Высшая математика. Том 2. Начало математического анализа. Дифференциальное исчисление функций одной переменной и его приложения. Учебник

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

такой точки, где производная равна нулю:

f (x) 1, если

0 x 1, а при х = 0 производной

(x) 1, если

(x), как уже отмечалось,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

		Окончание таблицы

№	Вопрос	Варианты ответа
п/п	Вопрос	Варианты ответа
п/п

Какое равенство определяет

производ-

ную функции y(x) в случае ее парамет-

рического задания в виде

x x(t)

y y(t)?

В какой точке

касательная

к кривой

1. x = 3

y x 3 2

параллельна

оси абс-

2. x = –3

цисс?

3. x = –1

4. x = 2

Закон прямолинейного движения точки

задан функцией y(t) = 4t2 + 2t – 5. Чему

равна скорость точки при t = 3?

Если y 23x2 1 , то yx равна

1.23x2 1 ln 2 3 2x

2. 3x2 123x2

3. 3x2 123x2 ln 2

23x2 1

ln 2

Формула

для

производной

сложной

1. f u

f u

функции f u x имеет вид

f u

f u u

Уравнение

касательной к

графику

1. y0 f x0 x x0

функции y=f (x) в точке M0(x0,y0) име-

y y0

f x0 x x0

ет вид

y y0

f x x x0

В п.1-3 правильного

ответа нет

Глава 6. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

6.1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ

6.1.1. Теорема Ферма

Теорема. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b], а в некоторой внутренней его точке x = c, c (a, b), достигает наибольшего (или наименьшего) значения. Если в этой точке существует конечная первая производная, то

она равна нулю, т.е. f (c) = 0.
Доказательство. Допустим для определенности, что в точке c функция
f(x) достигает наибольшего значения, т.е. f(c) f(x)	для любого x (a, b).
Придадим значению с достаточно малое приращение	x. Тогда f(c + x) f(c).

Отсюда при х < 0

f c x

и, так как

f (c) существует, то

lim

f c 0.

(6.1)

x 0 x

При x >0 имеем

0, и, следовательно,

Рис.6.1

lim

(6.2)

f c 0.

x 0 x

Из одновременного выполнения неравенств (6.1) и (6.2) следует, что

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что касательная к графи-

ку функции y = f(x) в точке х = с параллельна оси абсцисс (рис.6.1).

В теореме Ферма существенно, что с – внутренняя точка.

Например,

функция f(x) = sinx на отрезке 0; π/2] достигает в граничной (не внутренней) точке с = 0 наименьшего значения, но ее производная в этой точке равна еди-

нице (cos0 = 1).

6.1.2. Теорема о корнях производной (теорема Ролля)

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке a,b , дифференци-

руема в интервале (a, b) и принимает	на его концах равные значения
f (a) f (b), то внутри интервала (a, b)	существует такая точка c, что
f (c) 0.
62

О a	с	b х	–1	0	1	х
	Рис.6.2			Рис.6.3

Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке то она принимает на нем наибольшее (M) и наименьшее (m) значения по свойству функции, непрерывной на замкнутом промежутке. Тогда возможны только

два случая.	f x const		для всех x a,b .
1. M = n, тогда f(x) постоянна на a,b , т.е.
Поэтому в любой точке интервала a,b имеем		x 0.
	f

2. M > m. Так как f а f (b) , то хоть одно из значений М или т дости-

гается в некоторой точке c a,b . Следовательно, справедлива теорема Фер-

ма: f с 0 . Теорема доказана.

Геометрически теорема Ролля означает следующее: если граничные ординаты кривой у = f(x) равны, то на кривой найдется такая точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс (рис.6.2). Если требование дифференцируемости нарушается хотя бы в одной точке интервала a,b , то производ-

ная функции не обращается в нуль. Например, для функции f (x) x на от-

резке 1;1 (рис.6.3) выполнены все условия теоремы Ролля, кроме сущест-

вования производной в точке х = 0. Действительно, в интервале 1;1 нет

не существует.

