Квантовая физика и нанотехнологии

Глава 10. Движение частицы в поле потенциальной ступеньки

Тогда выражения для энергии частиц можно записать в виде:

Для вычисления коэффициента прозрачности барьера (10.17) найдем выражения для неизвестных импульсов Р2, Р3, пользуясь выписанными значениями полной энергии и определением для

D 20 P2 / 10 P1 :

Здесь выражения для импульсов получены в неявном виде через коэффициент пропускания D. Совместно формулы (10.17)— (10.19) позволяют вычислить коэффициент пропускания барьера в явном виде. Для падающих на потенциальную ступеньку частиц считаются известными E, P1 , 10 . При этом

EP12 2 2( 10)2 .

2m 8m

Полученные выражения для импульсов обеспечивают классический предел D = 1, когда % 0. Коэффициент прохождения D 0 при значениях полной энергии Е = U0 , в этом случае Р3 =

= Р1.

Как правило, квантовая составляющая частиц, падающих на барьер, мала, т.е.

0 2 2( 10)2 !! P12 Ek. 8m 2m

Тогда из (10.18) и (10.19) следует:

P3 P1(1 D) 0 / Ek , P2 2m(Ek U 0), P1 2mEk , (10.20)

т.е. величины отраженных импульсов составляют малую долю от величин падающих импульсов.

Полученные формулы для коэффициента прохождения D существенно отличаются от решения аналогичной задачи для квантовых частиц, падающих на потенциальную ступеньку, для которых

Глава 10. Движение частицы в поле потенциальной ступеньки

амплитуда плотности вероятности является постоянной во всем пространстве [1].

Покажем, чем отличается традиционное решение этой задачи от приведенного выше решения.

Для решения уравнения (10.1) предположим, что имеет место суперпозиция квантовых состояний падающих и отраженных частиц, т.е. их координаты не различимы, x1 x3 x

Пусть 1 (x) и 3 (x) являются решениями уравнения (10.1). Можно показать, что суперпозиция этих решений в виде:

13 x 1 3 − 2 1 3

тоже является решением этого уравнения, если E P12 /2m P22 /2m. Однако, чтобы координаты падающих и отраженных частиц были неразличимы вдоль направления движения, они должны быть делокализованы во всем полупространстве. Сделаем соответствующий переход в решениях для 1 , 3 , 2 ( xi % &), тогда получим граничные условия в виде:

10 30 2 10 30 20,

P1( 10 30) P2 20,

что и обеспечивает получение формул задачи 1 для R и D из [1], которые не зависят от постоянной Планка и, следовательно, не обеспечивают классического предела, когда % 0.

D 4P1P2 / (P1 P2)2.

Наличие классического предела для коэффициента прохождения D, конечно, не должно зависеть от крутизны границы потенциальной ступеньки. Дело в традиционном представлении о свободных квантовых частицах, когда свободной частице ставится в соответствие волна де Бройля.

Литература

1.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. — М.: Наука, 1974.

ГЛАВА 11

ТУННЕЛИРОВАНИЕ

Задача туннелирования решена в квазигидродинамическом представлении в гл. 7, когда рассматривался альфа-распад ядер. Туннелирование рассматривалось из потенциальной ямы с финитным движением частиц, когда поступательная составляющая частиц отсутствует. Рассмотрим туннелирование частиц в более общем виде, когда они налетают на прямоугольную стенку с некоторым импульсом.

Рассмотрим прохождение частиц через прямоугольный барьер конечной высоты U 0 (E ! U 0 ) и конечной ширины а (рис. 11.1).

Рис. 11.1.

Поскольку в области барьера макроскопический импульс частиц не существует, то необходимо решать систему уравнений (3.2), (3.6).

m div J 0, (3.2)

t

Для решения этой системы уравнений сделаем упрощающие

Глава 11. Туннелирование

Решая выписанную систему уравнений совместно с соотношениями для законов сохранения энергии свободных частиц, можно вычислить D:

Из граничных условий следует:

4(a) 2(a) 20e a ( 10 30)e a.

Тогда D равно:

D P4( 10 30) exp( a).

P1 10

При a % 0, D % 1, 30 % 0 должно быть P4 = P1. Тогда из закона сохранения энергии следует: 40 10 . Из решения для плотности

вероятности 4( a) 10 cos 42 .

Выпишем окончательные формулы для расчета коэффициента туннельного прохождения барьера D:

Из формулы (11.8) можно видеть, что частицы, протуннелировавшие через барьер, сохраняют энергию, импульс, а волна плотности вероятности меняет фазу.

Из закона сохранения энергии отраженных частиц и определения R P3 30 / P1 10 находим выражение для 30 :

7 / 2.

2 0 E), 52 4P14 / 4.

Спомощью формул (11.8) и (11.9) вычисляется коэффициент прозрачности барьера, если заданы E, P1 , 10 . Прозрачность барье-

ра в классическом пределе должна равняться нулю, действительно, если устремить формально % 0, получаем % & и D % 0.8m

Глава 11. Туннелирование

сти практически всегда отличаются от значений, вычисляемых по традиционным формулам.

Время туннелирования частиц с пространственно структурированной плотностью вероятности имеет вполне определенную величину и в соответствии с формулой (11.5) и m / P12 равно:

где 0 — время пролета барьера шириной а с импульсом Р1:

0 am.

P1

Можно видеть, что туннелирование может быть медленным процессом, когда импульс падающей на барьер частицы мал.

Литература

1.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. — М.: Наука, 1974, с. 103.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Квазигидродинамическое представление для инфинитного движения квантовых частиц с физическими переменными позволяет получить новые решения, меняющие представления о них. «Цена» физического вида исходной системы уравнений — нелинейность одного из них. Для теоретической физики значение аналитических решений квантовых задач имеет неоценимое значение. Однако в век компьютерных технологий решение квантовых задач в квазигидродинамическом представлении не должно представлять особого труда, тем более, что транспортные задачи в конкретных квантовых приборах в силу сложности решаются с применением компьютеров.

Квантовые частицы, совершающие инфинитное движение, помимо классической кинетической энергии всегда обладают вполне определенной квантовой энергией — энергией квантовых флуктуаций. При таком подходе устраняются противоречия традиционной теории для транспортных явлений — все новые квантовые формулы и уравнения имеют классический предел. В традиционной квантовой механике этим представлениям наиболее близка идея волновых пакетов для свободных частиц, поскольку в их основе лежит представление о флуктуациях импульса частиц. Однако энергия этих флуктуаций, которую переносят свободные частицы, помимо всего прочего не учитывалась в законе сохранения энергии.

Формулы для коэффициентов прохождения барьеров получены в неявном виде. Формально это связано с нелинейностью одного из квантовых уравнений движения. По существу процесс прохождения барьеров является самосогласованным для распределения плотности вероятности — меняется статистическое волновое поле частицы при сохранении инвариантов движения. В приведенных традиционных решениях квантовых задач это обстоятельство не учитывается.

Учет пространственного структурирования плотности вероятности свободных квантовых частиц дает, на наш взгляд, более правильные и нередко новые соотношения для транспортных явлений. В конечном счете, использование квазигидродинамического представления оправдано, если получены новые результаты, которые подтверждаются экспериментально или могут иметь экспериментальное подтверждение. В частности, экспериментальное доказательство резонансной накачки квантовой составляющей энергии инфинитного движения частиц открывает принципиально новый подход к решению некоторых прикладных проблем, явится еще одним доказательством волновой природы инфинитного движения квантовых частиц.