Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Квантовая физика и нанотехнологии

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

806 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Приложение 2. Движение квантовых частиц в стационарных внешних полях

В правой части этого уравнения нужно заменить выражение с волновыми функциями на выражения, зависящие от плотности вероятности. Для этого вычислим:

* * 2 *,
( )2 ( * * )2 ( * * )2 4 *	4J 2
		.

	2

Исключая с помощью выписанных формул выражение с волновыми функциями в (П1.5), окончательно получаем уравнение:

(J / )		2	J 2	2( )2
	U				,	(П1.6)
t		4m	2m 2	8m 2

которое совпадает с уравнением (3.6). Если при инфинитном движении существует макроскопический импульс Р, то в уравнении (П1.6) проводим замену J / P и получаем уравнение (3.5).

P	P 2			2( )2	2
			U			.	(П1.7)
t				8m 2
		2m			4m

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ДВИЖЕНИЕ КВАНТОВЫХ ЧАСТИЦ В СТАЦИОНАРНЫХ ВНЕШНИХ ПОЛЯХ

Рассмотрим одномерный случай движения квантовых частиц в стационарном внешнем поле U(x). Квантовая частица находится в игольчатом состоянии, когда поперечные составляющие квантовой энергии равны нулю. Задача состоит в том, чтобы понять, насколько решение для свободной частицы можно использовать в слабо градиентных полях. Необходимо решать систему уравнений:

m		P	0.	(П2.1)

	t	x

Здесь Р = Рх(x).

E	P 2	U ( ) const.	(П2.2)
	2m

Приложение 2. Движение квантовых частиц в стационарных внешних полях

	( P)	2	2		2	2 2
( )							.
	2m					4m x 2
			8m 2	x

Преобразуем уравнение (П2.1) к виду:

m	P	P	0.

P t		x

Решаем это уравнение с точностью до P % 0. Тогда

	m
		dx t
	P	dx t
P J	P		,
P J		T	,
		T

где Т — характерное время задачи. Обозначим

m	dx t

P		.

	T

Подставив решение (П2.4) в (П2.3), получим:

( P)	2			m 2 .		1	dJ	2	2 d2J		1
		;			0						3.
2m		;			0				J d		3.
2m			8T 2P 2 0 J 2				d		J d	2 3
			/								2

Этому уравнению удовлетворяет решение в виде:

		m
			dx t
		P	dx t
J J 0	cos2	P		.
J J 0	cos2		T	.
			T

Подставляя (П2.6) в (П2.5), получаем:

T m const.

P P

Учитывая, что

( P)2 ( )2 2m 8m

из (П2.7) получаем

P(x) (x) 2m const.

П2.3

(П2.4)

(П2.5)

(П2.6)

(П2.7)

Приложение 3. Решение квантовых гидродинамических уравнений для свободной частицы

В рассматриваемом приближении плотность потока вероятности в координатном пространстве остается постоянной.

Тогда окончательно находим:

J 0

dx t

cos2

;

(П2.8)

P(x)

P(x)2

U (x)

m 2

(П2.9)

2T 2P 2

Полученные решения по способу вывода аналогичны квазиклассическому приближению, используемому в традиционной квантовой механике. Это приближение справедливо, если выполняется неравенство:


JT		dP
JT		dx	!! 1.	(П2.10)
		dx

m	dJ
m	d
	d

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

РЕШЕНИЕ КВАНТОВЫХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ

Рассмотрим движение свободной частицы массы m с заданным импульсом Р. Система уравнений (4.2) и (4.3) примет вид:


	m		P 0,				(П3.1)
	m		P 0,				(П3.1)
		t
( P)2	2			( )2	2	const.	(П3.2)
2m	8m 2			( )2	4m	const.	(П3.2)
2m	8m 2				4m

Будем искать общее решение уравнения (П3.1) в виде:

(t, r) ( ), где P(r Pt / m) / .

(П3.3)

Приложение 3. Решение квантовых гидродинамических уравнений для свободной частицы

Тогда
		P		P		,

t	t			m
			P		.

Подставляя и в уравнение (П3.1), убеждаемся, что (П3.3)

является решением этого уравнения. Далее вычислим

d2 P)2 . d 2

Подставляя и в уравнение (П3.2), находим

	1			2	2	2
4			d				d	.	(П3.4)

	2	d					d

Для решения этого уравнения понизим порядок производных. Обозначим

1 d	u.	(П3.5)

d

Тогда

du	2			1				2
		1	d			d	.

d d				2	d

Подставляя выписанные соотношения в (П3.4), получаем:

2 du u2 4 0. d

Решая это уравнение методом разделения переменных, получим:

arctg u . 2

Подставляя это решение в (П3.5) и проводя вновь интегрирование, окончательно получаем:

(t, r) 0cos2 0cos2( P(r Pt / m) / ).

Полученное решение согласуется с формулой (4.6).

