Квантовая физика и нанотехнологии
.pdf
Глава 1. История вопроса
зигидродинамическое представление [5]. В конечном счете, использование квазигидродинамического представления оправдано, если получены новые результаты, которые подтверждаются экспериментально или могут иметь экспериментальное подтверждение.
Возможно, одной из причин того, что не «прижилось» квазигидродинамическое представление, является то, что одно из уравнений является нелинейным, которое весьма трудно решать аналитически. Впрочем, в квантовой механике не много решенных аналитически задач даже с использованием линейного уравнения Шредингера.
Поиск не тривиальных решений для инфинитных одночастичных состояний привел нас к решениям уравнения Шредингера в гидродинамическом представлении. Квантовые гидродинамические уравнения позволяют описывать последовательно инфинитные состояния квантовых частиц. При необходимости полученные результаты можно удостоверить с помощью традиционных решений уравнений Шредингера. Обращение к квантовым гидродинамическим уравнениям с физическими величинами позволяют несколько иначе взглянуть на давно известные результаты для одночастичных инфинитных состояний [6—8]. Заметим, что квазигидродинамическое представление движения встречается с большими трудностями при описании системы взаимодействующих частиц.
Литература
1.Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. — М.: Наука, 1976. — 664 с.
2.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. — М.: Гиз. ФМЛ, 1963. — 702 с.
3.Вопросы причинности в квантовой механике. Сб. переводов/Под ред. Я.П. Терлецкого и А.А. Гусева. — М.: ИЛ 1955, с. 34.
4.Ghosh S. K., Deb B. M. Densities, Density-Functionals and Electron Fluids. Physics Reports (Review Section of Physics Letters). 92 No 1 (1982).
5.Алексеев Б.В., Абакумов А.И. Об одном подходе к решению уравнения Шредингера. Доклады РАН, 1982, т. 262, с. 1100.
6.Неволин В.К. Пространственная локализация свободных квантовых частиц. Наноматериалы и нанотехнологии, 2012, № 3, с. 39—44.
7.Неволин В.К. Атом водорода: что нового? Наноинженерия, 2012, № 12, с. 44—46.
8.Неволин В.К. Атом водорода: что нового? Часть II. Наноинженерия, 2013. № 2, с. 46—48.
ГЛАВА 2
ПОЛНАЯ ЭНЕРГИЯ И ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ
СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ [2]
К сожалению, нередко в учебниках по квантовой механике выражением для полной энергии свободной частицы считается формула (1.1). Напишем ее еще раз:
E p2 / 2 m. |
(2.1) |
Однако эта формула описывает только энергию поступательного движения частицы. Частица совершает одновременно еще квантовое движение и это ее неотъемлемое свойство, в каких бы она состояниях не находилась — финитных или инфинитных. Таким образом, свободная частица одновременно участвует в двух движениях («корпускулярно-волновой дуализм») и каждому движению должна соответствовать своя энергия.
Пусть оператор Гамильтона частицы массы m, совершающей свободное движение, имеет вид:
|
2 |
/ 2 m. |
(2.2) |
H |
(p) |
В квантовой механике договорились и приняли, что реальной физической величине соответствует квантово-механическое среднее от соответствующего оператора. Тогда энергия частицы равна:
E |
|
|
|
2 |
/ 2 m p |
2 |
/ 2 m ( p) |
2 |
/ 2 m. |
(2.3) |
H |
(p) |
|
|
|
Здесь принято:
E |
|
* |
|
2 |
( p) |
2 |
. |
H |
H d r и |
(p p ) |
|
|
Можно видеть, что квантовая частица одновременно участвует в двух движениях: совершая поступательное движение с кинетической энергией
Ek 
p
2 / 2 m
ичисто квантовое с энергией квантовой нелокальности движения, обусловленной флуктуациями импульса
Глава 2. Полная энергия и волновая функция свободной частицы
( p)2 
/ 2m.
