Законы распределения при расчетах надежности технических систем. Методические указания

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Оренбургский государственный университет»

Кафедра безопасности жизнедеятельности

Н.Н.Рахимова, Е.Л. Горшенина, Ш.Ш. Хисматуллин

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ПРИ РАСЧЕТАХ НАДЕЖНОСТИ

ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» в качестве методических указаний для студентов,

обучающихся по программам высшего профессионального образования по направлению подготовки 280700.62 Техносферная безопасность

Оренбург

2014

1

УДК 62-192:517.2(076.5)

ББК 30.14я7+22.16я7

Р 27

Рецензент - кандидат технических наук, доцент В.А. Солопова

Рахимова, Н.Н.

Р27 Законы распределения при расчетах надежности технических систем : методические указания / Н.Н.Рахимова, Е.Л. Горшенина,

Ш.Ш. Хисматуллин; Оренбургский гос. ун-т. – Оренбург : ОГУ,

2014. – 53 с.

Методические указания содержат сведения необходимые для аналитического определения количественных характеристик надежности изделия, при основных законах распределения. Содержат теоретическую часть, примеры решения задач, индивидуальные задания, задачи для самостоятельного решения

Методические указания предназначены для студентов направления подготовки 280700.62 – «Техносферная безопасность», при изучении дисциплины «Надежность технических систем и техногенный риск».

УДК 62-192:517.2(076.5)

ББК 30.14я7+22.16я7 © Рахимова Н.Н.,

Горшенина Е.Л.,

Хисматулин Ш.Ш., 2014

© ОГУ, 2014

2

Содержание

3

1 Основные законы распределения, используемые в

теории надежности

1.1 Экспоненциальный закон распределения

Экспоненциальный закон распределения, называемый также основным законом надежности, часто используют для прогнозирования надежности в период нормальной эксплуатации изделий, когда постепенные отказы еще не проявились и надежность характеризуется внезапными отказами. Эти отказы вызываются неблагоприятным стечением многих обстоятельств и поэтому имеют постоянную интенсивность. Экспоненциальное распределение на-

ходит довольно широкое применение в теории массового обслуживания,

описывает распределение наработки на отказ сложных изделий, время безотказной работы элементов радиоэлектронной аппаратуры.

Приведем примеры неблагоприятного сочетания условий работы деталей машин, вызывающих их внезапный отказ. Для зубчатой передачи это может быть действием максимальной нагрузки на наиболее слабый зуб при его зацеплении; для элементов радиоэлектронной аппаратуры — превышение допустимого тока или температурного режима.

Когда за случайную величину принимается время работы объекта t,

вероятность того, что изделие на протяжении времени t будет находиться в работоспособном состоянии, равна

Вероятность отказа за время t определяется по формуле

где P(t) - вероятность безотказной работы изделия на протяжении времени t.

Плотность вероятности отказов находим по формуле

График экспоненциального распределения основных характеристик надежности представлен на рисунке 1. Значение функции y exp( x)

представлены в приложении А таблица А.1.

Средняя наработка до отказа определяется по формуле

Время возникновения первичных отказов может быть расположено на оси времени так, что суммарный поток отказов сложного изделия становится близким к простейшему, т. е. с постоянной интенсивностью отказов.

Рисунок 1 – Экспоненциальное распределение основных

количественных характеристик надежности Этими обстоятельствами, а также тем, что предположение об

экспоненциальном распределении существенно упрощает расчеты

5

надежности, объясняется широкое применение экспоненциального закона в инженерной практике.

1.2 Нормальное распределение

Нормальный закон распределения часто называют законом Гаусса.

Этот закон играет важную роль и наиболее часто используется на практике по сравнению с другими законами распределения.

Основная особенность этого закона состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения. В теории надежности его используют для описания постепенных отказов, когда распределение времени безотказной работы в начале, имеет низкую плотность, затем максимальную и далее плотность снижается.

Распределение всегда подчиняется нормальному закону, если на изменение случайной величины оказывают влияние многие, примерно равнозначные факторы.

Нормальное распределение основных количественных характеристик надежности представлены на рисунке 2.

Вероятность безотказной работы за время t:

где ( ) – функция Лапласа, обладающая следующими свойствами

6

Значения функции Лапласа приведены в в приложении Б таблица Б.1.

Вероятность отказа, определяется формулой

где Q(t) - вероятность отказа,

Плотность распределения отказов описывается формулой

где — средняя наработка до отказа;

— среднее квадратическое отклонение времени безотказной

работы.

Обозначим через ( ),

Тогда

Значения функции ( ), приведены в приложении В таблица В.1.

Интенсивность отказов определяется по формуле

7

Рисунок 2 - Нормальное распределение основных количественных

характеристик надежности

1.3 Гамма-распределение

Гамма-распределение является двухпараметрическим распределением. Оно занимает важное место в теории надежности.

Плотность распределения имеет ограничение с одной стороны (0 ≤ х < ≤∞).

Если параметр k формы кривой распределения принимает целое значение,

то это свидетельствует о вероятности появления такого же числа событий

(например, отказов) при условии, что они независимы и появляются с постоянной интенсивностью λ. Гамма-распределение широко применяют при описании появления отказов стареющих элементов, времени восстановления, наработки на отказ резервированных систем. При различ-

ных параметрах гамма-распределение принимает разнообразные формы, что и объясняет его широкое применение.

Плотность вероятности отказа устройства за время t:

8

При увеличении k γ-распределение будет приближаться к симметричному распределению, а интенсивность отказов будет иметь все более выраженный характер возрастающей функции времени.

1.4 Распределение Вейбулла

Закон Вейбулла представляет собой двухпараметрическое распределение. Этот закон является универсальным, так как при соответствующих значениях параметров превращается в нормальное,

экспоненциальное и другие виды распределений. Автор данного закона использовал его при описании экспериментально наблюдавшихся разбросов усталостной прочности стали, пределов ее упругости. Закон Вейбулла удовлетворительно описывает наработку до отказа подшипников, элементов радиоэлектронной аппаратуры, его используют для оценки надежности деталей и узлов машин, в частности автомобилей, а также для оценки надежности машин в процессе их приработки. Плотность распределения отказов описывается зависимостью

где - параметр формы кривой распределения Вейбулла;

— параметр масштаба Вейбулла; t - время работы устройства.

Вероятность безотказной работы за время t определяется по формуле

Вероятность отказов

10