Приложение 4. Движение заряженной частицы в электромагнитном поле

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Рассмотрим в квазигидродинамическом представлении движение частицы с зарядом e и массой m в произвольном электромагнитном поле [1]. Пусть напряженность электрического поля есть , а напряженность магнитного поля — H. Эти напряженности выразим через скалярный потенциал 6 и векторный потенциал А:

	1		A	6;	(П4.1)
	c
			t
H		rot A.			(П4.2)

Оператор Гамильтона для этого случая записывается в виде [2]:


	1		e		2
:		P		A	e6 U .	(П4.3)
:		P	c	A	e6 U .	(П4.3)
	2m		c

Здесь учтено, что помимо электромагнитных сил имеются еще и другие силы, описываемые силовой функцией U. Если учесть калибровку векторного потенциала divA = 0, то оператор Гамильтона можно записать в другом виде:

	1		e		e2
:		P 2		( AP)		A2	e6 U .	(П4.4)
			mc
	2m				2mc2

Выпишем необходимые исходные уравнения Шредингера для дальнейших вычислений с оператором (П4.4):

			*
i		:, i		:*.	(П4.5)
i	t	:, i	t	:*.	(П4.5)
	t		t

Умножим первое уравнение Шредингера на * , а второе на и вычитая из первого уравнения второе, получим:

			2		ie
i		: :		( * *)		.
	t				mc( * A A *)
			2m

Обозначим * . Введем плотность потока вероятности J/m:

J		i	( * * ).	(П4.6)
m		2m

Приложение 4. Движение заряженной частицы в электромагнитном поле

Обозначим

R	e	div A .	(П4.7)

	c

Тогда получим:

m div J R 0.

Введем новое выражение для плотности потока импульса J

J * J e A. c

Получим закон сохранения плотности вероятности в виде:

	m		div J* 0.						(П4.8)
	m		div J* 0.						(П4.8)
		t
				e
Если J P, то	J * P				A	P*	, где	P*	— стандартный
Если J P, то	J * P			c	A	P*	, где	P*	— стандартный
				c

обобщенный импульс частицы в электромагнитном поле. Далее вычислим производную:

(J / )t

		i		1

		2		*
		2		*

(ln * ln )

* *: .

Здесь использованы выписанные выше уравнения Шредингера. Вставив явный вид оператора Гамильтона, получаем:

(J / )	e2			2e AJ	2	* *
		A 2	e6 U				. (П4.9)
t				mc
	2mc2				4m

* * 2 *,
( )2 ( * * )2 ( * * )2 4 *	4J 2
		.

	2

Исключая с помощью выписанных формул выражение с волновыми функциями в (П4.9), окончательно получаем уравнение:

(J / )

J 2

2( )2

A 2

e6 U

. (П4.10)

2m 2

2mc2

8m 2

Приложение 4. Движение заряженной частицы в электромагнитном поле

Можно ввести новый потенциал

U *

A 2 e6 U

(П4.11)

2mc2

Тогда получаем уравнение:

J 2

2( )2

(J / )

U *

(П4.12)

2m 2

8m 2

которое согласуется с (П1.6).

Если существует макроскопический импульс J / P, то имеем:

	P 2			2( )2	2
	P		U *			,	(П4.13)
t				8m 2
		2m			4m

что согласуется с уравнением (П1.7), однако движение происходит в эффективном силовом поле с потенциалом U * из (П4.11). Введем выражение для вектора скорости частицы v = P/m, тогда уравнение (П4.13) можно переписать в виде:

v		1		2( )2
	(v )v		U *		.	(П4.14)
t
		m		8m 2

Это есть квантовое уравнение безвихревого течения сжимаемой идеальной жидкости [1].

Литература

1.Алексеев Б.В., Абакумов А.И. Об одном подходе к решению уравнения Шредингера. — Доклады РАН, 1982, т. 262, с. 1100.

2.Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. — М.: Наука, 1976. — 664 с.

ОБ АВТОРЕ

Неволин Владимир Кириллович

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры квантовой физики и наноэлектроники Московского государственного института электронной техники (технический университет) (МИЭТ), руководитель научно-образовательного центра «Зондовая микроскопия и нанотехнология», заслуженный работник Высшей школы РФ, лауреат премии Правительства РФ в области науки и техники.

Специалист в области зондовой микроскопии, зондовой нанотехнологии и наноэлектроники.

Данные для коммуникации

124482, Россия, Москва, Зеленоград, корпус 162, квартира 216. +7 (499) 734-49-88 (домашний) +7(499) 732-72-41 (рабочий)

моб. 8-916-542-16-28 E-mail: vkn@miee.ru www.nanotube.ru

QUANTUM PHYSICS

AND

NANOTECHNOLOGY

INTRODUCTION

In science there is no wide, well-marked road,

And only that one can reach its shining heights

Who, undaunted by fatigue,

Scrambles along its rocky paths.

K. Marx

At all the times new technologies have been conducive to the progress of science, nanotechnology being no exception. Nanotechnology is a new area of applied science dealing with fundamental properties of matter on the nanoscale and using them for the benefit of people. The mankind has the right to expect cardinal improvements in the quality of life thanks to the development and use of nanotechnology.

Experimental studies of infinite (unrestricted at least in one direction) quantum particle motion using probe nanotechnologies [1] have revealed the necessity of revising previous concepts of their motion. Particularly, quantum particles transfer quantum motion nonlocality energy beside classical kinetic energy, in other words, they are in two different kinds of motion simultaneously. The quantum component of the motion energy may be quite considerable under certain circumstances. Some new effects were predicted and proved experimentally in terms of this phenomenon.

A prototype refrigerating device where the cathode is cooled due to transfer of quantum energy component (Fermi energy) has been tested experimentally. Our calculations show that the efficiency of this device can be as high as 60%. We have also developed an experimental technique to determine the Fermi energy difference at electrodes. It is shown that the total energy of particles undergoing alpha decay differs from their kinetic energy by some percent. This result is important for developing precise alpha sources of heat and electricity.

A new physical effect revealing the possibility of quantum energy component enhancement is predicted. The matter is that the kinetic (thermal) energy of particles undergoing chemical and nuclear transformations can be decreased at the expense of quantum component enhancement. In this case we can speak about «cold reactions».

Some model problems of infinite particle motion have been solved; it helped to eliminate the existing theoretical problems in comprehension of some phenomena and strengthen our confidence that the new approach to description of infinite particle motion is more adequate.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]