Криптографические свойства булевых функций. Методические указания

В качестве примера булевой функции S-блока шифра ГОСТ 28147-89 можно

привести пример, представленный в работе [16]:

F1 (x1, x2 , x3 , x4 ) x2 x3 x1x2 x1x3 x1x4 x1x2 x4 x2 x3 x4 .

Задание 3.1 (комплексное задание). Для всех рассмотренных булевых функций в этом разделе записать АНФ, найти алгебраическую степень,

нелинейность. Выяснить, являются ли функции уравновешенными, при каком значении параметра m являются m-устойчивыми. Найти корреляционную и алгебраическую иммунность. Проверить выполнимость критериев распространения,

выбрав параметры самостоятельно. Сделать выводы.

41

4 Рекомендации для дальнейшего изучения криптографических

булевых функций

Развитие прикладных исследований в области теории булевых функций стало следствием развития вычислительной техники и технических устройств связи,

которое послужило появлению новых прикладных разделов математики и новых подходов к применению фундаментальных математических исследований. Булева алгебра, появившаяся как объект фундаментальных исследований математики,

начиная с середины ХХ века, нашла применение в различных областях науки и техники, в том числе и в области шифрования и кодирования. В настоящее время булевы отображения и функции широко используются в криптографических системах, и поэтому они являются популярным объектом систематического и всестороннего математического и криптографического анализа.

Охарактеризуем ряд публикаций, которые могут быть полезны для дальнейшего знакомства с криптографическими булевыми функциями и их приложениями в криптографии.

1) Учебники и учебные пособия, предназначенные для студентов вузов [15, 19, 24, 28]. В данное время уровень развития криптографии таков, что необходимо рассматривать вопросы теории криптографических функций и практики её применения в учебных изданиях. В каждом из упомянутых учебников есть раздел,

посвященный булевым функциям в криптографии.

2) Книги, посвященные исследованиям криптографических булевых функций

[13, 25, 32]. Они включают в себя подробное систематическое изложение криптографических аспектов применения аппарата теории булевых функций.

Отметим, что в работе [25] исследуется класс функций, обладающих сильными свойствами нелинейности. В ней можно найти обзор результатов в области бент-функций и их обобщений, описание их теоретических и практических приложений.

42

Отличительной особенностью книг [13, 25] является наличие в них сформулированных нерешенных проблем в исследуемой области, которые могут стать основой для дальнейших научных работ.

3) Кроме книг и учебников, существует множество публикаций как отечественных, так и зарубежных авторов, посвященных различным проблемам теории и практики применения криптографических булевых функций. Количество публикаций по данной тематике огромно. Достаточно посмотреть списки использованных источников в каждой из книг, рекомендуемых нами, оценив направления работ, чтобы понять весь масштаб проводимых исследований.

Впервую очередь отметим появление работ о новых видах булевых функций

иметодах их исследования [6, 14, 21]. Далее отметим различные виды публикаций,

посвященных описанию криптографических свойств и определению взаимосвязи между различными криптографическими характеристиками [1, 2, 5, 7, 11, 27].

Особое внимание в ряде работ уделяется оценкам границ криптографических свойств [3, 12]. Еще одна линия теоретических исследований лежит в области создания новых конструкций и методов получения определенных видов булевых функций [22, 25].

Одним из направлений практического применения теории является поиск и создание алгоритмов генерации булевых функций, удовлетворяющих криптографическим свойствам [23, 30, 31, 33]. Также существуют работы,

посвященные описанию криптографических конструкций, использующих аппарат теории булевых функций [4, 9, 16].

С применением булевых функций в криптографии тесно связана проблема представления булевых функций в ЭВМ и проблема взаимосвязи различных представлений булевых функций. Рекомендуем также познакомиться с публикациями по данному направлению исследований [8, 17, 18, 20].

43

Список использованных источников

1.Алексеев, Е.К. О некоторых алгебраических и комбинаторных свойствах корреляционно-иммунных булевых функций / Е.К. Алекcеев // Дискретная математика. – 2010. – Т. 22, вып. 3. – С. 110-126.

2.Алексейчук, А.Н. О статистических свойствах нелинейности сужений булевых функций на случайно выбранное подпространство / А.Н. Алексейчук, С.Н. Конюшок // Теоретические основы прикладной дискретной математики. – 2012. – №

1(15). – С. 5-10.

