Законы распределения при расчетах надежности технических систем. Методические указания
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
m=1800*Г(1,5)=1595 час, |
√ ( ) |
( ) |
|
ч (62) |
||
Элемент 2. Гамма-распределение с параметром формы α=7 и |
||||||
параметром масштаба β=300: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
m=7*300=2100 час, |
√ |
(63) |
||||
Элемент 3. Распределение Рэлея с параметром λ=8*10-8:
√ |
|
ч , √ |
|
ч |
(64) |
|
|
Элемент 4. Экспоненциальное распределение с параметром λ=0,0002:
ч |
ч |
(65) |
Элемент 5. Усеченное нормальное распределение с параметрами mo =2000, σo=900:
(66)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ ( |
( |
|
)) |
||
√ ( |
( |
|
)) |
||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Значит,
m=2000+0.0342*900 = 2029 ч |
(67) |
√ |
|
ч |
(68) |
|
21
Полученные значения сведены в таблице 3.
Таблица 3 - Параметры законов распределения времени до отказа
элементов
Номер элемента |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
Среднее время безотказной работы, ч |
1595 |
2100 |
3133 |
5000 |
2029 |
|
|
|
|
|
|
Среднее отклонение времени безотказной работы, ч |
834 |
794 |
1638 |
5000 |
931 |
|
|
|
|
|
|
Для вычисления вероятности безотказной работы и плотности распределения времени до отказа элементов нам потребуются аналитические выражения, которые приведены в таблице 4.
В гамма-распределении функция
( ) |
|
∫ |
(69) |
( ) |
есть неполная гамма-функция.
Таблица 4 - Определение вероятности безотказной работы и плотности отказа, при следующих законах распределения
Распределение |
|
f(t) |
|
|
P(t) |
|
|
|
|
|
|
Экспоненциальное |
|
λe-λt |
|
|
e-λt |
Exp(λ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ ⁄( |
) |
{( |
⁄( |
) |
Равномерное |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
U(a,b),a≥0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
Продолжение таблицы 4
Распределение |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гамма Г(α,β) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Усеченное нормальное |
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
TN(mo,σo) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
√ |
( |
( |
|
|
|
|
)) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
m≥1.33σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рэлея R(λ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вейбулла W(α,β) |
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Нормальное N(m,σ), |
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
m›3σ |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23
Равномерное и нормальное распределения имеют ограничения на параметры для того, чтобы их можно было использовать для решения задач по надежности в неотрицательной временной области (t ≥ 0) .
Вычислим вероятность безотказной работы элементов.
Элемент 1. Распределение Вейбулла:
( ) |
( |
|
) |
( |
|
) |
(70) |
|
|||||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Элемент 2. Гамма – распределение:
( ) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
( |
|
) |
(71) |
||
( |
) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Элемент 3. Распределение Рэлея:
( ) |
(72) |
Элемент 4. Экспоненциальное распределение:
( ) |
(73) |
Элемент 5. Усеченное нормальное распределение:
|
|
|
( |
) |
( |
|
|
|
) |
|
||
( ) |
|
|
∫ |
|
|
|
|
(74) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
√ |
|
|
( |
|
) |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Табулируя эти функции от 0 до 2000 часов с шагом 100 часов, получим таблицу 5.
