Лабораторный практикум по дискретной математике комбинаторика. Учебно-методическое пособие

n

2. mn Cnk m 1 k . k 0

k

Пример 2.1. Доказать, что Cnk Cnk rr 1 .

r 0

Решение.

k

Cnk rr 1 Cnk 1 Cnk 21 Cnk 32 ... Cn1 k Cn0 k 1 Cn0 k 1 0 Cn0 k r 0

Cnk 1 Cnk 21 Cnk 32 ... Cn1 k Cn0 k Cnk Cnk 1 Cnk 11

r 0

n

Упражнение 2.2. Доказать, что k k 1 C n,k n n 1 2n 2 .

k 2

n

Упражнение 2.3. Доказать тождество 2k 1 C n,k n 1 2n .

k 0

n

Упражнение 2.4. Доказать тождество C r,k C n 1,k 1 .

r k

Упражнение 2.5. Расписать формулу бинома Ньютона для частных случаев. Чему равна сумма биномиальных коэффициентов?

1)n 2 ;

2)n 3;

11

12

3.Треугольник Паскаля. Числа Стирлинга I и II рода. Числа Белла.

Треугольник Паскаля – бесконечная числовая таблица треугольной формы, по боковым сторонам которой стоят 1 и всякое число, кроме этих боковых единиц получается, как сумма двух предшествующих.

Свойства треугольника Паскаля

1.Второе число каждой строки соответствует её номеру.

2.Третье число каждой строки равно сумме номеров строк, ей предшествующих.

3.Сумма чисел i -ой восходящей диагонали, проведенный через строку треугольника с номером n 1, есть n -е число Фибоначчи.

4.Если вычесть из центрального числа в строке с четным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.

5.Сумма чисел n -строки треугольника Паскаля равна 2n .

6.Свойства шестиугольника для треугольника Паскаля:

Cnk 11Cnk 1Cnk 1 Cnk 1Cnk 1Cnk 11 .

Число Стирлинга второго рода S n,k есть число разбиений n -

элементного множества на k блоков:

S(n,k) k (A) , где A n.

Свойства чисел Стирлинга второго рода.

S(n,k) S(n 1,k 1) k S(n 1,k) для 0 k n , S(n,n) 1 для n 0,

S(n,0) 0 для n 0.

Рекуррентная формула для вычисления чисел Стирлинга второго рода

n 1

S(n,k) Cni 1S(i,k 1), k 2.

i k 1

13

Число Белла Bn есть число всех разбиений n-элементного множества Bn (A) , где A n. Другими словами

разбить на 2 блока семью различными способами:

1,2,3 , 4 ; 1,2,4 , 3 ; 1,3,4 , 2 ; 1,2 , 3,4 ;1,3 , 2,4 ; 1,4 , 2,3 ; 1 , 2,3,4 .

Обозначение многочлен k-го порядка[x]k x(x 1)...(x k 1). Для

частных случаев:

[x]0 1, [x]1 x ,

[x]2 x(x 1),

[x]3 x(x 1)(x 2) и т.д.

Числа Стирлинга первого рода s n,k есть коэффициенты при последовательных степенях переменной x в многочлене [x]k :

n

[x]n s(n,k)xk .

k 0

Свойства чисел Стирлинга I рода

1.s 0,0 1;

14

Рекуррентная формула для вычисления чисел Стирлинга первого рода

s(n,k) s(n 1,k 1) (n 1)s(n 1,k) для 0 k n , s(n,n) 1 для n 0,

s(n,0) 0 для n 0.

Беззнаковое число Стирлинга I рода s(n,k) есть число k

неповторяющихся циклов, которые можно составить из n элементного множества.

Свойства беззнакового числа Стирлинга I рода

Рекуррентная формула для вычисления беззнаковых чисел Стирлинга I рода

|s n,k | |s(n 1,k 1)| (n 1)|s(n 1,k)|, 0 k n .

Пример 3.2. Рассмотрим множество A,B,C,D . Равными

циклами будут считаться циклы:

A,B,C,D B,C,D,A C,D,A,B D,A,B,C , а различными будут циклы A,B,C,D и B,C,A,D .

15

Упражнение 3.1. Выписать треугольник Паскаля и доказать свойство шестиугольника для треугольника Паскаля:

Cnk 11Cnk 1Cnk 1 Cnk 1Cnk 1Cnk 11 .

Упражнение 3.2. Составить таблицу чисел Белла до n 10.

Упражнение 3.3. Составить таблицу чисел Стирлинга II рода до n 8.

Упражнение 3.4. Составить таблицу чисел Стирлинга I рода до n 10.

Упражнение 3.5. Дано множество . Подсчитать количество способов разбиения данного множества на два подмножества. Выписать эти подмножества. Найти число способов разбиения множества на всевозможные подмножества.

Упражнение 3.6. Найти коэффициент в разложении

x4 x x 1 x 2 x 3 при x3 .

4. Принцип включения и исключения

Формула (или принцип) включений и исключений —

комбинаторная формула, позволяющая определить мощность объединения нескольких множеств, если известны их мощности и мощности всех их пересечений.

