Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Криптографические свойства булевых функций. Методические указания

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет»

Т.М. Отрыванкина, А.Н. Благовисная

КРИПТОГРАФИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Рекомендовано Редакционно-издательским советом федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» в качестве методических указаний для студентов, обучающихся по программам высшего профессионального образования по направлениям подготовки 010400.62 Прикладная математика и информатика, 010500.62 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем и специальности 090301.65 Компьютерная безопасность

Оренбург

2014

УДК 519.7 (076.5) ББК 22.18я7

О 86

Рецензент – профессор, доктор физико-математических наук С.А. Пихтильков

Отрыванкина, Т.М.

О86 Криптографические свойства булевых функций: методические указания / Т.М. Отрыванкина, А.Н. Благовисная; Оренбургский гос. ун-т. – Оренбург: ОГУ, 2014. – 55 с.

Методические указания содержат материал, предназначенный для самостоятельной работы студентов в процессе изучения криптографических булевых функций.

Методические указания предназначены для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 010400.62 Прикладная математика и информатика, 010500.62 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем и специальности 090301.65 Компьютерная безопасность, и составлены в соответствии с утвержденными рабочими программами дисциплин, связанных с математическими методами защиты информации. Они могут использоваться и на других направлениях математического профиля и направлениях, связанных с защитой информации.

УДК 519.7 (076.5)

ББК 22.18я7

	Содержание
Введение ...............................................................................................................................		4
1 Определения, числовые и метрические характеристики булевых функций..............		6
1.1	Определение булевой функции, способы задания .................................................	6
1.2	Алгебраическая нормальная форма .........................................................................	9
1.3	Алгебраическая степень булевой функции ...........................................................	12
1.4	Вес булевой функции...............................................................................................	13
1.5	Расстояние между булевыми функциями..............................................................	14
1.6	Преобразования Фурье и Уолша-Адамара ............................................................	16
1.7	Понятие эквивалентных булевых функций...........................................................	21
1.8	Понятие булевых отображений ..............................................................................	23
2 Криптографические свойства булевых функций ........................................................		25
2.1	Высокая алгебраическая степень............................................................................	26
2.2	Нелинейность............................................................................................................	26
2.3	Уравновешенность ...................................................................................................	30
2.4	Устойчивость ............................................................................................................	31
2.5	Корреляционная иммунность .................................................................................	32
2.6	Алгебраическая иммунность...................................................................................	34
2.7	Критерии распространения .....................................................................................	36
3 Примеры булевых функций, применяемых в криптографических конструкциях ..		39
4 Рекомендации для дальнейшего изучения криптографических булевых функций 42
Список использованных источников ..............................................................................		44
Приложение А Ответы и указания ..................................................................................		48
Приложение Б Вопросы для самопроверки....................................................................		52
Приложение В Примерные направления учебно-исследовательской работы
студентов по криптографическим булевым функциям .................................................		55

Введение

Профессиональная подготовка студентов математического факультета университета предполагает наличие в учебном плане дисциплин, направленных на понимание и осмысление студентами фундаментальных основ математики, на базе которых развиваются современные прикладные разделы математических наук. К

таким дисциплинам можно отнести и криптографию. Основными целями преподавания методов криптографии являются формирование представлений студентов о роли математики в развитии методов защиты информации и получение базовых математических знаний, лежащих в основе современной криптографии.

Одним из важнейших математических инструментов, применяемых в современных криптосистемах, является аппарат теории булевых функций. Булевы функции служат структурными элементами блочных, поточных шифров, а также широко известных криптографических хэш-функций. Кроме того, булевы функции используются в схемах аутентификации, а к настоящему времени появились и примеры описания криптосистем с открытым ключом, основанных на применении инструментария теории булевых функций. Таким образом, исследования в этой области современной прикладной математики, имеющие целью совершенствование криптографических средств, являются актуальными и востребованными.

В рабочих программах дисциплин по криптографии, составленных для студентов направлений подготовки 010400.62 Прикладная математика и информатика, 010500.62 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем и специальности 090301.65 Компьютерная безопасность,

содержатся вопросы, в той или иной степени затрагивающие теорию и практику применения криптографических булевых функций. С булевой алгеброй и аппаратом теории булевых функций студенты знакомятся при изучении дисциплин

«Математическая логика» и «Дискретная математика». Однако полученных знаний оказывается недостаточно для изучения и понимания ряда вопросов, связанных с построением современных криптографических конструкций, структурными

компонентами которых являются булевы функции. С одной стороны, вопрос частично изучен студентами, что позволяет его не включать в материал лекционных и практических занятий. С другой стороны, изложение материала в современной литературе по криптографическим булевым функциям не всегда доступно для

понимания студентам. Это подтверждает, в частности, анализ различных

самостоятельных работ студентов, элементами которых являлись задания,

требующие применения аппарата теории булевых функций. Поэтому возникает необходимость в методических рекомендациях, позволяющих студентам изучить и понять основы теории криптографических булевых функций, подготовиться к пониманию научной литературы, посвященной этим вопросам.