Таким образом,
E E k . |
(2.4) |
Используем принцип суперпозиции квантовых состояний для частицы, участвующей одновременно в двух движениях, и запишем волновую функцию в виде:
|
|
|
|
|
i(p1r E1t) |
|
i(p 2 r E 2 t) |
|||
|
|
|
|
|||||||
(r, t) |
|
|
0 |
e |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
. (2.5)
Положим:
p
(p1 p 2 ) / 2, p (p1 p 2 ) / 2;
E1 p12 / 2m, E 2 p22 / 2m, E (E1 E 2 ) / 2.
Обозначим далее 
p
p. Тогда плотность вероятности свободной частицы, совершающей инфинитное движение, будет иметь вид:
r t 0 |
|
p(r t p/m) |
|
|
cos2 |
|
. |
(2.6) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
Здесь предполагается, что начальная фаза волны равна нулю. Тогда один из максимумов плотности вероятности совпадает с классическим местоположением частицы, и этот центр перемещается в пространстве с импульсом р. Использование большего числа волновых функций для написания суперпозиции, описывающей движение свободной частицы, приводит к известной проблеме — расплыванию в пространстве со временем для каждой частицы. Принимая обозначения для полной энергии частицы Е и среднего импульса р, волновую функцию частицы из формулы (2.5) можно преобразовать к виду:
|
|
|
p(r tp / m |
i ( pr Et ) |
|
|
|
|
|
|
. |
(2.7) |
|||
(r, t) 0 cos |
|
e |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула (2.7) показывает, что амплитуда плоской волны модулируется гармонической функцией и ее максимум распространяется в пространстве с классической скоростью р/m. Период осцилляций амплитуды в пространстве подчиняется следующим соотношениям для любого момента времени:
px x 2 , py y 2 , pz z 2 . |
(2.7а) |
Глава 2. Полная энергия и волновая функция свободной частицы
Не трудно убедиться, что подстановка волновой функции (2.7) в уравнение Шредингера для свободной частицы дает выражение для полной энергии частицы в виде формулы (2.3).
Далее покажем, что выражение для плотности вероятности свободной частицы (2.6) является аналитическим решением квантовых уравнений движения в квазигидродинамическом представлении.
В общем случае волна плотности вероятности свободной частицы (2.6) совершает продольно-поперечные колебания с волновым вектором
k p / , |
(2.8) |
частотой
( p / )(p / m) kv |
(2.9) |
и линейным законом дисперсии, что существенно. С ее помощью качественно можно объяснить известные экспериментальные результаты по интерференции частицы самой с собой при прохождении двух щелей [1]. Заметим, что в монографии [1] при интерпретации интерференционной картины на экране предлагается суперпозиция двух волновых функций (после прохождения щелей) для описания инфинитного движения отдельной квантовой частицы.
Закон сохранения энергии движения для свободных частиц (2.4) с помощью (2.6) можно записать в следующем виде:
E Ek ( k)2 / 2m, или E Ek ( / 2)( / 2Ek) 2k2 / 2m, (2.10)
где k — поперечная составляющая волнового вектора относительно направления движения. Можно видеть, что квантовая составляющая энергии свободного движения частицы имеет волновую природу и, по-видимому, связана с энергией квантовых колебаний плотности вероятности. Заметим, что гармонические колебания плотности вероятности в соответствии с формулами (2.6) и (2.9) происходят на удвоенной частоте.
Если не учитывать поперечную составляющую флуктуаций импульса k 0 и положить, что квантовая составляющая энергии движения равна кинетической энергии Ek / 2, то получаем прежние постулаты квантовой механики для частиц с ненулевой массой:
E , P k.
Эти формулы в соответствии с (2.10) описывают возможный частный случай.
