Лабораторный практикум по дискретной математике комбинаторика. Учебно-методическое пособие
.pdf2. умножить каждый элемент последовательности an n 0 на tn ,
3.сложить все полученные antn при n 0.
4.Выразить ПФ f (t) из полученной суммы в явном виде,
5.разложить f (t) в ряд.
Упражнение 8.1. Решить неоднородные рекуррентные соотношения:
1)an 1 an n , a0 1,
2)an 2 an 1 14an 2 n , a0 1, a1 32 ,
3)an 2 2an 1 8an 27 5n ,a0 0,a1 9,
4)an 2 2an 1 2an 2n ,a0 1,a1 2 ,
5)an 2 an 1 6an 5 2n 1,a0 2,a1 1.
Упражнение 8.2. Найти общее решение рекуррентного соотношения:
an 13an 1 23n2 23n 13.
Упражнение 8.3. Найти решение рекуррентного соотношения: an 2an 1 n 2 при a0 1,a1 5.
31
Ответы
Раздел 1.
№1. 1) 6; 2) 9; 3) 3; 4) 6.
№2. 1) 24; 2) 64; 3) 4; 4) 20. №3. 90 000 пятизначных чисел.
№4. 30 маршрутов.
№5. 364 способа.
№6. 40320 способов.
№7. 4080 перестановки.
№8. 3 перестановки.
№9. Сnk 11 .
№10. 2nm .
№11. 2m (2m 1)...(2m n 1) .
№12. 147 способов.
№13. 20 способов.
№14. 300 3002 3003 способов.
Раздел 2.
№ 1.
k
C n r 1,k r дляr 0,k C n 1,k C n 2,k 1 ...
r 0
32
... C n k,1 C n k 1,0 C n 1,k C n 2,k 1 ...
... C n k 1,2 C n k 1,1
C n 1,k C n 1,k 1 C n,k .
№ 2. Следствие из формулы Бинома Ньютона:
n |
|
1 x n xr C n,r . Дифференцируем по x : |
|
r |
0 |
n 1 x n 1 |
n |
|
|
rxr 1C n,r . Дифференцируем по x |
еще раз: |
||
|
r |
0 |
|
n n 1 1 x n 2 |
n |
|
|
|
r r 1 xr 2C n,r . При x 1 имеем |
||||
|
|
r 0 |
|
|
n n 1 2n 2 |
n |
|
|
|
r r 1 C n,r . |
|
|||
|
r 0 |
|
|
|
|
|
n |
|
n |
№ 3. Так как x y C n,r xr yn r |
и C n,r 2n , то |
|||
|
|
r 0 |
|
r 0 |
n |
n |
|
n |
2n n2n 2n 2n n 1 . |
2kC n,k |
C n,k |
2 kC n,k |
||
k 0 |
k 0 |
|
k 0 |
|
№ 4.
n
C r,k C k,k C k 1,k C k 2,k ... C n 2,k
r k
C n 1,k C n,k C k,0 C k 1,1 C k 2,2 ...
... C n r,n k 2 C n 1,n k 1 C n,n k
33
C k 1,0 C k 1,1 C k 2,2 ... C n 2,n k 2
C n 1,n k 1 C n,n k
C n,k C n 1,k C n 1,k 1 C k 2,1 C k 2,2 ...
... C n 2,n k 2 C n 1,n k 1 C n,n k C k 3,2
C k 3,3 ... C n 2,n k 2 C n 1,n k 1
C n,n k C n 2,n k 3 C n 2,n k 2
C n 1,n k 1 C n,n k C n 1,n k 2
C n 1,n k 1 C n,n k C n,n k 1 C n,n k
C n 1,n k C n 1,n 1 n k C n 1,k 1 .
№ 5. 1) a b 2 C20a2b0 C21a1b1 C22a0b2 ;
2) a b 3 C30a3b0 C31a2b1 C32a1b2 C33a0b3 ;
3) a b n Cn0anb0 Cn1an 1b1 Cn2an 2b2 ... Cnn a0bn .
№ 6. 1) 945a4 , 2) 70a2b2 . № 7. 1) 14, 3; 2) 5.
n
№ 8. Проинтегрируем 1 x n C n,r xr по x 0,1:
r 0
34
1 1 x n dx |
1 x n 1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
2n 1 1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n 1 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
x |
r 1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
||||
n |
n |
|
|
|
n |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
C n,r xr dx C n,r |
|
|
|
|
|
|
C n,r |
|
. |
|||||||
r 1 |
|
|
r 1 |
||||||||||||||
0 r 0 |
r 0 |
|
|
|
0 |
r 0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Раздел 3.
