Критерий Лебега интегрируемости функций по Риману. Методическое пособие

резка 12 ; 1 , удовлетворяющих неравенству jx x0j < имеет место jR(x) R(x0)j < ". Òàê êàê R(x0) = 0, а функция R(x) неотрицательна , то последнее неравенство переходит в неравенство R(x) < ". Возьм¼м произвольное " > 0

èнайд¼м такое натуральное N, что N1 < ". Рассмотрим все

как m, n натуральные числа, то таких чисел x = mn íå более, чем конечное число. Значит, можно выбрать доста-

точно малую -окрестность точки x0, где этих чисел нет во- обще (почему?). Тогда в этой -окрестности точки x0 содер-

жатся только иррациональные числа и рациональные числа вида x = mn , где n > N. Тогда по определению функции

Римана для всякого x 2 (x0 ; x0 + ) соответствующие

значения функции Римана R(x) 6 N1 < ", что и доказывает непрерывность этой функции в иррациональной точке x0.

Далее применяем результат второй задачи и получаем, что данная функция R(x) интегрируема по Риману на от-

резке 12 ; 1 .

Литература

1.Шведенко С.В. Избранные лекции по математическому анализу. Часть 2. М.: МИФИ, 1994.

Михаил Вадимович Сучков Александр Петрович Горячев

Критерий Лебега интегрируемости функций по Риману

Методическое пособие

Редактор Е.К. Коцарева

Подписано в печать 29.12.2017. Формат 60 841/16 .

Уч.-изд. л. 1,5. Печ. л. 1,5. Тираж 150130 экзýêç. . Изд. 1/2. Заказ 18.

Национальный исследовательский ядерный университет ¾МИФИ¿. 115409, Москва, Каширское ш., 31

Типография НИЯУ МИФИ

Ä Ë ß Ç À Ì Å Ò Î Ê

Ä Ë ß Ç À Ì Å Ò Î Ê