Глава 2. Полная энергия и волновая функция свободной частицы
Литература
1.Физика квантовой информации/Под ред. Д. Боумейстера, А. Экерта, А.Цайлингера. — М.: Постмаркет, 2002, с. 18. (The Physics of Quantum Information edited by D. Bouwmeester, A. Ekert, A. Zeilinger. Sprin- ger-Verlag Berlin Heidelberg 2000).
2.Неволин В.К. Об энергии движения свободных квантовых частиц в разреженных пучках. — Инженерная физика, 2009, № 5, с. 20.
ГЛАВА 3
УРАВНЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ С ФИЗИЧЕСКИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
Запишем уравнения движения квантовой механики в квазигидродинамическом представлении. Как уже ранее было сказано, по-видимому, вначале их опубликовал Е. Маделунг в 1926 г. вслед за Э. Шредингером, а в 1950-х годах — Д. Бом [1, 2].
Воспользуемся стандартным уравнением Шредингера для движения частицы массой m без спина и магнитного поля в произвольном потенциальном поле:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
t |
H , |
*, |
(3.1) |
|
|
|
|
которое является комплексным и, вообще говоря, эквивалентно двум уравнениям в действительном пространстве. Одно из этих уравнений приводится во многих учебниках по квантовой механике. Это уравнение обычно называют законом сохранения плотности вероятности:
|
|
1 |
div J 0, |
(3.2) |
|
|
|||
t m |
|
|||
где вектор плотности потока вероятности равен
|
1 |
|
|
|
|
J / m |
|
( *P P* *), |
(3.3) |
||
2m |
|||||
|
|
|
|
||
где — оператор импульса. Для инфинитного движения в про-
P
странстве, неограниченном хотя бы с одной стороны, существует макроскопический импульс Р:
.
P P
Тогда из формулы (3.3) следует J P и уравнение (3.1) можно записать в виде:
m |
|
div P 0. |
(3.4) |
|
|||
|
t |
|
|
Уравнение движения (3.4) получается умножением уравнения (3.1) и его комплексно сопряженного вида соответственно на
Глава 3. Уравнения квантовой механики с физическими переменными
и * и вычитанием полученных уравнений. Следующее уравнение получается сложением названых выражений (подробнее см. Приложение 1):
|
|
P |
|
P 2 |
|
|
2 |
( )2 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
. |
(3.5) |
|
|
|
t |
2m |
8m 2 |
4m |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Система |
уравнений |
(3.4), |
(3.5) |
с плотностью |
вероятности |
||||||||
(x, y, z,t) и |
импульсом |
Р является |
замкнутой |
и эквивалентной |
|||||||||
(3.1). Можно видеть, что это уравнение является квазигидродинамическим и нелинейным. Уравнение (3.5) записано несколько в другом виде, чем в [2, 3].
Если макроскопический импульс не существует, например, в области туннелирования, то систему уравнений (3.4), (3.5) необходимо записывать в других переменных. Она будет состоять из уравнения (3.2) и уравнения
(J / ) |
|
J 2 |
|
2( )2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
. |
(3.6) |
t |
2m 2 |
8m 2 |
|
|||||
|
|
|
4m |
|
||||
Для движения квантовой системы из N невзаимодействующих частиц с макроскопическими импульсами и одинаковой массы имеем:
P |
|
N |
|
P 2 |
|
|
|
2 |
( )2 |
|
2 |
|
|||
i |
|
|
( |
|
n |
U |
n |
|
|
n |
|
n |
, |
(3.7) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
t |
i |
n 1 |
|
2m |
|
|
8m 2 |
|
4m |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
m |
|
|
( P ) 0. |
|
|
|
(3.8) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Здесь (x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 ,..., xN , yN , zN ).
С помощью уравнений (3.7) и (3.8) можно показать, что плотность вероятности для системы невзаимодействующих между собой частиц, как и прежде, равна произведению плотностей вероятности входящих в систему частиц.