3.Баев, В.В. Некоторые нижние оценки на алгебраическую иммунность функций, заданных своими след-формами / В.В. Баев // Проблемы передачи информации. – 2008. – Т. 44, вып. 3. – С. 81-104.

4.Долгов, В.И. Исследование криптографических свойств нелинейных узлов замены уменьшенных версий некоторых шифров / В.И. Долгов [и др.] // Прикладная радиоэлектроника. – 2009. – Т. 8, № 3. – С. 268-277.

5.Ивченко, Г.И. Спектр случайной булевой функции и его производящая функция / Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев // Математические вопросы криптографии.

–2011. – Т. 2 № 2. –С. 41-54.

6.Ивченко, Г.И. Стохастические булевы функции и их свойства / Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев // Математические вопросы криптографии. – 2012. – Т. 3, № 3. – С. 21-34.

7.Коломеец, Н.А. Свойства бент-функций, находящихся на минимальном расстоянии друг от друга / Н.А. Коломеец, А.В. Павлов // Теоретические основы прикладной дискретной математики. – 2009. – № 4. – С. 5-20.

8.Коломеец, Н.А. Boolean Functions – система для работы с булевыми функциями / Н.А. Коломеец, А.В. Павлов // Вычислительные методы в дискретной математике. Приложение. – 2011. – №4. – С. 67-68.

44

9. Ключарев, П.Г. Обеспечение криптографических свойств обобщенных

клеточных автоматов [Электронный ресурс] / П.Г. Ключарев // Наука и образование,

2012. – Режим доступа: http://technomag.edu.ru/doc/358973.html

10.Куприянов А.И. Основы защиты информации / А.И. Куприянов, А.В. Сахаров, В.А. Шевцов. – М.: Издательский центр «Академия», 2006. – 256 с.

11.Лобанов, М.С. Точное отношение между нелинейностью и алгебраической иммунностью / М.С. Лобанов // Дискретная математика и исследование операций. –

2008. – Т.15, вып. 6. – С.3-47.

12.Лобанов, М.С. Получение нижних оценок на нелинейность булевой функции через размерность некоторых подпространств / М.С. Лобанов // Материалы

ХМеждународного семинара «Дискретная математика и приложения». – М.: Изд-во мех.-мат. факультета МГУ, 2010. – С. 416-419.

13.Логачев, О.А. Булевы функции в теории кодирования и криптологии / О.А. Логачев, А.А. Сальников, В.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2004. – 470с.

14.Логачев, О.А. Новые методы изучения совершенно уравновешенных булевых функций / О.А. Логачев, С.В. Смышляев, В.В. Ященко // Дискретная математика. – 2009. – Т. 21, вып. 2. – С. 51-74.

15.Мухачев, В.А. Методы практической криптографии / В.А. Мухачев, В.А. Хорошко. – К.: ООО «Полиграф-Консалтинг», 2005. – 215с.

16.Сергиенко, Р.В. Исследование криптографических свойств нелинейных узлов замен алгоритма симметричного шифрования ГОСТ 28147-89 / Р.В. Сергиенко, И.В. Московченко // Системы обработки информации. – 2007. – №8(66).

– С. 91-95.

17.Сизоненко, А.Б. Анализ логических функций средств и систем защиты информации и способов повышения эффективности их вычислений [Электронный ресурс] / А.Б. Сизоненко // Научный журнал КубГАУ. – 2012. – № 78(04). – Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2012/04/pdf/76.pdf.

18.Сизоненко, А.Б. Оптимальная реализация линейных блочных кодов средствами вычислительной техники за счет выбора полиномиальной формы

45

представления систем булевых функций // Вестник ВИ МВД России. – 2012. – №4.

–С. 114-122.

19.Смарт, Н. Криптография / Н. Смарт. – М.: Техносфера. – 2006. – 528с.

20.Смирнов, В.Г. Полиномиальные представления дискретных функций / В.Г. Смирнов // Труды по дискретной математике. – 2008. – Т.11. – С. 119-137.

21.Смышляев, С.В. Булевы функции без предсказывания / С.В. Смышляев // Дискретная математика. – 2011. – Т. 23, вып. 1. – С. 102-118.

22.Смышляев, С.В. Построение классов совершенно уравновешенных булевых функций без барьера / С.В. Смышляев // Прикладная дискретная математика. – 2010. – № 3(9). – С. 41-50.

