Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лабораторный практикум по дискретной математике комбинаторика. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

768 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

				10!			( 1)r2 r3	2r2 t2r2 4r3 .
			r	!r	!r	!	( 1)r2 r3	2r2 t2r2 4r3 .
	r r	r 10	r	!r	!r	!
	1 2	3	1	2	3
r1 0,r2 0,r3 0,

Далее необходимо решить в целых числах систему уравнений

r	r	r	10
1	2	3
		4r	8
2r		4r	8
	2	3
Решениями системы будут наборы 6;4;0 , 7;2;1				и 8;0;2 .

Таким образом, коэффициент при t8 равен

6!4!0!10! ( 1)4 24 7!2!1!10! ( 1)322 8!0!2!10! ( 1)2 20 . Ответ: 6!4!0!10! 7!2!1!10! 8!0!2!10! 210 360 45 105.

Упражнение 5.1. Вычислить x y z 3.

Упражнение 5.2. Найти коэффициент в разложении при x2 y3z .

Упражнение 5.3. Найти коэффициент в разложении при tk для:

1)k 8.

2)k 17.

3)k 40.

Упражнение 5.4. Найти коэффициент в разложении при xy3z4 .

Упражнение 5.5. Найти коэффициент в разложении при x2 y3z .

x y z 5

z t4 t7 15

x y z 8

Упражнение 5.6. В кошельке лежат монеты: 1, 1, 1, 1, 3, 3, 5, 5, 5, 10, 10 рублей. Сколькими способами можно набрать 12 рублей?

Упражнение 5.7. В кошельке лежат монеты достоинством 1, 2, 3, 5, 10 рублей. Сколькими существует способов набрать сумму 18 рублей?

Упражнение 5.8. В ящике находятся 3 красных, 4 синих и 5 зеленых шара. Сколькими способами можно выбрать 5 шаров, чтобы среди выбранных шаров были шары всех цветов?

Упражнение 5.9. В цветочном магазине осталось 6 роз, 5 хризантем и 7 гербер. Сколькими способами можно составить букет из 9 цветов, если в букете должно быть по крайне менее 2 розы, 1 гербера и 3 хризантемы?

Упражнение 5.10. В цветочном магазине осталось 6 роз, 5 хризантем и 7 гербер. Сколькими способами можно составить букет из 9 цветов, если в букете должно быть по крайне менее 2 розы, 1 гербера и 3 хризантемы?

Упражнение 5.11. В ящике с кубиками лежат 6 красных кубиков, 12 синих и 7 зеленых. Сколькими способами можно составить фигуру из 8 кубиков так, чтобы в ней было хотя бы 2 красных, 3 синих и не менее 4 зеленых кубиков?

6.Производящие функции или формальные степенные ряды

Пусть a0,a1,a2, ,an , - бесконечная произвольная

последовательность чисел. Производящей функцией (ПФ) или

формальным степенным рядом (ФСР) этой последовательности называется функция fa s a0 a1s a2s2 a3s3 an sn

или fa s an sn в сокращенной форме записи.

n 0

Свойства производящих функций

Пусть	ak , bk , ck			– бесконечные последовательности, а
fa t ,	fb t , fc t		–	генерирующие данные последовательности
ПФ.
1. Сдвиг вправо
Если	ПФ	fс t tm fa t , где ak fa t и ck fc t , то
ck 0	при k 0,1,...,m 1 и ck ak m при k m,m 1,....
2. Сложение и умножение на константу
Если	ПФ	fс t fa t fb t , где ak fa t , bk fb t ,
ck fc t то ck ak bk .
3. Свертка
Сверткой ПФ fa t			и	fb t называется ПФ fс t такая, что
fс t fa t fb t ,			где ak fa t , bk fb t , ck fc t ,
		k
тогда	ck aibk i .

i 0

Таблица 6.1. Таблица преобразований производящих функций

Действия с ПФ

Последовательность

fa t fb t

ak bk k 0 ,

a b , a b ,

ak m k 0 , m 0,

fa t

0,0, ,a ,a

m 1

,...

m нулей

m 1

ak m k 0 , m 0,

fa t aiti

i 0

a ,a

,...

