Лабораторный практикум по дискретной математике комбинаторика. Учебно-методическое пособие

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ»

ФАКУЛЬТЕТ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ И ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК

Кафедра прикладной информатики и теории вероятностей

Э.Р. Зарипова, Э.С. Сопин

Лабораторный практикум по дискретной математике

КОМБИНАТОРИКА

Учебно-методическое пособие

Москва Российский университет дружбы народов

2017

Зарипова, Э. Р.

З-34 Лабораторный практикум по дискретной математике: комбинаторика : учебно-методическое пособие / Э. Р. Зарипова, Э. С. Сопин. – Москва : РУДН, 2017. – 40 с. : ил.

В пособии представлены задания для лабораторного практикума по дискретной математике. Задания по каждой теме сопровождены примерами решения.

Предназначено для студентов I, II курсов математических специальностей.

Подготовлено на кафедре прикладной информатики и теории вероятностей РУДН.

1.Правило суммы и правило произведения. Принцип Дирихле. Размещения, сочетания, перестановки.

Множеством называется неупорядоченный набор различных элементов.

Запись A n означает, что мощность конечного множества A равна n или множество A содержит n элементов.

A B a,b :a A,b B - прямое произведение множеств.

Правило суммы: если объект из множества A можно выбрать m способами, а объект из множества B можно выбрать другими n способами, то выбор "либо из A, либо из B" может быть осуществлен m n способами.

Обобщенное правило суммы: если объект из множества A1

можно выбрать m1 способами, после этого объект из множества A2 можно выбрать другими m2 способами, и так далее, объект из множества An можно выбрать mn способами то выбор "либо из A1 , либо из A2 , … либо из An " может быть осуществлен

m1 m2 ... mn способами.

Правило произведения: если объект из множества A можно выбрать m способами, после чего объект из множества B можно выбрать n способами, то выбор "A и B" может быть осуществлен m n способами.

Принцип Дирихле: eсли в n ящиков посадить m кроликов, при m n , то хотя бы в одном ящике окажется не менее 2 кроликов.

Существуют другие, более формальные определения это принципа:

1.Если n 1 элемент разбить на n множеств, то по крайней мере одно множество содержит не менее 2 элементов.

3

из n элементов или n,r - выборкой.

Упорядоченная выборка без повторений называется размещением из n элементов по r,

Arn nn!r ! - число различных размещений.

Упорядоченная выборка с повторениями называется размещением с повторениями из n элементов по r,

Aˆ rn nr - число различных перестановок с повторением.

сочетанием с повторениями из n элементов по r.

Cˆrn Crn r 1 Cnn 1r 1 - число различных сочетаний с повторениями.

Упорядоченная n,n -выборка без повторений называется

перестановкой из n элементов.

P n n! – число различных перестановок.

4

Мультимножеством называется неупорядоченный набор элементов, которые могут повторяться.

Пример 1.1. Сколькими ли способами можно раздать три билета в кино группе из 20 человек, если

а) каждый может получить не более одного билета, все билеты на разные сеансы,

б) каждый может получить все три билета, все билеты на разные сеансы,

в) каждый может получить не более одного билета, билеты позволяют попасть на любой вечерний сеанс.

Решение.

а) необходимо из 20 человек выбрать 3 разных (без повторений), которым мы раздадим билеты. При этом порядок выбора людей имеет значение так как от этого зависит сеанс, на который он попадет.

Ответ: A203 17!20! 20 19 18.

б) необходимо из 20 человек 3 раза выбрать человека и отдать ему билет. При этом может оказаться, что все три билета достанутся одному и тому же человеку и он сможет посмотреть три разных фильма, так как время сеансов различное.

Ответ: Aˆ203 203 20 20 20.

в) необходимо из 20 человек выбрать 3 и в любом порядке раздать им билеты, так как билеты равнозначны.

5

Поскольку сеансы идут в одно время, то выдать на руки можно только один билет.

Пример 1.2. Имеется колода из 4n карт (n 5), которая содержит карты четырех мастей по n карт каждой масти, пронумерованных от 1 до n. Сколькими способами можно выбрать 5 карт так, что среди них окажутся

а) пять поисследованных карт одной масти; б) четыре карты с одинаковыми номерами;

в) три карты с одним номером и две карты с другим номером; г) пять карт одной масти; д) пять последовательно пронумерованных карт;

е) в точности три карты из пяти с один номером; ж) не более двух карт каждой масти.

Решение.

а) Чтобы выбрать пять последовательных карт одной масти, выберем (или будет говорить «зафиксируем») сначала масть для этих карт. Выбрать одну масть из четырёх можно C 41 4 способами. Теперь необходимо выбрать пять

последовательных карт выбранной масти. Выпишем в ряд все номера карт от 1 до n и обведем в рамку последнюю пятерку. Представим, что мы будем двигать рамку справа налево пока не достигнем числового ряда:

Число способов выбрать пять последовательных карт эквивалентно числу возможных перемещений рамки. Очевидно, что правое положение рамки не может оказаться между числами 4 и 5, а значит нам необходимо всего лишь определить количество возможных положений правого края рамки – «разделителя»:

6

третьей масти (2+2+1+0) или же выбрать 2 карты одной масти и по 1 карте оставшихся трех мастей (2+1+1+1). Первый вариант выбора можно выполнить

C41 Cn2 C31 Cn2 C21 Cn1 C41 Cn2 C31 Cn1 C21 Cn1

4 n(n2 1) 3 n(n2 1) 2 n 4 n(n2 1) 3 n n n

6n3(n 1)2 6n4(n 1) способами.

и) Ответ: 6n3(n 1)(2n 1).

Упражнение 1.1. Дано: n 3, r 2, A a,b,c . Найти:

1)A32 .

2)Aˆ32.

3)C32 .

4)Cˆ32.

Упражнение 1.2. Дано: n 4, r 3, A a,b,c,d . Найти:

1)A43 .

2)Aˆ43.

3)C43 .

4)Cˆ43.

Упражнение 1.3. Найти количество всех 5-ти значных чисел.

Упражнение 1.4. Сколькими способами можно доставить посылку из пункта А в пункт В, если через любой промежуточный пункт посылка может пройти только один раз?

8

Упражнение 1.14. Новорожденному ребенку можно дать не более трех имен. Сколькими способами можно назвать малыша, если всего имен не более 300?

2.Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов

.

Основные тождества, связанные с числом сочетаний

1.Cnk Cnn k .

2.Cnk Cnk 1 Cnk 11.

3.Cnk Ckr Cnk rrCnr .

k

4.Cnk r Cni Crk i . i 0

Коэффициенты Cnk также используются в формуле Бинома

Ньютона и называются в этом случае биномиальными коэффициентами:

n

(x y)n Cnk xk yn k . k 0

Следствия из теоремы о Биноме Ньютона

n

1. x 1 n Cnk xk . k 0

n

2. Cnk 2n .

k0 n

3.( 1)r Cnr 0.

r0

Свойства биномиальных коэффициентов

n

1. k Cnk n 2n 1 ,

k 0

10