Законы распределения при расчетах надежности технических систем. Методические указания
.pdfИнтенсивность отказов определяется по формуле |
|
|
|||||
|
( ) |
|
, |
|
|
(23) |
|
|
|
( ) |
( )⁄ |
( ). |
|
|
(24) |
Параметр |
определяет |
масштаб, |
при |
его |
изменении |
кривая |
|
распределения |
сжимается или |
растягивается. |
При |
= 1 |
функция |
||
распределения Вейбулла совпадает с экспоненциальным распределением;
при |
< 1 интенсивность отказов будет монотонно убывающей функцией; |
при |
> 1 — монотонно возрастающей. Это обстоятельство дает |
возможность подбирать для опытных данных наиболее подходящие параметры и , с тем чтобы уравнение функции распределения наилучшим образом совпадало с опытными данными.
Распределение Вейбулла основных количественных характеристик
надежности представлены на рисунке 4.
Этот закон применим для отказов устройства, состоящего из последовательно соединенных дублированных элементов и других подобных
случаев.
Средняя наработка до отказа определяется из следующего выражения
|
( |
|
|
) |
, |
(25) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
где - значения гамма-функции, представлены в приложение Г
таблица Г.1.
11
Рисунок 4 – Распределение Вейбулла основных количественных характеристик надежности
1.5 Распределение Рэлея
Распределение Рэлея основных количественных характеристик
надежности представлены на рисунке 5.
Также как распределение Вейбулла или γ-распределение,
распределение Рэлея пригодно для описания поведения изнашивающихся
или стареющих изделий.
Частота отказов (функция плотности распределения вероятности
отказов) определяется
f (t) t |
2 exp( t 2 |
2 2 ) |
(26) |
|
|
. |
Вероятность безотказной работы вычисляется из выражения:
P(t) exp( t 2 |
2 2 ) |
, |
(27) |
|
|
Вероятность отказов определяется как
( ) |
( |
( |
), |
(28) |
Интенсивность отказов определяется как
12
(t) t |
2 |
|
(29) |
Средняя наработка до отказа составит
|
√ |
|
. |
(30) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 5 - Распределение Рэлея основных количественных характеристик надежности
2 Примеры решения задач
Задача 2.1
Пусть время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному
закону распределения 1/ч.
Требуется вычислить количественные характеристики надежности элемента: вероятность отказа, вероятность безотказной работы, плотность
распределения отказов и среднее время безотказной работы для ч.
Решение:
13
Вычислим вероятность безотказной работы, использую данные
таблицы А.1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
( |
) |
( |
|
) |
( |
) |
(31) |
|
Вычислим вероятность отказа ( |
). Имеем |
|
|
|||||
|
|
|
|
( |
) |
( |
) |
. |
(32) |
Вычислим плотность распределения отказов
|
( ) |
( ) |
( ) |
( |
), |
(33) |
( |
) |
|
( |
) |
1/ч. |
(34) |
Вычислим среднее время безотказной работы
ч (35)
Задача 2.2
Время работы элемента до отказа подчинено нормальному закону с
параметрами |
ч, |
ч. |
Требуется вычислить |
количественные характеристики надежности |
( ), |
( ), ( ) для |
|
ч. |
|
|
|
Решение:
Вычислим вероятность безотказной работы
( ) |
( ); |
(36) |
14
(37)
Значения функции Лапласа приведены в в приложении Б таблица Б.1.