m 1


	fa rt						rk ak					k 0			,
												k 0
							0	1					2
							0	1					2
					a ,ra ,r2a										,...
	fa t			(k 1)ak 1 k 0 ,
	fa t					a ,2a				2	,3a ,...
							1			2		3
							a								,
	t							k	1						,
	fa x dx							k			k 1
	fa x dx			a ,a1							,a2 ,...
0				a ,a1							,a2 ,...
							0	2			3
								2			3
							k
	fa t fb t						aibk i
	fa t fb t					i 0						k 0
			a b ,a b								a b						,
			0			k	0	k				1				k 1
	fa t fa	t				0			2					4
2				a ,0,a							,0,a					,
2

	fa t fa	t					1				3
2					0,a ,0,a ,0,
2

Пример 6.1. Рассмотрим сумму двух ПФ такую, что

fa t fa t ak tk ak t k 1 1 k ak tk (*).

k 0

При четных k выражение в скобках принимает значение 2, при нечетных – 0, тогда сумму двух ПФ с противоположными по знаку формальными переменными можно представить так:


(*) 2 a2k t2k 0 a2k 1t			2k 1	2 a2k t2k
	k 0	k 0		k 0
	fa t fa t a2k t2k .

	2	k 0

Теперь рассмотрим разность этих же ПФ:

fa t fa t ak tk ak t k 1 1 k ak tk 0 a2k t2k

		k 0		k 0	k 0	k 0

2 a2k 1t2k 1		2 a2k 1t		2k 1
	k 0	k 0	1t2k 1 .
	fa t fa t a2k		1t2k 1 .

	2	k 0

Пример 6.2.


	ak tk
fa t
k 0


ak tk kak tk 1		k 1 ak 1tk .
k 0	k 1	k 0

Пример 6.3.

x dx

ak xk

dx ak xk dx

xk 1

k 1

0 k 0

k 0 0

k 0

tk 1 ak 1

tk .

k 0

k 1

Упражнение 6.1. Найти ПФ для последовательности

100 k5! .

Упражнение 6.2. Найти ПФ для последовательности

1,a,a2,a3,...,ak ,... .

Упражнение 6.3. Найти последовательность для ПФ

f t 1 t .

Упражнение 6.4. Найти последовательность для ПФ f t 1 s при:

1)s s , 1.

2)s s , n .

Упражнение 6.5. Найти ПФ для последовательности

		1		1			1
1,			,		,...,			,... .
1,		2	,	3!	,...,		k !	,... .
		2		3!			k !
Упражнение 6.6. Найти последовательность для ПФ
							1
f	t ln								.
f	t ln					1			.
						1	t

Упражнение 6.7. Пусть последовательность bk		определяется
через последовательность ak следующим образомbk kak .
Доказать, что fb t tfa/ t .
Упражнение 6.8. Пусть последовательность bk		определяется
через последовательность ak следующим образомbk			ak	.
через последовательность ak следующим образомbk			k 1	.
t			k 1
t
Доказать, что fb t 1t 0	fa x dx .

Упражнение 6.9. Найти ПФ для следующих последовательностей:

1)an n n ,n 0,1,2,....

2)an n2 .

Упражнение 6.10. Найти общий член последовательности

fa t q pt m .

Упражнение 6.11. Используя ПФ, найти i2 .

i 0

Упражнение 6.12. Дано множество из трех элементов a,b,c .

Известно, что a и b могут встречаться в выборке не более двух раз, а элемент c не более одного. Такого вида выборка называется сочетанием с ограниченным числом повторений. Выписать все такие сочетания, используя производящую функцию. Найти число сочетаний с заданными ограничениями для выборки, состоящей из:

1)Одного элемента.

2)Двух элементов.

3)Трех элементов.

4)Четырех элементов.

5)Пяти элементов.

Упражнение 6.13. Определить, используя ПФ, сколькими способами можно заплатить монетами в 1, 2, 3, 5, 7 копеек

1)12 копеек,

2)8 копеек.

Упражнение 6.14. Используя ПФ, доказать тождество es e s 1.

7.Решение однородных рекуррентных отношений

Будем говорить, что задано однородное линейное рекуррентное отношение с постоянными коэффициентами

порядка k, если для членов некоторой последовательности an выполняется равенство

an k c1an k 1 c2an k 2 ck an ,

где c1,c2, ,cr – константы.