Пример 4.1. Даны три подмножества A1 {2,3,7,9,10},

A2 {1,2,3,9} и A3 {2,4,9,10} множества S {1,2, ,10}.

A1 A2 A3 A1 | | A2 | | A3 | A1 A2 | | A1 A3 | | A2 A3 |

| A1 A2 A3 | (5 4 4)-(3 3 2) 2 7.

Действительно, объединение множеств A1 A2 A3 состоит из 7

элементов 1,2,3,4,7,9,10 .

Пусть известны мощности множеств Ai , i 1,n и мощности всех возможных пересечений этих множеств Ai , тогда

16

мощность объединения всех множеств может быть найдена по формуле:

Теорема о включении и исключении. Пусть известны мощности конечных множеств Ai , i 1,n и мощности всех возможных пересечений этих множеств Ai , тогда мощность множества A1 A2 An может быть найдена по формуле:

Пример 4.2. (Натуральные числа) Вычислить количество натуральных чисел, не превосходящих 100, которые не делятся на

2, 3, 5.

Решение. Всего количество натуральных чисел, не превосходящих 100 N 100. Пусть N1 количество чисел из N ,

которые делятся на 2, N2 количество чисел, которые делятся на 3 и N3 количество чисел, которые делятся на 5. Необходимо найти N0 количество чисел, которые не делятся на 2, 3, 5.

17

Пример 4.3. (Управдом) Юрий провёл социальный опрос и выяснил про жителей своего подъезда, что: 25 из них играют в шахматы, 30 были в Архангельске, 28 летали на самолете. Среди летавших на самолете 18 играют в шахматы и 17 были в Архангельске. 16 жителей играют в шахматы и были в Архангельске, притом среди них 15 еще и летали на самолете. От управдома Юрий узнал, что всего в подъезде живет 45 человек. Не врет ли управдом?

Решение.

Управдом врет. Количество людей, которые не были в Архангельске, не играют в шахматы, и не летали на самолете составляет

45-25-30-28+16+18+17-15 -2 < 0.

Упражнение 4.1. Сколько существует натуральных чисел, меньших 1000, которые не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 7?

Упражнение 4.2. Найти число целых положительных чисел, не превосходящих 1000 и не делящихся ни на одно из чисел 6, 10, 15.

18

Упражнение 4.3. Дано: n 3, k 2. Найти:

1)N 1 , N 1 .

2)N 2 , N 2 .

Упражнение 4.4. По результатам опроса 10 человек о предпочтениях фруктов, выяснилось, что 6 человек любят апельсины, 5 – киви, 5 – персики, 3 – апельсины и киви, 4 – апельсины и персики, 2 – киви и персики, 1 – апельсины, киви и персики. Подсчитать, сколько человек:

1)Не любят таких видов фруктов.

2)Предпочитают в точности два вида фрукта из трех.

3)Любят не менее двух фруктов (то есть два и три фрукта).

Упражнение 4.5. В студенческой группе 25 человек, из них 11 человек поют, 9 – танцуют, 14 – сочиняют стихи, 1 человек обладает всеми тремя талантами, 3 – танцуют и поют, 4 – поют и

сочиняют стихи, 3 – танцуют и сочиняют стихи. НайтиN 0 ,

N 1 ,N 1 ,N 2 ,N 2 ,N 3 ,N 3 .

Упражнение 4.6. В туристической группе 14 человек, причем каждый знает хотя бы один иностранный язык. 10 человек знают английский, 8 – французский, 5 – испанский, 5 – английский и французский, 4 – французский и испанский, 2 – английский и испанский. Найти:

1)Сколько человек знают все три языка.

2)Сколько человек знают ровно два языка.

3)Сколько человек знают только английский.

4)Сколько человек знают только французский.

Упражнение 4.7. Студент сдает экзамен, в процессе которого на каждый из 15 вопросов он должен выбрать один из 15 ответов. Если никакие два вопроса не имеют совпадающих ответов, то сколькими способами он может дать неправильный ответ?

Упражнение 4.8. Семь джентльменов отправляются на вечеринку и сдают свои шляпы в гардероб. Сколькими способами рассеянный гардеробщик может вернуть шляпы так, чтобы

19

1)Ни один из джентльменов не получил свою шляпу?

2)Только один джентльмен получил свою шляпу назад?

3)Хотя бы один джентльмен получил свою шляпу?

4)Хотя бы двое джентльменов получили бы свои шляпы?

Упражнение 4.9. Сколько существует перестановок элементов множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} таких, что:

1)В каждой перестановке ни один элемент не останется на своем месте?

2)Перестановка не оставляет ни одно четное число на своем месте?

3)Перестановка оставляется на своем месте хотя бы одно четное число?

4)В результате перестановки в точности 4 числа остаются на своем месте?

Упражнение 4.10. Найдите количество положительных целых чисел, меньших или равных числу 2300, взаимно простых с числом 700.

5. Полиномиальная теорема

Полиномиальная теорема.

Пример 5.1. Вычислить коэффициент при t8 в разложении

1 2t2 t4 10 .

Решение. Воспользуется формулой (8.1) и представим выражение1 2t2 t4 10 в виде суммы:

20