Данные методические указания написаны в помощь студентам в освоении разделов криптографии, связанных с криптографическими булевыми функциями, и

рассчитаны на самостоятельную работу студента с материалом.

Методические указания содержат начальные теоретические сведения по

криптографическим булевым функциям, примеры решения задач, задания и

вопросы для самостоятельного выполнения и самопроверки, перечень вопросов для дальнейшего изучения темы, а также приложение с ответами и рекомендациями к выполнению заданий.

1 Определения, числовые и метрические характеристики

булевых функций

1.1 Определение булевой функции, способы задания

Булевы функции получили свое название в честь английского математика Джорджа Буля, который сформулировал алгебраическую систему логики. Во второй половине XIX века возникло современное понимание булевой алгебры (работы Джевонса и Пирса). В XX веке булева алгебра приобретает сначала фундаментальное значение для оснований математики, а затем с середины ХХ века аппарат теории булевых функций находит применение в различных направлениях

прикладной математики, в том числе и в криптологии.

Введем необходимые для дальнейшей работы определения и понятия теории булевых функций, известные Вам из курса дискретной математики и

математической логики.

Задание 1.1. Вспомните, что называется булевой функцией? Приведите

примеры булевых функций.

Рассмотрим определение булевой функции, которое поможет в дальнейшем

при изучении криптографических свойств булевых функций.

Пусть Vn – векторное пространство наборов длины n с компонентами из поля

F2 : Vn (a1, a2 ,...,an ) \| ai		0,1 .
Определение 1.1.		Булевой функцией (БФ) от n	переменных называется
отображение f :Vn	F2 .
Замечание	1.1. В	курсе дискретной математики	Вы записывали булеву

функцию как отображение f :{0,1}n {0,1}. В приведенном выше определении множества {0,1}n и {0,1} принимают вид алгебраических структур: векторного пространства и поля соответственно, так как этот акцент важен в ряде случаев.

Множество всех булевых функций от n переменных обозначим через P2 (n) .

Задание 1.2. Что является областью определения и областью значений

булевой функции из P2 (n) ?

Задание 1.3. Найдите число различных булевых функций от n аргументов.

Из курсов дискретной математики и математической логики Вам известны следующие способы задания булевых функций:

-аналитический (с помощью булевых формул);

-табличный (таблицы соответствия или таблица истинности);

- графический (область определения

–

n-мерный единичный

куб с

выделенными вершинами, координаты которых (

2 ,...,

n )

и f ( 1,

2 ,...,

n )

1);

- векторный (значения функции записаны в виде строки).

В исследованиях по криптографическим булевым функциям рассматриваются

понятия последовательностей функции.

Определение

1.2.

Пусть

является

функцией

на Vn ,

(0,...,0,0)

(0,...,0,1) ,…,

n 1

(1,...,1,1)

–

все

векторы

на

Vn .

Последовательность,

определенная

как

(( 1) f (

0 ) ,(

1) f (

1 ) ,...,(

1) f (

2n 1 ) )

называется

(1,-1)-

последовательностью

функции

Последовательность,

определенная

как

( f (

0 ), f ( 1),..., f (

n 1 ))

называется (0,1)-последовательностью.

Замечание

1.2.

литературе

(1,-1)-последовательность иногда

называют

просто последовательностью, а (0,1)-последовательность – таблицей истинности.

Задание 1.4. Вспомните простейшие булевы функции от одного и двух аргументов. Покажите, как их можно задать аналитическим, табличным,

графическим и векторным способами. Составьте для них (1,-1) и (0,1)-

последовательности. Сравните задание функций векторным способом и

составленную (0,1)-последовательность и сделайте вывод.

Определение		1.3.	Функция		f (x1		, x2 ,..., xi 1, xi , xi 1,..., xn )			P2 (n) зависит
существенно	от	переменной		xi ,	если			существуют	такие		значения
1, 2 ,..., i 1,	i 1,...,	n переменных x1, x2 ,..., xi				1	,, xi	1,..., xn , что
	f (	1, 2 ,...,	i 1,0,	i 1,...,	n )		f (	1, 2 ,..., i 1,1,	i 1,...,	n ) .
Переменная	xi называется		существенной.				В	противном случае		xi	называется
					7

несущественной или фиктивной.

Задание 1.5. Определить существенные и фиктивные переменные функции

(1,1,1,1,0,0,1,1).

