Найдите область определения функции |
y = ln(5 |
x |
−25). |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. По определению выражение, стоящее под знаком логарифма всегда больше нуля:
5x − 25 0
5x 25
5x 52
25
так как
5 1, то
x 2
x
2
x (2;+ )
.
Ответ:
x (2;+ )
.
26
3. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
3.1. УРАВНЕНИЯ
Уравнения называют логарифмическими, если неизвестное x находится внутри логарифма, т.е.
log |
a |
x =b |
|
|
или
log |
x |
a =b. |
|
|
Примеры логарифмических уравнений:
|
log5 x = 2, log4 |
x = log4 |
2 |
x + log2 x − 20 = 0, |
log4 x + |
log2 |
Решение логарифмического уравнения
6. |
|
|
1 |
|
|
log |
x |
4 |
|
|
|
=
2
.
log |
a |
x =b. |
|
|
будем находить путем возведения обеих частей уравнения в степень с основанием a:
aloga x = ab ;
x = ab
при условии, что x 0 (по ОДЗ или определению функции). Решение логарифмического уравнения
log |
a |
f (x)=log |
a |
g(x) |
|
|
|
будем находить путем возведения обеих частей уравнения в степень с основанием a:
27
при условии, что
f (x) 0
и
a |
log |
|
a |
||
|
||
g(x) |
||
f (x 0
) |
= a |
log |
g (x) |
|
|
a |
|
(по ОДЗ или определению функции).
Пример 66. Решите уравнение
log |
5 |
|
x
=
2
.
Решение. Рассмотрим разные способы логарифмического уравнения.
1 способ
|
log |
5 |
x = 2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
log |
x = 2 1 |
|
|||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
log |
5 |
x = 2 log |
5 |
5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
log |
|
x = log |
|
|
|
2 |
|||
5 |
5 |
5 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
log |
|
x =log 25 |
|||||||
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
||
|
|
|
x = 25 |
|
|
|
|
||
Ответ: |
x = 25. |
2 способ |
|
log |
5 |
x = 2 |
|
|
|
|
|
x = 5 |
2 |
||
|
|
|
|
x = 25
решения элементарного
ООФ:
x 0
x
0 x (0;+ ).
ООФ:
x 0
x 0
Ответ: 3 способ
Ответ:
x = 25.
log5 x = 2
5log5 x =52
x = 5 |
2 |
|
x = 25
x = 25.
x (0;+ ).
ООФ:
x 0
x
0
x (0;+ ).
28
Пример 67. Решите уравнение
Решение.
log |
(x + 4)= log |
3 |
5 |
3 |
|
|
|
|
x + 4 = 5 |
|
|
|
x = 5 − 4 |
|
|
|
x =1 |
|
|
log |
3 |
(x |
|
|
+ 4)=
log3 5.
ООФ:
x + 4 0 x −4
x -4
Ответ: x =1.
Пример 68. Решите уравнение
Решение.
1 способ |
|
|
|
(x + 2)= 4 |
|
|
|
|
log |
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
log |
(x + 2)= 4 1 |
|
||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
log |
(x + 2)= 4 log |
3 |
3 |
|||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
log |
(x + 2)= log |
|
|
|
4 |
|||
3 |
3 |
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
log |
|
(x + 2)= log |
|
81 |
||||
3 |
|
|
3 |
|
|
|
||
|
|
x + 2 = 81 |
|
|
|
|
||
|
|
x = 81− 2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x = 79 |
|
|
|
|
x (−4;+ ).
log3 (x + 2)= 4.
ООФ:
x + 2 0 x −2
x − 2
x (−2;+ ).
Ответ: |
x = 79 . |
|
2 способ |
|
(x + 2)= 4 |
|
log |
|
|
3 |
|
|
x + 2 = 34 |
|
|
x + 2 = 81 |
|
|
x = 81− 2 |
|
|
|
x = 79 |
Ответ: x = 79 .
ООФ:
x + 2 0 x −2
x
− 2
x (−2;+ ).
29
Пример 69. Решите уравнение
Решение.
log |
(x −4)= |
7 |
|
2
.
log |
(x − 4) |
= 2 |
7 |
|
|
x − 4 = 7 |
2 |
|
|
||
x − 4 = 49 |
||
x = 49 + 4 |
||
|
x = 53 |
|
ООФ:
x − 4 0 x 4
x 4
x
(4;+ )
.
Ответ: x = 53.
Пример 70. Решите уравнение
Решение.
log |
(2 − |
3 |
|
x)=
0
.
log |
(2 − x)= 0 |
3 |
|
2 − x = 3 |
|
|
0 |
2 − x =1 |
|
− x =1− 2 |
|
− x = −1 |
|
|
x =1 |
ООФ:
2 − x 0 − x −2 x 2
x 2
|
|
|
|
x (− ;2 |
Ответ: x =1. |
|
|
|
|
Если в уравнении |
a |
x |
= b |
число b нельзя представить в виде |
|
|
|||
|
|
|
то уравнение решим с помощью свойства b = aloga b , тогда:
).
b = ay ,
30