24
Таблица 5 – Вероятность безотказной работы элементов
t, ч |
P1(t) |
P2(t) |
P3(t) |
P4(t) |
P5(t) |
P6(t) |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
100 |
0.980199 |
1 |
0.995696 |
0.9992 |
0.99698 |
0.972194 |
|
|
|
|
|
|
|
200 |
0.960789 |
0.999994 |
0.990256 |
0.996805 |
0.987730 |
0.936745 |
|
|
|
|
|
|
|
300 |
0.941765 |
0.999917 |
0.983464 |
0.992826 |
0.972604 |
0.894281 |
|
|
|
|
|
|
|
400 |
0.923116 |
0.999532 |
0.975087 |
0.987282 |
0.951817 |
0.845456 |
|
|
|
|
|
|
|
500 |
0.904837 |
0.998321 |
0.964883 |
0.980199 |
0.925741 |
0.790895 |
|
|
|
|
|
|
|
600 |
0.886920 |
0.995466 |
0.952605 |
0.971611 |
0.894839 |
0.731242 |
|
|
|
|
|
|
|
700 |
0.869358 |
0.989932 |
0.938013 |
0.961558 |
0.859646 |
0.667280 |
|
|
|
|
|
|
|
800 |
0.852144 |
0.980612 |
0.920884 |
0.950089 |
0.820755 |
0.600058 |
|
|
|
|
|
|
|
900 |
0.835270 |
0.966491 |
0.901022 |
0.937255 |
0.778801 |
0.530939 |
|
|
|
|
|
|
|
1000 |
0.818731 |
0.946799 |
0.878275 |
0.923116 |
0.734444 |
0.461577 |
|
|
|
|
|
|
|
1100 |
0.802519 |
0.921097 |
0.852542 |
0.907738 |
0.688351 |
0.393774 |
|
|
|
|
|
|
|
1200 |
0.786628 |
0.889326 |
0.823788 |
0.891188 |
0.641180 |
0.329303 |
|
|
|
|
|
|
|
1300 |
0.771052 |
0.851793 |
0.792053 |
0.873541 |
0.593567 |
0.269727 |
|
|
|
|
|
|
|
1400 |
0.755784 |
0.809123 |
0.757456 |
0.854875 |
0.546108 |
0.216247 |
|
|
|
|
|
|
|
1500 |
0.740818 |
0.762184 |
0.720202 |
0.835270 |
0.499352 |
0.169613 |
|
|
|
|
|
|
|
1600 |
0.726149 |
0.712001 |
0.680578 |
0.814810 |
0.453789 |
0.130105 |
|
|
|
|
|
|
|
1700 |
0.711770 |
0.659674 |
0.638951 |
0.793581 |
0.409845 |
0.097577 |
|
|
|
|
|
|
|
1800 |
0.697676 |
0.606303 |
0.595754 |
0.771669 |
0.367879 |
0.071540 |
|
|
|
|
|
|
|
1900 |
0.683861 |
0.552922 |
0.551479 |
0.749162 |
0.328179 |
0.051268 |
|
|
|
|
|
|
|
2000 |
0.670320 |
0.500461 |
0.506654 |
0.726149 |
0.290960 |
0.035911 |
|
|
|
|
|
|
|
В последнюю колонку записаны значения вероятностей безотказной работы системы, которые определяются произведением вероятностей
безотказной работы элементов: |
|
|
|
|
|
|
( ) |
( ) |
( ) |
( ) |
( ) |
( ). |
(75) |
25
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд 3 |
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
100 |
200 |
300 |
400 |
500 |
600 |
700 |
800 |
900 |
1000 |
1100 |
1200 |
1300 |
1400 |
1500 |
1600 |
1700 |
1800 |
1900 |
2000 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Рисунок 6 - |
Вероятность безотказной работы элементов |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 7 - |
Вероятность безотказной работы системы |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
На |
рисунке |
|
6 |
показаны |
|
графики |
функций |
|
( ), |
i=1, |
2, |
3, |
4, 5, |
||||||||||
соответствующих |
|
вероятностям |
безотказной |
работы элементов. |
Номера |
||||||||||||||||||
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
графиков соответствуют номерам элементов. На рисунке 7 |
изображен |
график вероятности безотказной работы системы ( ). |
|
На рисунке 6 показаны графики функций ( ), i=1, |
2, 3, 4, 5, |
соответствующих вероятностям безотказной работы элементов. Номера
графиков соответствуют номерам элементов. |
На рисунке 7 изображен |
график вероятности безотказной работы системы |
( ). |
Из графиков видно различное поведение вероятностей безотказной работы элементов. Скорость убывания вероятностей зависит от вида и параметров закона распределения. В нашем случае медленнее всего убывает
( ) для закона распределения. В нашем случае медленнее всего убывает
( ) для экспоненциального распределения и распределения Рэлея, т.е. при большом времени работы наиболее надежными оказываются третий и
четвертый элемент системы.
Вычислим среднее время безотказной работы системы: |
|
||
∫ ( ) |
∫ |
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . |
(76) |
По формуле Симпсона:
( |
∑ |
( |
( |
) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) |
(77) |
где число точек;
шаг интегрирования, выбираемый из условия обеспечения требуемой точности.
Расчеты показывают, что для данных таблицы 5 Т1=976,3 ч.
На рисунке 8 изображены графики интенсивностей отказов элементов.
Кривая 4, соответствующая экспоненциальному закону, параллельна оси времени, т.к. имеет постоянную интенсивность отказа. Все остальные кривые интенсивностей отказов являются возрастающими функциями времени.
