Законы распределения при расчетах надежности технических систем. Методические указания
.pdf
Графики, построенные по данным таблицы 6, приведены на рисунке 10. |
||||||||||||||||||||
0,0006 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0005 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0004 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0003 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0,0002 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0,0001 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
100 |
200 |
300 |
400 |
500 |
600 |
700 |
800 |
900 |
1000 |
1100 |
1200 |
1300 |
1400 |
1500 |
1600 |
1700 |
1800 |
1900 |
2000 |
0 |
||||||||||||||||||||
Рисунок 10 - |
Плотности распределения времени до отказа элементов |
|||||||||||||||||||
Плотность распределения времени до отказа системы fc(t) изображена |
||||||||||||||||||||
на рисунке 11. |
Для ее изображения вычисления выполнялись по формуле: |
|||||||||||||||||||
( ) |
( ) ( ). |
(84) |
Из графика отчетливо видна не экспоненциальность распределения времени до отказа нерезервированной системы, если законы распределения времени до отказа её элементов не являются экспоненциальными.
31
0,0008
0,0007
0,0006
0,0005
0,0004
0,0003
0,0002
0,0001
0
0 |
500 |
1000 |
1500 |
2000 |
Рисунок 11 - Плотность распределения времени до отказа системы
3 Задачи для самостоятельного решения
Задача 3.1
Время работы изделия до отказа подчинено экспоненциальному закону
распределения , 1/ч.
Требуется вычислить количественные характеристики надежности элемента: ( ) - вероятность отказа, ( ) - вероятность безотказной работы,
( ) - плотность распределения отказов и - среднее время безотказной
работы, ч.
Значения и , представлены в таблице 7 (по вариантам). Выбор варианта осуществляется по последним цифрам студенческого билета, либо по согласованию с преподавателем.
32
Таблица 7- Исходные данные, для решения задачи 3.1
Вариант 1 |
, 1/ч |
, ч |
|
|
|
|
|
3000 |
|
|
|
Вариант 2 |
, 1/ч |
, ч |
|
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
Вариант 3 |
, 1/ч |
, ч |
|
|
|
|
|
2000 |
|
|
|
Вариант 4 |
, 1/ч |
, ч |
|
|
|
|
|
4000 |
|
|
|
Вариант 5 |
, 1/ч |
, ч |
|
|
|
|
|
3000 |
|
|
|
Вариант 6 |
, 1/ч |
, ч |
|
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
Вариант 7 |
, 1/ч |
, ч |
|
|
|
|
|
2500 |
|
|
|
Вариант 8 |
, 1/ч |
, ч |
|
|
|
|
|
3900 |
|
|
|
Вариант 9 |
, 1/ч |
, ч |
|
|
|
|
|
4400 |
|
|
|
Вариант 10 |
, 1/ч |
, ч |
|
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
Вариант 11 |
, 1/ч |
, ч |
|
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
Вариант 12 |
, 1/ч |
, ч |
|
|
|
|
|
4500 |
|
|
|
33
Продолжение таблицы 7
Вариант 13 |
, 1/ч |
, ч |
|
|
|
|
|
3500 |
|
|
|
Вариант 14 |
, 1/ч |
, ч |
|
|
|
|
|
3000 |
|
|
|
Вариант 15 |
, 1/ч |
, ч |
|
|
|
|
|
2000 |
|
|
|
Вариант 16 |
, 1/ч |
, ч |
|
|
|
|
|
4500 |
|
|
|
Вариант 17 |
, 1/ч |
, ч |
|
|
|
|
|
3800 |
|
|
|
Вариант 18 |
, 1/ч |
, ч |
|
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
Вариант 19 |
, 1/ч |
, ч |
|
|
|
|
|
2000 |
|
|
|
Вариант 20 |
, 1/ч |
, ч |
|
|
|
|
|
4600 |
|
|
|
Вариант 21 |
, 1/ч |
, ч |
|
|
|
|
|
3500 |
|
|
|
Вариант 22 |
, 1/ч |
, ч |
|
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
Вариант 23 |
, 1/ч |
, ч |
|
|
|
|
|
5000 |
|
|
|
Вариант 24 |
, 1/ч |
, ч |
|
|
|
|
|
4000 |
|
|
|
Вариант 25 |
, 1/ч |
, ч |
|
|
|
|
|
5000 |
|
|
|
34 |
|
|
Задача 3.2
Время работы элемента до отказа подчинено нормальному закону с
параметрами |
ч, и |
ч. Требуется вычислить количественные |
|
характеристики надежности ( ), ( ), ( ), ( ) для |
ч. |
||
Значения |
и |
представлены в таблице 8 (по |
вариантам). Выбор |
варианта осуществляется по последним цифрам студенческого билета, либо по согласованию с преподавателем.