23.Стасев, Ю.В. Разработка и исследование криптографически стойких булевых функций / Ю.В. Стасев, А.А. Кузнецов, А.А. Юкальчук // Радiоелектроннi i

комп`ютернi системи. – 2006. – № 6. – С. 91-96.

24.Токарева, Н.Н. Симметричная криптография. Краткий курс: учебное пособие / Н.Н. Токарева. – Новосибирский государственный университет, Новосибирск, 2012. – 234 с.

25.Токарева, Н.Н. Нелинейные булевы функции: бент-функции и их обобщения / Н.Н. Токарева. – LAP LAMBERT Academic Publishing (Saarbrucken, Germany), 2011. – 180 с.

26.Токарева, Н.Н. Новая комбинаторная конструкция бент-функций / Н.Н. Токарева // Прикладная дискретная математика. Приложение. – 2010. – №3. – С. 1314.

27.Тужилин, М.Э. Алгебраический иммунитет булевых функций / М.Э. Тужилин // Прикладная дискретная математика. – 2008. - № 2. – С. 18-22.

28.Фомичев, В.М. Методы дискретной математики в криптологии / В.М. Фомичев. – М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2010. – 424с.

29.Шеннон К. Теория связи в секретных системах [Электронный ресурс] / К. Шеннон // Работы по теории информатики и кибернетике, М., 1963. – Режим доступа: http://www.enlight.ru/crypto/articles/shannon/shann__i.htm

46

30.Burnett, L. Simpler methods for generating better Boolean functions with good cryptographic properties / L. Burnett, W. Millan, E. Dawson, A. Clark // Australasian journal of combinatorics. – 2004. – V. 29. – P. 231-247.

31.Carlet, C. Self-Dual Bent Function / C. Carlet, L.E. Danielsen, M.G. Parker, P.

Solé // Int. J. Inform and Coding Theory. – 2010. – № 1(4). – P. 384-399.

32.Cusick, T.W. Cryptographic Boolean functions and applications / T.W. Cusick, P. Stanica. – Academic Press, 2009. – 232 p.

33.Najjar, M. Generating of homogeneous Boolean functions with high nonlinearity using genetic algorithm / M. Najjar // IJCSNS International Journal of Computer Science and Network Security. – 2010. – VOL. 10 No. 3. – P. 266-273.

47

переменных, принимающих 2 значения – 0 или 1. Это число равно числу размещений с повторениями из двух элементов по n элементов: A 2n . Затем найти число функций, мощность множества значений которых равна 2, а мощность области определения – 2n .

1.4.Указание. См. таблицы 1 и 2 раздела 1.2 методических указаний.

1.5.Переменные x1, x2 являются существенными, x3 – фиктивной. Указание.

Составить таблицу истинности и проверить выполнение условий определения 1.3

для каждой переменной.

1.6. (x1,..., xn ) ( y1,..., yn ) означает, что для некоторого k xk yk и для всех i<k

xi yi .

1.7. Указание. Сначала необходимо определить количество функций,

задаваемых с помощью АНФ. Число коэффициентов в АНФ, принимающих всего

два значения (0 и 1), равно 2n . Затем найти число различных представлений АНФ,

которое совпадает с числом булевых функций – 22n . Затем необходимо показать,

что различные представления АНФ соответствуют различным булевым функциям.

Доказательство провести от противного, предположив, что одной функции соответствует два представления в виде АНФ.

1.9. x1x2 x1x4 x4 1.

1.10. Указание. При преобразовании формул можно воспользоваться формулами и АНФ из таблиц 2 и 3.

а) x1 ; существенная переменная – x1 , фиктивные переменные – x2 , x3 .

48

, wt( f6 ) 2 , wt( f7 ) 3 , wt( f8 ) 1 , wt( f9 ) 2 , wt( f10 ) 2 , wt( f11) 3 , wt( f12 ) 2 ,

wt( f13 ) 3 , wt( f14 ) 3 , wt( f15 ) 4 .

Для 1.9 wt( f ) 8 .

1.21.dist( f , g) 6 .

1.22.dist( f , M ) 1.

1.23.1.

1.24.Для 1.9 W f {8,4,0,0,4,0,0,0,0,4,0,0, 4,0,0,0};

2.4.Да.

2.5.Да.

2.6.Нет; да.

2.7.Да.

2.8.Для таблицы 2: f1, f2 . Для таблицы 3: f3, f5 , f6 , f9 , f10 , f12 .

2.9.C22nn 1 .

2.10.Да.

50