Критерий Лебега интегрируемости функций по Риману. Методическое пособие

ÓÄÊ 517.518.121(07) ÁÁÊ 22.161.5ÿ7 Ñ 91

Сучков М.В., Горячев А.П. Критерий Лебега интегрируемости функций по Риману: методическое пособие/ М.: НИЯУ МИФИ, 2018. 24 с.

В данном пособии изложен (с подробным доказательством) критерий Лебега интегрируемости ограниченных функций по Риману, выраженный через меру точек разрыва этой функции.

Пособие будет полезно студентам второго семестра всех факультетов при изучении ими в курсе математического анализа интегрального исчисления.

Подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ.

Рецензент д-р физ-мат. наук, проф. А.И. Рубинштейн

ISBN 978 5 7262 2291 2

c Национальный исследовательский ядерный университет ¾МИФИ¿, 2018

Содержание

1. Колебание функции на отрезке и в точке . . 4

2. Внешняя мера Лебега и множества меры нуль 8

3.Критерий Лебега интегрируемости по Риману ограниченной на отрезке функции . . . . . . . 10

Упражнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3. Åñëè x0 = b, то на любом сегменте [c; x0] [a; b] колебание w ([c; x0]) > .

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Пусть x0 2 (a; b). Тогда для некоторого > 0 существует сегмент [x0 ; x0 + ] [c; d]. Из условия леммы и определения колебания функции на отрезке и в точке имеем

w ([c; d]) > w ([x0 ; x0 + ]) > w(x0) > ;

т. е. первое утверждение леммы справедливо. Второе и третье утверждения устанавливаются аналогично. Лемма доказана.

Л е м м а 2. Пусть функция f(x) ограничена на отрез-

ке [a; b], точка x0 2 [a; b] и колебание w(x0) < , где > 0. Тогда:

1.Åñëè x0 2 (a; b), то найд¼тся > 0 такое, что сегмент

[x0 ; x0 + ] [a; b] и колебание w ([x0 ; x0 + ]) < .

2.Åñëè x0 = a, то найд¼тся > 0 такое, что сегмент

[a; a + ] [a; b] и колебание w ([a; a + ]) < .

3.Åñëè x0 = b, то найд¼тся > 0 такое, что сегмент

[b ; b] [a; b] и колебание w ([b ; b]) < .

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Пусть x0 2 (a; b). Предположим, что утверждение леммы неверно. Тогда для всякого > 0 и такого, что сегмент [x0 ; x0 + ] [a; b] колебание

w ([x0 ; x0 + ]) > :

Перейд¼м в этом неравенстве к пределу при ! 0+0 и полу-

÷èì w(x0) > , что противоречит условиям леммы. Таким образом, первое утверждение леммы справедливо. Второе и третье утверждения устанавливаются аналогично. Лемма доказана.

Т е о р е м а 1. Пусть функция f(x) ограничена на отрезке [a; b] и число > 0. Тогда множество

A fx 2 [a; b] : w(x) > g

является замкнутым.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Достаточно установить, что множество A содержит все свои предельные точки. Пусть x0 предельная точка множества A. Вначале рассмотрим слу-

÷àé x0 2 (a; b). Согласно определнию предельной точки, для любого > 0 в интервале (x0 ; x0 + ) [a; b] содержится точка x множнства A, отличная от x0. Тогда w(x ) > . Поэтому по лемме 1 имеем:

w ([x0 ; x0 + ]) > :

Переходя здесь к пределу при ! 0+0, получим w(x0) > . Следовательно, x0 2 A.

Åñëè x0 = a èëè x0 = b, то аналогичные рассмотрения приводят к тому, что и здесь x0 2 A. Теорема доказана.

Т е о р е м а 2. Пусть функция f(x) ограничена на отрезке [a; b]. Для того чтобы функция f(x) была непрерывной на [a; b], необходимо и достаточно, чтобы для всех x0 2 [a; b] колебание w(x0) = 0.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Пусть x0 2 (a; b). Случаи x0 = a

èx0 = b рассматриваются аналогично.

Íå î á õ î ä è ì î ñ ò ü. Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0 2 (a; b). Покажем, что w(x0) = 0. Òàê êàê w(x0) > 0, то предположим, что w(x0) = c > 0. Возьм¼м при > 0

сегмент [x0 ; x0 + ] [a; b]. Тогда w ([x0 ; x0 + ]) > > w(x0) = c. По определению колебания функции на отрез-

2.Внешняя мера Лебега и множества меры нуль

Пусть I = (a; b). Мерой Лебега интервала I называется число jIj = b a. Пусть D произвольное множество на числовой прямой. Покрытием S множества D называется любая конечная или сч¼тная система интервалов fIng, объединение которых содержит множество D, т. е.

D SfIng:

n

Сумму длин всех интервалов fIng, составляющих покрытие S, обозначим (S). Тогда

X

(S) = jInj 6 +1:

n

Отметим, что если покрытие S образовано конечной системой интервалов fIngNn=1, òî

N

X

(S) = jInj;

n=1

а если сч¼тной системой fIng1n=1, òî

В дальнейшем будем считать конечные покрытия либо суммы сч¼тными с добавлением сч¼тного числа пустых множеств либо нулевых слагаемых.

Î ï ð å ä å ë å í è å. Внешней мерой Лебега множества D

называется число

m (D) = inf (S);

S

где точная нижняя грань бер¼тся по всем покрытиям S множества D.

Ясно, что всегда m (D) > 0. Внешняя мера Лебега об-

ладает рядом свойств, одно из которых нам понадобится и будет сейчас доказано.

Т е о р е м а 3 (Свойство субаддитивности внешней меры). Пусть множество D представляет собой объединение конеч-

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьм¼м произвольное " > 0. По определению внешней меры m (Dk) для каждого номера k

найд¼тся такое покрытие Sk множества Dk системой интер- валов fInkg, ÷òî

Итак, для всякого " > 0 справедливо неравенство

1

X

m (D) 6 m (Dk) + ":

k=1

Так как внешние меры m (D) и m (Dk) îò " > 0 не зависят, то доказываемое неравенство также справедливо. Теорема доказана.

Î ï ð å ä å ë å í è å.Будем говорить, что множество D имеет лебегову меру нуль (m(D) = 0), åñëè m (D) = 0.

Из этого определения мы видим, что в этом случае мера Лебега m(D) этого множества есть просто его внешняя мера m (D). Поэтому если m(D) = m (D) = 0, то по опреде-

лению точной нижней грани для всякого " > 0 существует покрытие S множества D такое, что

[X

S = In è (S) = jInj < ":

nn

Ясно, что любое подмножество множества D меры нуль

само имеет меру нуль. Также очевидно, что мера Лебега отдельной точки либо конечного числа точек тоже равна нулю.

3.Критерий Лебега интегрируемости по Риману ограниченной на отрезке функции

Пусть функция f(x) ограничена на сегменте I = [a; b]. Рассмотрим произвольное разбиение на частичные сегмен-