Какова же роль квазигидродинамического представления квантовых уравнений движения? На наш взгляд, это представление является поверочным для принципа суперпозиции волновых функций. Квазигидродинамическое представление детализирует принцип суперпозиции, делает его предметным, не допускает неограниченного суммирования квантовых состояний, например, как в случае волнового пакета. Для инфинитного движения квантовых частиц каждому виду энергии соответствует волновая функция.
Суперпозиция (сложение) волновых функций приводит не только к новому квантовому состоянию, но и приводит, как это можно
Глава 3. Уравнения квантовой механики с физическими переменными
видеть из смысла уравнений Шредингера, к изменению энергии квантовой системы.
Для инфинитных движений решение квантовых уравнений в квазигидродинамическом представлении дает ряд новых эффектов, которые можно наблюдать экспериментально.
Литература
1.Вопросы причинности в квантовой механике. Сб. переводов/Под ред. Я.П. Терлецкого и А.А. Гусева. — М.: ИЛ, 1955, с. 34.
2.Ghosh S.K., Deb B.M. Densities, Density-Functionals and Electron Fluids. Physics Reports (Review Section of Physics Letters). 92 No 1 (1982).
3.Алексеев Б.В., Абакумов А.И. Об одном подходе к решению уравнения Шредингера. Доклады РАН, 1982, т. 262, с. 1100.
ГЛАВА 4
ИНФИНИТНОЕ ДВИЖЕНИЕ КВАНТОВОЙ ЧАСТИЦЫ В КВАЗИГИДРОДИНАМИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
При инфинитном движении частицы в стационарном внешнем поле U(r) с макроскопическим импульсом P необходимо решать следующую систему уравнений:
P
t
P 2 |
|
2( r)2 |
|
||
|
|
U |
|
|
|
2m |
8m 2 |
||||
|
|
|
|||
m div P 0.
t
2
, 4m
(4.1)
(4.2)
Из (4.1), учитывая, что в стационарной задаче Р = P(r), можно видеть, что сохраняется полная энергия частицы Е:
E |
P 2 |
|
U |
2( )2 |
|
2 |
const. |
(4.3) |
|||||
2m |
|
8m 2 |
|
4m |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Величину r |
2 |
( )2 |
|
2 |
|
|
можно назвать |
энергией |
|||||
|
8m 2 |
|
4m |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
квантовых флуктуаций движения или квантовой составляющей полной энергии. Тогда
E |
P 2 |
U (r). |
(4.4) |
|
2m |
||||
|
|
|
Аддитивная величина (r) может быть малой, но принципиально не равна нулю для квантовых частиц. В противном случае частица лишается своей квантовой сути движения. С другой стороны, наличие (r) меняет пространственно-временное распределение плотности вероятности.
Таким образом, при инфинитном движении, согласно (4.4), помимо кинетической энергии частица переносит энергию квантовых флуктуаций движения, которая в общем случае изменяется в пространстве.
Глава 4. Инфинитное движение квантовой частицы в квазигидродинамическом представлении
Найдем аналитическое решение системы уравнений (4.2), (4.3) для случая свободной частицы, когда U(r) = 0 и P = const. Решениеconst является тривиальным и дает закон сохранения энергии для классической частицы и, стало быть, не годится.
Общее решение уравнения (4.2) можно записать в виде:
(r tP / m). |
(4.5) |
Над решением уравнения (4.3) стоит потрудиться или, по крайней мере, проверить выписанный результат (см. приложение 3)
r,t 0 cos2 p(r t p / m) / ), E p2 / 2m , ( p)2 / 2m. (4.6)
Из решения (4.6), которое обсуждалось ранее в гл. 2, следует еще один важный результат. Если векторы p и р коллинеарные, то квантовая частица может находиться в «игольчатых» состояниях, когда поперечная локализация строго определена. Для свободных частиц величина вектора p и его направление зависят от происхождения частицы. Например, если электрон туннелирует с вершины поверхности Ферми нормально к поверхности автокатода, то поперечные составляющие p равны нулю.