Множество всех булевых функций от n переменных, существенно зависящих


от всех переменных, обозначим как P2 (n) .
Определение 1.4. Подфункцией булевой функции f					называется функция,
полученная подстановкой в		f констант 0 или 1 вместо некоторых переменных.
Обозначение: если в функцию				f подставляются константы i ,...,			i	( s		n)
					1		s
вместо переменных x ,..., x		соответственно, то подфункция обозначается				f	x	i1 ,...,		is .
i	i						x	,...,x
1	s						i	i
							1		s
Задание 1.6. Вспомните, что называется лексикографическим порядком на
множестве Vn .
Пример 1.1.	Найти	0,1		функции f, заданной	вектором	значений
Пример 1.1.	Найти	fx	,x	функции f, заданной	вектором	значений
		2	3

(1,0,1,1,1,0,1,0).

Решение.

Вектор (1,0,1,1,1,0,1,0) содержит 8 23 значений функции f, то есть функция зависит от трех переменных. Для наглядности рассмотрим табличное задание функции f (таблица 1). Заметим, что значения переменных функции в таблице 1

перечисляются в лексикографическом порядке.

Таблица 1 – Табличное задание функции примера 1.1

x1	x2	x3	f (x1, x2 , x3 )

0	0	0	1

0	0	1	0

0	1	0	1

0	1	1	1

1	0	0	1

1	0	1	0

1	1	0	1

1	1	1	0

Нам необходимо найти подфункцию fx0,1,x . Для этого в функцию f вместо
2	3
переменной x2 подставим константу 0, а вместо x3 – константу 1. В таблице 1 во

втором столбце будут все нули, а в третьем – все единицы. То есть в результате

получится только два вида наборов переменных:				x1 0 ,		x2	0 , x3 1 и x1 1 ,
x2 0 ,	x3	1. В первом случае значение функции		f (0,0,1)			0 , во втором случае
f (1,0,1)	0 . Таким образом, и при		x1 0 , и при x1	1 мы получаем одно и то же
значение		функции, равное нулю.	Итак, подфункцией		0,1		является функция,
					fx	,x
					2	3

зависящая от одного переменного x1 , называемая тождественным нулем.

1.2 Алгебраическая нормальная форма

В теории криптографических булевых функций важную роль играет представление булевой функции в виде алгебраической нормальной формы (АНФ)

или многочлена Жегалкина. АНФ представляет собой формулу, в которой

используются только операции сложения и умножения по модулю 2.
Теорема 1.1. Каждая функция f			P2 (n)			может	быть	представлена
единственным образом в виде многочлена			из	F2[x1,..., xn ],			степень	которого по
каждой переменой не превосходит 1:
		n
		p(x1,..., xn )	ai ,...,i		xi	... xi	a0 ,	(1.1)
			1	k	1	k
		i 1 i1 ,...,ik
где a0 ,ai	,...,i	F2 , для каждого k все индексы i1,...,ik .
1	k

Задание 1.7. Вспомните доказательство сформулированной теоремы.

Задание 1.8. В таблицах 2 и 3 приведены традиционное аналитическое обозначение и соответствующая алгебраическая нормальная форма (АНФ)

простейших булевых функций от одного и двух переменных. Посмотрите таблицы,

вспомните, каким образом можно получить представление булевой функции в виде

АНФ.

Таблица 2 – Простейшие БФ одного аргумента

Аналитическая запись

АНФ

Название БФ

f0 (x)

g0 (x)

тождественный ноль

f1 (x)

g1 (x)

тождественная

f2 (x)

x '

g2 (x)

x 1

отрицание

f3 (x) 1

g3 (x)

тождественная единица

Таблица 3 – Простейшие БФ двух аргументов

Аналитическая запись

АНФ

Название БФ

(если есть)

f0 (x1, x2 )

g0 (x1, x2 )

тождественный

ноль

f1 (x1, x2 )

x1 x2

g1 (x1, x2 )

x1x2

конъюнкция

f2 (x1, x2 )

x2 '

g2 (x1, x2 )

x1x2

f3 (x1, x2 )

g3 (x1, x2 )

f4 (x1, x2 )

x1 '

g4 (x1, x2 )

x1x2

f5 (x1, x2 )

g5 (x1, x2 )

f6 (x1, x2 )

x2 '

g6 (x1, x2 )

сумма Жегалкина

f7 (x1, x2 )

g7 (x1, x2 )

x1x2

дизъюнкция

(x , x )

g8 (x1, x2 )

x1x2

стрелка Пирса

f9 (x1, x2 )

g9 (x1, x2 )

x2 1

эквивалентность

f10 (x1, x2 )

g10 (x1, x2 )

f11 (x1, x2 )

g11 (x1, x2 ) x1x2

f12 (x1, x2 )

g12 (x1, x2 )

f13 (x1, x2 )

g13 (x1, x2 )

x1x2

импликация

f14 (x1, x2 )

x1 | x2

g14 (x1, x2 )

x1x2

штрих Шеффера

f15 (x1, x2 )

g15 (x1, x2 )

тождественная

единица

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]