Критерий Лебега интегрируемости функций по Риману. Методическое пособие

Рассмотрим S и s верхнюю и нижнюю суммы Дарбу соответственно, построенные для функции f(x) и отвечающие разбиению сегмента I:

XX

S = MijIij; s = mijIij;

i=1 i=1

ãäå jIij означает, как и ранее, длину отрезка Ii. Пусть I нижний, à I верхний интегралы Дарбу:

Хорошо известно, что I 6 I , и для того чтобы ограни- ченная функция f(x) на сегменте I была интегрируема на этом сегменте, необходимо и достаточно чтобы I = I . Íà- çîâ¼ì интегральной характеристикой сегмента

íó L(I) = I I . ßñíî, ÷òî L(I) > 0.

Л е м м а 3. Для всякой ограниченной на сегменте I функции f(x) и для любого разбиения имеет место равенство:

inf (S s ) = I I :

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. По определению точной нижней грани нужно проверить два условия:

1) для произвольного разбиения справедливо неравен-

ñòâî

S s > I I ;

2) для всякого " > 0 найд¼тся такое разбиение , что

S s < I I + ":

Докажем сначала первое условие. Из определения нижнего и верхнего интегралов Дарбу как точных верхней и

нижней граней множества нижних и верхних сумм Дарбу вытекает, что для произвольного разбиения имеют место

неравенства:

Умножая второе неравенство на ( 1) и складывая с первым,

получаем, что

S s > I I ;

т. е. первое условие установлено.

Докажем теперь второе условие. Опять по свойствам точ- ных граней для всякого " > 0 найдутся такие разбиения 1

Опять, складывая первое неравенство со вторым, умноженным на ( 1), получаем:

S 1 s 2 < I I + ":

Рассмотрим разбиение = 1 [ 2. Так как оно является измельчением как разбиения 1, так и разбиения 2, òî ïî свойствам сумм Дарбу верхняя сумма при измельчении разбиения может только уменьшиться, а нижняя лишь увеличиться. Следовательно,

S s 6 S 1 s 2 < I I + ";

и второе условие также установлено. Лемма доказана.

Отметим, что утверждение этой леммы можно записать в виде:

Л е м м а 4 (Аддитивность интегральной характеристики). Для всякой ограниченной на сегменте I функции f(x)

и для любого разбиения сегмента I на сегменты fIigni=1 ñïðà- ведливо равенство:

n

X

L(I) = L(Ii):

i=1

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Достаточно рассмотреть только случай разбиения сегмента I = [a; b] точкой c 2 (a; b) на два

сегмента: I1 = [a; c] è I2 = [c; b]. В этом случае нам нужно доказать, что L(I) = L(I1) + L(I2), ò. å.

где = [a;b] означает произвольное разбиение сегмента [a; b], а 1 = 1[a; c] è 2 = 2[c; b] произвольные разбиения сегментов [a; c] и [c; b] соответственно.

Докажем сначала, что левая часть равенства (2) не пре-

восходит правую, а затем противоположное неравенство. Возьм¼м произвольное разбиение 1 отрезка [a; c] и произвольное разбиение 2 отрезка [c; b]. Обозначим c = 1 [ 2. Тогда c будет таким разбиением отрезка [a; b], что в н¼м в качестве точки разбиения всегда присутствует точка c. Поэтому по определению верхней и нижней сумм Дарбу

S c s c = (S 1 s 1 ) + (S 2 s 2 ) ;

откуда, к точным нижним граням, получаем:

жество âñåõ разбиений = [a; b] содержит внутри себя как

подмножество множество всех разбиений c, то мы видим, что справедливо неравенство

Докажем теперь противоположное неравенство. Рассмотрим произвольное разбиение сегмента [a; b]. Если оно не

содержит в качестве точки разбиения точку c, добавим е¼.

Получим новое разбиение c сегмента [a; b]. Так как при добавлении новой точки в разбиение верхняя сумма Дарбу может только уменьшиться, а нижняя лишь увеличить- ñÿ, òî S s > S c s c . Обозначим через 1 è 2 точки разбиения c, принадлежащие сегментам [a; c] и [c; b] соответственно. Тогда

S s > S c s c = (S 1 s 1 ) + (S 2 s 2 ) :

Переходя к точным нижним граням, получим:

Из неравенств (3) и (4) вытекает равенство (2). Лемма доказана.