27
0,0045 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,004 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0035 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,003 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0025 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0,002 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0,0015 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,001 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0005 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
500 |
1000 |
1500 |
2000 |
2500 |
3000 |
3500 |
4000 |
4500 |
5000 |
Рисунок 8 - Интенсивности отказов элементов |
|
|
|||
0,012 |
|
|
|
|
|
0,01 |
|
|
|
|
|
0,008 |
|
|
|
|
|
0,006 |
|
|
|
|
|
0,004 |
|
|
|
|
|
0,002 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
1000 |
2000 |
3000 |
4000 |
5000 |
Рисунок 9 - Интенсивность отказа системы
На рисунке 8 показан график интенсивности отказа системы, равной сумме интенсивностей отказов её элементов:
28
( ) |
( ) |
( ) |
( ) |
( ) |
( ) |
(78) |
Интенсивность отказа системы также является возрастающей функцией времени, что говорит о том, что система является стареющей, а закон распределения времени до её отказа не экспоненциальный.
Вычислим плотности распределения вероятностей времени безотказной работы элементов.
Элемент1. Распределение Вейбулла:
( ) |
( |
|
) |
( |
|
) |
(79) |
||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Элемент2. Гамма-распределение:
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
(80) |
||
( ) |
( ) |
||||||||
|
|
|
|
||||||
Элемент 3. Распределение Рэлея:
( ) |
(81) |
Элемент 4. Экспоненциальное распределение:
( ) |
(82) |
Элемент 5.Усеченное нормальное распределение:
( ) |
( ) |
|
|
|
|
( |
) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(83) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
√ ( |
( |
|
)) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
29
Табулируя плотности распределения от 0 до 2000 часов с шагом 100
часов, получим таблице 6.
Таблица 6 - Плотности распределения времени безотказной работы
элементов
t |
f1(t) |
f2(t) |
f3(t) |
f4(t) |
f5(t) |
|
|
|
|
|
|
0 |
0,0002 |
0 |
0,000038 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
100 |
0,000196 |
0 |
0,000048 |
0,000016 |
0,000062 |
|
|
|
|
|
|
200 |
0,000192 |
0 |
0,000061 |
0,000032 |
0,000122 |
|
|
|
|
|
|
300 |
0,000188 |
0,000002 |
0,000075 |
0,000048 |
0,000180 |
|
|
|
|
|
|
400 |
0,000185 |
0,000007 |
0,000092 |
0,000063 |
0,000235 |
|
|
|
|
|
|
500 |
0,000181 |
0,000019 |
0,000112 |
0,000078 |
0,000286 |
|
|
|
|
|
|
600 |
0,000177 |
0,00004 |
0,000134 |
0,000093 |
0,000331 |
|
|
|
|
|
|
700 |
0,000174 |
0,000072 |
0,000158 |
0,000108 |
0,000341 |
|
|
|
|
|
|
800 |
0,000170 |
0,000116 |
0,000185 |
0,000122 |
0,000405 |
|
|
|
|
|
|
900 |
0,000167 |
0,000168 |
0,000213 |
0,000135 |
0,000433 |
|
|
|
|
|
|
1000 |
0,000164 |
0,000227 |
0,000242 |
0,000148 |
0,000453 |
|
|
|
|
|
|
1100 |
0,000161 |
0,000288 |
0,000272 |
0,000160 |
0,000467 |
|
|
|
|
|
|
1200 |
0,000157 |
0,000347 |
0,000303 |
0,000171 |
0,000475 |
|
|
|
|
|
|
1300 |
0,000154 |
0,000402 |
0,000332 |
0,000182 |
0,000476 |
|
|
|
|
|
|
1400 |
0,000151 |
0,000450 |
0,000360 |
0,000190 |
0,000472 |
|
|
|
|
|
|
1500 |
0,000148 |
0,000487 |
0,000385 |
0,000200 |
0,000462 |
|
|
|
|
|
|
1600 |
0,000145 |
0,000514 |
0,000407 |
0,000209 |
0,000448 |
|
|
|
|
|
|
1700 |
0,000142 |
0,000530 |
0,000425 |
0,000216 |
0,000430 |
|
|
|
|
|
|
1800 |
0,000140 |
0,000535 |
0,000438 |
0,000222 |
0,000490 |
|
|
|
|
|
|
1900 |
0,000137 |
0,000531 |
0,000446 |
0,000228 |
0,000385 |
|
|
|
|
|
|
2000 |
0,000134 |
0,000517 |
0,000449 |
0,000232 |
0,000359 |
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|