Последовательность a0,a1,...,an называется возвратной, если для некоторого k и любых n выполняется соотношение:

an k p1an k 1 ... pk an 0,	(*)
где коэффициенты pi ,i 1,2,...,k не зависят от n, при	этом
говорят, что порядок соотношения равен k.
Многочлен p(x) называется характеристическим, если

p(x) xk p xk 1	... p	k	.	(**)
1		k

Если 1,..., k простые корни характеристического многочлена (**), то решение (*) имеет вид:

a C n ... C n ,
n	1 1	k	k
если i ,i 1,2,...,k является		корнем	кратности ri ,i 1,2,...,s

характеристического многочлена (**), тогда решение (*) имеет вид:

a		s	C		n0	... C	nri 1	n ,
	n			i1
							iri	i
		i 1
где cij ,i 1,2,...,s, j 1,2,...,ri				- некоторые константы.

Пример 7.1. Найти общее решение рекуррентного соотношения an 2 5an 1 6an , а также найти его решение при a0 a1 1 .

Решение.

Рекуррентное соотношение

an 2 5an 1 6an 0

является однородным с коэффициентами порядка k 2, значит для него можно составить характеристический многочлен p(x)

второй степени

x2 5x 6 0.

Найдем корни характеристического многочлена. (x 2)(x 3) 0,

x1 2, x2 3.

Корни x1 и x2 - простые, следовательно

an C1x1n ... Ck xkn C12n C23n - общее решение рекуррентного

соотношенияan 2 5an 1 6an 0. При условии a0 a1 1 получим

a	C 20 C 30			1 C C		C 1 C				C 2	,
0	1	2		1 2			1	2		1	,
a1 C121 C231			1 2C1 3C2				1 C2		C2 1
an 2 2n		3n 2n 1 3n , то есть			f (t) 2n 1			3n	n 0	.
									n 0

Упражнение 7.1. Найти общее решение рекуррентного соотношения an 3 6an 2 11an 1 6an .

Упражнение 7.2. Найти an по рекуррентным соотношениям и начальным условиям:

1)an 3

2)an 3

3)an 3

4)an 3

5)an 2

3an 2 an 1 3an ,a0 1,a1 3,a2 8. an 2 an 1 an 0,a0 1,a1 2,a2 3,

3an 2 an 1 3an 0,a0 3,a1 7,a2 21, 3an 1 2an 0,a1 a,a2 b,ac c ,

6an 1 9an 0,a0 6,a1 6.

8.Решение неоднородных рекуррентных отношений

Рассмотрим другой способ решения рекуррентного отношения из примера 7.1. Пусть

			a0	1,
			a1	1,
			an 5an 1 6an 2 ,n 2,
тогда умножим каждую строчку на t n					и просуммируем
получившиеся выражения по всем n
	a		t0	1 t0,
	0
	a		t1	1 t1,
	1
	an tn 5an 1 6an 2 tn , n 2,
						tn
a0 t0	a1 t1 an tn 1 t0 1 t1 5an 1 6an 2					tn
	n 2				n 2

	f (t)

		f (t) 1 t 5 an 1tn 6 an 2tn
				n 2	n 2


1 t 5 t an 1tn 1	6 t2 an 2tn 2
n 2	n 2

1 t 5 t antn 6 t2 antn
n 1	n 0

1 t 5 t antn a0t0 6 t2		antn
n 0		n 0

1 t 5 t f (t) 1 6 t2 f (t) 1 t 5t f (t) 5t 6t2 f (t) f (t) 1 t 5t f (t) 5t 6t2 f (t) 6t2 5t 1 f (t) 1 4t

f (t) 1 15t 4t6t2 .

Теперь разложим полученную ПФ f (t) в ряд. Для этого представим дробь в виде суммы простых дробей.

f (t)

1 4t

, найдем А и В

5t 6t2

(1 3t)(1 2t)

(1 3t)

(1 2t)

из системы уравнений, где

1 4t

A(1 2t) B(1 3t)

(1 3t)(1

2t)

(1 3t)

2t)

(1 3t)(1 2t)

A 2At B 3Bt

A B t 2A 3B

(1 3t)(1 2t)

3t)(1 2t)

A B 1

A 1 B

A 1

2A 3B

f (t)

2 2t

2 2

3 t

2t)

(1 3t)

n 0

1 3n tn , следовательно

f (t) 2n 1

3n n 0 .

n 0

Алгоритм решения неоднородных рекуррентных соотношений:

1.выписать известные начальные значения a0,a1,...,ak ,k n и рекуррентное соотношение,

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]