Таблица 8 - Исходные данные, для решения задачи 3.2
Вариант 1 |
ч |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
8500 |
|
9000 |
|
|
|
|
Вариант 2 |
ч |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
9000 |
|
10000 |
|
|
|
|
Вариант 3 |
ч |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
7000 |
|
12000 |
|
|
|
|
Вариант 4 |
ч |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
6000 |
|
10000 |
|
|
|
|
Вариант 5 |
ч |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
6500 |
|
13000 |
|
|
|
|
Вариант 6 |
ч |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
5000 |
|
10000 |
|
|
|
|
Вариант 7 |
ч |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
7000 |
|
15000 |
|
|
|
|
Вариант 8 |
ч |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
6700 |
|
9000 |
|
|
|
|
Вариант 9 |
ч |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
10000 |
|
14000 |
|
|
|
|
35 |
|
|
|
Продолжение таблицы 8
Вариант 10 |
ч |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
7000 |
|
10000 |
|
|
|
|
Вариант 11 |
ч |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
6000 |
|
10000 |
|
|
|
|
Вариант 12 |
ч |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
11000 |
|
15000 |
|
|
|
|
Вариант 13 |
ч |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
6000 |
|
9000 |
|
|
|
|
Вариант 14 |
ч |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
6500 |
|
8000 |
|
|
|
|
Вариант 15 |
ч |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
9500 |
|
12000 |
|
|
|
|
Вариант 16 |
ч |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
7500 |
|
10000 |
|
|
|
|
Вариант 17 |
ч |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
4000 |
|
9000 |
|
|
|
|
Вариант 18 |
ч |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
7000 |
1500 |
10000 |
|
|
|
|
Вариант 19 |
ч |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
8900 |
|
12000 |
|
|
|
|
Вариант 20 |
ч |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
2300 |
|
4600 |
|
|
|
|
Вариант 21 |
ч |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
3000 |
|
3500 |
|
|
|
|
36
Продолжение таблицы 8
Вариант 22 |
ч |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
5000 |
|
10000 |
|
|
|
|
Вариант 23 |
ч |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
2000 |
|
5000 |
|
|
|
|
Вариант 24 |
ч |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
2000 |
|
9000 |
|
|
|
|
Вариант 25 |
ч |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
3500 |
|
5000 |
|
|
|
|
Задача 3.3
Время работы изделия до отказа подчиняется закону распределения
Релея. Требуется определить количественные характеристики надежности
изделия ( ), |
( ), |
( ), |
для ч, если параметр распределения |
ч. |
Значения |
и |
, представлены в таблице 9 (по вариантам). |
Выбор |
|
варианта осуществляется по последним цифрам студенческого билета, либо по согласованию с преподавателем.
Таблица 9 - Исходные данные, для решения задачи 3.3
Вариант 1 |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
3000 |
|
|
|
Вариант 2 |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
Вариант 3 |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
2000 |
|
|
|
Вариант 4 |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
4000 |
|
|
|
37
Продолжение таблицы 9
Вариант 5 |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
3000 |
|
|
|
Вариант 6 |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
Вариант 7 |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
2500 |
|
|
|
Вариант 8 |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
3900 |
|
|
|
Вариант 9 |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
4400 |
|
|
|
Вариант 10 |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
Вариант 11 |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
Вариант 12 |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
4500 |
|
|
|
Вариант 13 |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
3500 |
|
|
|
Вариант 14 |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
3000 |
|
|
|
Вариант 15 |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
2000 |
|
|
|
Вариант 16 |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
4500 |
|
|
|
Вариант 17 |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
3800 |
|
|
|
38
Продолжение таблицы 9
Вариант 18 |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
Вариант 19 |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
2000 |
|
|
|
Вариант 20 |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
4600 |
|
|
|
Вариант 21 |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
3500 |
|
|
|
Вариант 22 |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
Вариант 23 |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
5000 |
|
|
|
Вариант 24 |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
4000 |
|
|
|
Вариант 25 |
ч |
, ч |
|
|
|
|
|
5000 |
|
|
|
Задача 3.4
Нерезервированная система состоит из 5 элементов, имеющих различные законы распределения времени работы до отказа. Виды законов распределения и их параметры приведены в таблице
В таблице 10 и в дальнейшем приняты следующие обозначения законов распределения:
W- Вейбулла;
Г- гамма;
R – Рэлея;
Exp – экспоненциальный;
TN – усеченный нормальный;
39
N – нормальный;
U – равномерный.
В скобках указаны параметры распределений.
Определить показатели надежности каждого элемента и всей системы:
вероятность безотказной работы, среднее время безотказной работы,
интенсивность отказа, плотность распределения времени безотказной работы. Решение представить в аналитическом виде, для показателей,
зависящих от времени, получить решение в виде таблиц и графиков.
Таблица 10 - Законы распределения времени до отказа и исходные данные
Вариант 1 |
Номер элемента |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Закон |
W(3; 1500) |
Г(5; 210) |
R(9*10-8) |
Exp |
TN(2600, 75) |
|
распределения |
|
|
|
(0,007) |
|
|
времени до |
|
|
|
|
|
|
отказа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
Номер элемента |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Закон |
W(2; 1800) |
Г(7; 300) |
R(8*10-8) |
Exp |
TN(2000, 90) |
|
распределения |
|
|
|
(0,002) |
|
|
времени до |
|
|
|
|
|
|
отказа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 3 |
Номер элемента |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Закон |
W(1; 1300) |
Г(9; 600) |
R(4*10-8) |
Exp |
TN(4100, 75) |
|
распределения |
|
|
|
(0,035) |
|
|
времени до |
|
|
|
|
|
|
отказа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 4 |
Номер элемента |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Закон |
W(6; 2300) |
Г(3; 500) |
R(6*10-8) |
Exp |
TN(2300, 70) |
|
распределения |
|
|
|
(0,005) |
|
|
времени до |
|
|
|
|
|
|
отказа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40