|
( ) |
; |
|
(38) |
( |
) |
|
. |
(39) |
Определим частоту отказов
( ) |
|
|
|
[ |
( |
|
|
|
|
|
) ⁄ |
], |
(40) |
||||||
√ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Введем обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
⁄ |
). |
|
|
|
(41) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
√ |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(42) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч-1. (43) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Значения функции ( |
), приведены в приложении В таблица В.1. |
||||||||||||||||||
Рассчитаем интенсивность отказов |
( ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
( ) |
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
. |
(44) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
( |
) |
|||||||||
15
( |
) |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
ч-1. (45) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
( ) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 2.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Время работы изделия до отказа подчиняется закону распределения |
||||||||||
Релея. Требуется определить количественные характеристики надежности
изделия |
( ), ( ), ( ), |
для |
ч, если параметр распределения |
= |
ч. |
|
|
Решение:
Вероятность безотказной работы
|
|
|
( ) |
( ⁄ |
) |
|
(46) |
( |
) |
( |
⁄ |
) |
( |
) |
(47) |
Определим частоту отказов
|
f (t) t |
2 exp( t 2 |
2 2 ) |
(48) |
|
|
|
. |
|
( |
) |
⁄ |
|
⁄ч . (49) |
Рассчитаем интенсивность отказов
|
|
(t) t |
2 |
(50) |
|
|
|
|
|
( |
) |
⁄ |
⁄ч. |
(51) |
Определим среднее время безотказной работы изделия
16
√ =1000√ ч. (52)
Задача 2.4 |
|
|
|
|
Время безотказной работы изделия подчиняется закону |
Вейбулла с |
|||
параметрами |
1,5; |
ч-1, время работы изделия |
100 |
ч. Требуется |
определить количественные характеристики надежности изделия |
( ), ( ), |
|||
( ), . |
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
Определим вероятность безотказной работы |
( ) |
|
||
|
( ) |
( |
) |
(53) |
( |
) |
( |
) |
(54) |
Определим частоту отказов ( )
|
( ) |
( ), |
|
(55) |
( |
) |
|
ч-1 |
(56) |
Определим интенсивность отказов ( )
|
( ) |
( )⁄ ( ). |
(57) |
( |
) |
ч-1. |
(58) |
Определим среднее время безотказной работы изделия
17
|
( |
|
|
) |
|
|
( |
|
|
) |
( |
) |
|
ч. (59) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Задача 2.5 Нерезервированная система состоит из 5 элементов,
имеющих различные законы распределения времени работы до отказа. Виды законов распределения и их параметры приведены в таблице
Таблица 1 - Законы распределения времени до отказа и исходные
данные
Номер элемента |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
Закон |
W(2; 1800) |
Г(7; 300) |
R(8*10-8) |
Exp (0,002) |
TN(2000, 90) |
распределения |
|
|
|
|
|
времени до отказа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В таблице 1 и в дальнейшем приняты следующие обозначения законов распределения:
W- Вейбулла;
Г- гамма;
R – Рэлея;
Exp – экспоненциальный;
TN – усеченный нормальный;
N – нормальный;
U – равномерный.
В скобках указаны параметры распределений.
Определить показатели надежности каждого элемента и всей системы:
вероятность безотказной работы, среднее время безотказной работы,
интенсивность отказа, плотность распределения времени безотказной работы. Для показателей, зависящих от времени, получить решение в виде таблиц и графиков.
18
Решение:
В таблице заданы параметры законов распределения времени до отказа. Вычислим начальные моменты распределений: математические ожидания и средние квадратические отклонения. Для этого воспользуемся формулами связи моментов с параметрами распределений, которые приведены в таблице 2.
Таблица 2 - Связь параметров распределений с первыми двумя
моментами
Распределение |
|
m |
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Экспоненциальное Exp(λ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Равномерное U(a,b),a≥0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Гамма Г(α,β) |
|
αβ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Усеченное нормальное |
mo+kσo |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||
TN(mo,σo) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19
Продолжение таблицы 2
Распределение |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рэлея R(λ) |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вейбулла W(α,β) |
( |
|
|
⁄ |
) |
√ |
( |
|
|
|
|
) |
( |
|
) |
||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Нормальное N(m,σ) m≥3σ |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В таблице введены следующие обозначения:
( ) |
|
|
|
∫ |
|
– функция Лапласа; |
(60) |
|
|
|
|
||||
|
√ |
|
|
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
( ) |
|
∫ |
|
- гамма-функция. |
(61) |
|
Для вычисления значений этих функций обратимся к системе Microsoft Excel.
Определим математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение времени до отказа элементов.
Элемент 1. Распределение Вейбулла с параметром формы α=2 и
параметром масштаба β=1800:
20