Математика. Ч. 2. Логарифмическая функция. Практикум

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пример 74. Решите уравнение

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

	a		x	= b
			x
a	x	= a			log		b
						a
x = log b								.
					a			.
					a

Уравнение можно решить и другим способом:

a	x	=b.

Прологарифмируем обе части по основанию a:

log		a	x	= log		b
	a				a

Пример 72.

Решение. 1 способ

Ответ: x = 2 способ

x = log			b
		a		.
		a
Решите уравнение	3		x	=80
	3			=80

3	=3
x	log 80
			3
x = log 80				.
		3		.
		3

log3 80.

3	x	=80

log3 3x = log3 80

x = log 80				.
	3			.
	3
Ответ: x = log3 80.	4		= 5
Пример 73. Решите уравнение	4	x	= 5		.
		x

Решение.

4x = 4log4 5

x = log4 5.

Ответ: x = log4 5.

log4 4x = log4 5

x = log 5

Ответ:

x = log4

Пример 75. Решите уравнение log2 (1−

Решение.

log

(1− x)=3−log

(3− x)

log2 (1− x)+log2 (3− x)= 3

log

(1− x) (3− x) =3

(1− x) (3− x)= 2

3− x −3x + x

−4x +3−8 =0

D = b

x2 −4x −5 = 0

− 4ac = (− 4)

− 4 1 (−5)= 36 ;

− b

4 6

5 − не уд.

2 1

−1

1,2

x)=3−log2 (3− x).

ООФ:

1− x 0	3 − x 0
− x −1	− x −3
x 1	x 3

1	3
x (− ;1)
.

Ответ: x =

Пример 76.

Решение.

−1.

Решите уравнение

lg(2x	2

− 4x +12)= lg

+ lg(x

lg(2x2 − 4x +12)= lg x + lg(x +3)

lg(2x2 − 4x +12)= lg x (x +3)	ООФ:
2x2 −4x +12 = x (x +3)	2x2 − 4x +12 0

−

4x +12 = x

+3x

−4x +12 − x

−3x

= 0

−7x +12 = 0

D = b2 − 4ac = (−7)2 − 4 1 12 =1;

− b

7 1

1,2

2 1

2x	2	− 4x +12	= 0	: 2

x	2	− 2x + 6 = 0
	2

D = b		− 4ac =	(− 2)	− 4 1 6 = −20
	2		2
		корней нет
			+	x
				x
		x (− ;+ )
		x 0	x +3 0
			x −3
				x
		-3	0

Ответ: x1

= 4

, x2

= 3.

Пример 77. Решите уравнение

Решение.

log7 (3x + 4)=

x (0;+ ).

log7 (5x +8).

log	(3x + 4)= log (5x +8)
7	7
	3x + 4 = 5x +8
	3x −5x = 8 − 4

	− 2x = 4	: 2
x = −2 −не удовл.ООФ

Ответ: Ø.

ООФ:

3x + 4 0		5x +8 0
3x −4		5x −8
x −	4	x −	8
	3		5

−	8	−		4
−		−
5			3
			−		4
		x	−		3	;+
					3		.
							.

Пример 78. Решите уравнение

Решение.

log		(2x −1) log				4	x = 2log					4	(2x −1)
	4					4						4
log	(2x −1) log			4	x −2log					4	(2x −1)= 0
4				4						4
	log		(2x −1)			(log		4	x −2)= 0
		4						4
log4 (2x −1)= 0								log4 x −2 = 0

log	(2x
4

−1) log4 x = 2log4 (2x −1).

ООФ:

2x −1 0	x 0
2x 1

2x −1 = 4	0

2x =1+1
2x = 2 : 2

x1 =1

log	4	x = 2
	4
x = 4
		2

x	=16
2

	x	1
	x	2
		2

Ответ: x1

=1, x2

=16.

x −log7 x − 20 = 0 .

Пример 79. Решите уравнение log7

Решение.

log

−log

x − 20 = 0

Пусть log7 x = t

ООФ:

−t −20 = 0

x 0

D = b2 − 4ac = (−1)2 − 4 1 (− 20)= 81;

− b

1 9

1,2

2 1

− 4

log7 x = 5

log7

x = −4

x (0;+ )

x = 7

−4

x1 =16807

2401

Ответ: x =16807 , x

2401

Пример 80. Решите уравнение log3

x + logx

3 =

Решение.

log3 x + logx

3 =

log

x + log

3 =

ООФ:

x 0

log

x +

x 1

log

Пусть log3 x =t

t +

(

(2t

−

+ 2 −5t

−5t

+ 2

−5t + 2 = 0

D = b

− 4ac = (−5)

= − b

= 5

1,2

2 2

log

x = 2

x = 3

x =9

Ответ: x =9

t 0

− 4 2 2 = 9
= 5 3					2
= 5 3				=		2	=
		4					=
						4
log		x =		1
log	3	x =		2
	3

				1
x = 3				2
				2

x2		=	3

3 .