№5. S 4,2 =7; B 4 =15.
№6. -6.
Раздел 4.
№1. 457 чисел.
№2. 734 числа.
№3. 1. N 1 N1 N2 N3 2 N12 N13 N23 3N123
N 1 N1 N2 N3 N12 N13 N23 N123
35
2. N 2 N12 N13 N23 3N123
N 2 N12 N13 N23 2N123
№ 5. N 0 0, N 1 17 , N 1 25, N 2 7, N 2 8,
N 3 1, N 3 1.
№6. 1) 2; 2) 5; 3) 5; 4) 1.
№8. N 0 9, N 1 8, N 2 6, N 3 0, N 4 1.
Раздел 5.
36
№ 1. x y z 3 x3 y3 z3
3 x2 y x2z xy2 y2z xz2 yz2 6xyz .
№2. 10.
№3. 1) 105 213 ; 2) 0; 3) 3!4!8!15! 28 0!5!10!15! 25 .
№6. 5.
№7. 2.
Раздел 6.
№1. f x 1100x 5ex .
№2. f t 1 1at .
№3. C0 ,C1 ,C2 ,...,Ck ,... .
№ 4. 1) 1,1,1,... ; 2) Cn0,Cn1,Cn2 1,Cn3 2,...,Cnk k 1 .
№5. f x ex .
№6. 1,12,13,...,1k ,... .
|
|
|
№ 7. |
fa t ak tk и |
fb t bk tk . |
|
k 0 |
k 0 |
37
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tk |
/ |
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
/ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tfa/ t . |
||||||||||||||
fb t kak tk |
ak |
|
t ak tk |
|
t ak tk |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
k 0 |
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
t |
|
|
|||||
№ 8. fb t |
|
k |
|
|
tk |
ak xk 1dx |
|
|
|
|
|
|
ak xk dx |
|||||||||||||||
k |
|
1 |
t |
t |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
k 0 |
0 |
|
|
|
k 0 0 |
|
|
|||||||||||||
1 |
t |
|
|
|
|
1 |
t |
fa t dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
ak xk dx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
t |
k 0 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1) |
fa |
t |
|
|
t |
|
|
|
; 2) |
fa t |
t 1 t |
|
|
|
|
|
||||||||||
№ 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
t |
1 |
|
t |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
№10. an Cmn qm n pn .
№11. k k 1 2k 1 . 6
№12. 1) 3; 2) 5; 3) 5; 4) 3; 5) 1.
№13. 1) двумя; 2) тремя.
№ 14. es e s 1 s |
0 |
1 |
|
|
1 |
|
s |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
s2 |
... |
||||||||
|
1! |
|
|
|
2! |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
2! |
1! |
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
... 1 |
k |
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sk 1. |
|||||||||||
|
k 1 !1! |
k 2 |
!2! |
|
|||||||||||||||||||||
k! |
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Раздел 7.
№1 an c1 3n c2 2n c3 1n .
№2. 1) an 2n 1 3n ;
38
2)a2k 101 9 32k 1 k , a2k 1 101 9 32k 1 1 k 3 ;
3)an 1 n n 1 2;
4)an 2 2Cnn 1 Cnn 2 ;
5)an 2 n 3 6Cnn 1 4Cnn 2 .
Раздел 8.
№1. 1) Cnn 2 |
2n ; |
|||||
2) |
|
1 |
n |
|
n |
6n 3 ; |
|
2 |
|
4Cn 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
3)271 2726( 2)n n 3n18 5 ;
4)2n 1 ( 2)n 1 ;
5)3 n 2n 7( 3)n .5 5
№ 2. n2 n 12 .
39
|
Содержание |
|
1. |
Правило суммы и правило произведения. Принцип Дирихле. |
|
|
Размещения, сочетания, перестановки.......................................... |
3 |
2. |
Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов...... |
10 |
3. |
Треугольник Паскаля. Числа Стирлинга. Числа Белла.............. |
13 |
4. |
Принцип включения и исключения............................................. |
16 |
5. |
Полиномиальная теорема ............................................................. |
20 |
6. |
Производящие функции или формальные степенные ряды...... |
22 |
7. |
Решение однородных рекуррентных отношений....................... |
27 |
8. |
Решение неоднородных рекуррентных отношений................... |
29 |
|
Ответы..................................................................................... |
32 |
40