Л е м м а 5. Пусть функция f(x) ограничена на сегменте I и для некоторого > 0 колебание w(x) < для всех значений x 2 I. Тогда интегральная характеристика этого

сегмента

L(I) < jIj:

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Предположим, что утверждение леммы не выполняется, т. е. L(I) > jIj. Разделим отрезок I

пополам: I = I11 [ I12. Тогда по лемме 4 интегральная характеристика L(I) = L(I11) + L(I12) > jIj. Поэтому по крайней

Í å î á õ î ä è ì î ñ ò ü. Так как функция f(x) интегрируема по Риману на сегменте I, то

Возьм¼м произвольное " > 0 и любое натуральное k. Тогда весь сегмент I можно разбить на отрезки I1, I2, . . . (áåç

жество отрезков fIigi=1 разделим на два непересекающих- ся множества fSlg è fTmg по следующему правилу: отре-

çîê Ii 2 fSlg, если в некоторой внутренней точке x 2 Ii

1

колебание w(x) > k ; в противном случае Ii 2 fTmg. Ïî

Если у сегментов Sl отбросить граничные точки, то полу-

чим множество интервалов f ~ g, покрывающих вс¼ множе-

Sl

ñòâî Dk, за исключением, быть может, граничных точек сегментов Ii, а так как таких точек конечное число, то внешняя мера Лебега множества этих точек равна нулю. Отсюда и из (7) получаем, что для вякого натурального k

внешняя мера Лебега m (Dk) = 0, а из свойства субаддитивности внешней меры (теорема 3) следует, что m (D) 6

1

6 P m (Dk) = 0. Значит, m (D) = 0, и, стало быть, мера

k=1

18 3. Критерий Лебега

Лебега m(D) = 0, и необходимость условий теоремы установлена.

Возьм¼м произвольное " > 0 и выберем номер k так, чтобы

Из теоремы 1 следует, что соответствующее множество Dk является ограниченным замкнутым множеством меры нуль,

поэтому его можно покрыть конечной либо сч¼тной системой интервалов, общая сумма длин которых меньше k1 . Òàê

êàê Dk ограниченное замкнутое множество, то по известной лемме Гейне Бореля из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие множества Dk. Èç íåãî, â ñâîþ очередь, выберем такое покрытие множества Dk, чтобы ин- тервалы, входящие в это покрытие, попарно не пересекались. Для этого в конечном подпокрытии объединим пересекающиеся интервалы в один. Ясно, что сумма длин ин-

тервалов этого нового покрытия множества Dk прежнему меньше k1 . Возьм¼м концы этих интервалов и граничные точки отрезка I и рассмотрим пересечение это-

го множества с отрезком I. Это будет некоторое разбие-

íèå fIigni=1 сегмента I. Это множество отрезков fIigni=1 ðàçî- бь¼м на два непересекающихся множества fSlg è fTmg следующим образом: отрезок Ii 2 fSlg, если соответствующий

Ó ê à ç à í è å. Установить, что, во-первых, эта функция ограничена на отрезке [a; b], и, во-вторых, множество е¼ то-

чек разрыва не более чем сч¼тно. 4. Функция Римана

Р е ш е н и е. Докажем сначала, что функция R(x) разрывна в рациональных точках и непрерывна в иррациональ-

m 1

Пусть x0 = n 2 2 ; 1 . Тогда R(x0) =

бой окрестности точки x0 найдутся иррациональные точки по свойству вещественных чисел (выясните, какому именно). Поэтому можно построить последовательность иррациональных чисел fxkg таких, что

(укажите способ построения этой последовательности). Следовательно, получилось противоречие с определением непрерывности в точке x0 по Гейне.

кажем, что функция R(x) непрерывна в точке x0, исполь- зуя определение непрерывности по Коши, т. е. для всякого " > 0 можно найти > 0 такое, что для всех x из от-