0	1
	x (0;1) (1;+ )
	.

3.2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Система уравнений называется логарифмической, если со-

держит логарифмическое уравнение. После упрощения система решается методом подстановки или, в частности, методом сложения или вычитания уравнений. Также стоит напомнить, при геометрическом способе решением системы являются точки пересечения графиков функций.

Пример 81. Решите систему уравнений:

log2	x − log2 y =1
4y2	+ x −12 = 0 .

Решение.

x − log

y =1

(1)

log

+ x −12 = 0

(2)

4y2

(2)

+ x −12 = 0

(1) log2 x −log2 y =1

log

+ 2y

−12 = 0

: 2

+ y

− 6 = 0

: 2

= 2

D =b2 −4ac =12 −4 2 (−6)= 49;

= 2

y = − b D

−1 49

1,2

2 2

x = 2y

−1 7

x = 2 3

− 2 − не удовл.ООФ

= 3

В результате

ООФ:

x 0	;
y 0	.
	.

aloga b

Проверка. Подставим в систему

		x − log		y =1
log	2		2

		+ x −12 = 0
4y2

точку

	3
3;	2
	2

		3 − log			3	=
log		3 − log				=
	2			2	2
					2
		3	2
		3	+ 3	−12
4			+ 3	−12
		2
		2

	3;	3
Ответ:	3;	2
		2

1 = 0


log
		2


	9
4
	4
	4

3 3 2

=1

3 −12 = 0
	1 =1

		= 0
	0	= 0
			.
			.

			3 2	=1

log		2	3
		2

	+ 3 −12 = 0
9	+ 3 −12 = 0


log		2	2
		2
	= 0
0	= 0

3.3. НЕРАВЕНСТВА

Неравенства называют логарифмическими, если неизвестное x находится под логарифмом.

Примеры логарифмических неравенств:

log5 x log5 4	,	log	1	x log	1	7	, log2	(2x +3) log2	(x +1), log3	x − 4log3 x + 3 0 .
									2
			2		2

Решение логарифмических неравенств:

loga

f (x) loga g(x),

loga f (x) loga g(x),

log	a	f (x) log	a	g(x)
	a		a

находится возведением в степень левой и правой частей при основании a и, пользуясь свойством = b, неравенства приводится к виду:

– если

a 1

, то знак неравенства сохраняется:

f (x)

g(x)

f (x)

g(x)

f (x)

g(x)

f (x)

g(x)

;

– если ложный:

0 a

то знак неравенства меняется на противопо-

f (x)

g(x)

f (x)

g(x)

f (x)

g(x)

f (x)

g(x)

при условии пересечений решений определения функции (ООФ).

Пример 82. Решите неравенство

самого неравенства и области

log5 x log5 4 .

Решение.

log	5	x log	5	4
	5		5
т.к. 5 1, то
		x 4
				x
0		4

ООФ: x 0

x (0;+ ).

Ответ:	x

Пример 83.

(4;+ ).

Решите неравенство

log	5

x log	5

Решение.

log	5	x log	5	4
	5		5

т.к. 5 1, то x 4

0 4

ООФ:

x 0

x (0;+ ).

Ответ: x (0;4).

Пример 84. Решите неравенство							log	1	x log	1	7	.
							log		x log		7
								2		2
Решение.
log	1	x log			1	7			ООФ:
	1				1				ООФ:
	2				2				x 0
		1							x 0
т.к.		1	1	, то
т.к.		2	1	, то
		2
		x 7

		0
		x (0;+ )
	x	.
	x
0	7

Ответ: x (0;7 .
Пример 85. Решите неравенство log1							x log1 7 .
						2		2
Решение.
log	1	x log		1	7		ООФ:
	1			1			ООФ:
	2			2			x 0
		1					x 0
т.к.		1	1, то
т.к.		2	1, то
		2
		x 7
							0

x (0;+ ).

	x
0	7

Ответ: x 7;+ ).

Пример 86. Решите неравенство

Решение.

log2 x 3 log2 x 3 1

log2 x 3.

ООФ: x 0

log	2		x 3log				2	2
	2						2
log				x log				3
log		2		x log	2		2
		2			2
log			2	x log		2	8
			2			2
т.к.				2 1, то
				x 8
								x
0				8

0 x (0;+ ).

Ответ: x (8;+ ).

Пример 87. Решите неравенство

Решение.

	log					1	x −2
						1
						2
log				1		x −2 1
				1
				2
log		x −2 log										1
log	1	x −2 log									1	2
	1										1
	2										2
	2										2
									1			−2
log		x log							1
log	1	x log						1	2
	1							1
	2							2
log			1			x log			1	4
			1						1
			2						2
т.к.						1 1, то
						2
						x 4
												x
0					4

log	1	x −2	.
log		x −2
	2

ООФ:

x 0

0 x (0;+ ).

Ответ: x (0;4).

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]