6.1.3.Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши)

Теорема. Пусть функции f (x)		и φ(x) непрерывны на отрезке			a,b ,
дифференцируемы в интервале a,b
		и x 0 для x a,b . Тогда найдет-
ся такая точка c a,b , для которой справедлива формула
	f(b) f	(a)
			f (c)	.	(6.3)
	(b) (a)
			(c)
Доказательство. Отметим, что b a , так как в противном случае
		равнялась бы нулю внутри отрезка, что
по теореме Ролля производная x
					63

противоречит условию теоремы. Введем вспомогательную функцию, удовлетворяющую всем условиям теоремы Ролля, равенством вида F(x) f (x) Rφ(x), где R некоторое постоянное число, подлежащее определению. Тогда функция F(x) как линейная комбинация функций f (x) и

φ(x) будет непрерывна на a,b и дифференцируема в a,b . Подберем те-

перь R так, чтобы F(a) F(b): f(a) R (a) f (b) R (b). Отсюда получим

f (b) f (a)

(6.4)

(b) (a)

При таком выборе R функция F(x) f (x) R (x)

удовлетворяет всем усло-

виям теоремы

Ролля, поэтому имеется

такая точка c a,b , в

которой

Тогда при x c

имеем

F (c) 0.

Найдем F (x):F (x) f

(x) R (x).

f c

R . Используя формулу (6.4), получим

или c

F (c) f

f (b) f (a)

f (c)

(c)

(b) (a)

Теорема доказана.

Формулу (6.3) обычно называют формулой Коши (обобщенной формулой конечных приращений).

6.1.4. Формула конечных приращений (формула Лагранжа)

Формула конечных приращений (формула Лагранжа) является важным частным случаем формулы Коши. Для ее вывода полагаем в (6.3) φ(x) x. Тогда φ(a) a, φ(b) b, x 1 и формула (6.3) примет вид

	f (b) f (a)	f		(6.5)

	b a		(c)

или
f (b) f (a) f				(6.6)
		(c)(b a),

где a c b.

Формула (6.6) называется формулой конечных приращений, или форму-

лой Лагранжа. В соответствии с этой формулой приращение функции на отрезке равно приращению аргумента, умноженному на значение производной функции в некоторой внутренней точке этого интервала. Функция f x , входящая в формулу (6.6), должна быть в соответствии с теоремой Коши непрерывна на a,b и дифференцируема в a,b .

Формулу (6.6) можно записать в другой форме. Значения а и b обозначим x и x x соответственно. Тогда получим

c a

c x

b a

где θ – некоторое число, удовлетворяющее усло-

вию 0 < θ < 1. Отсюда c = x + θΔx,

и формула

(6.6) в новых обозначениях примет вид

0 1.

f (x x) f (x) f (x x) x,

b х

Геометрический смысл формулы Лагранжа

Рис.6.4

представлен рис.6.4. Пусть A(a, f (a)),

B(b, f (b))–

точки графика функции

y f x ; AB – хорда, соединяющая точки

A и B.

Тогда отношение

f (b) f (a)

tg , где β – угол наклона хорды АВ к

b a

оси Ох. Так как значение производной функции f x в точке с равно танген-

су угла наклона касательной	к	графику этой функции в точке
M(c, f (c)): f (c) tg , то формула		(6.5) может быть записана в виде:
tg tg .	f x	непрерывна на a,b и дифференци-
Таким образом, если функция

руема в a,b , то между точками a и b имеется по крайней мере одна точка c, в которой касательная к графику данной функции параллельна хорде AB.

Пример 6.1. Выписать формулу Лагранжа для функции f x arctg	1	x
		x
1

на отрезке [0;1] и найти значение с.

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции найдем производную:

1 x

(1 x)2

(x)

1 x

1 2x x2

1 x

1 2x x2

1 x

(1 x) (1 x)

(1 x)2

2(1 x2) (1 x)2

1 x2

Откуда

Далее вычислим

f a f 0 arctg1

;

f b f 1 arctg0 0;

b a 1 0 1.

Окончательно формула конечных приращений (6.6) примет вид

0	π	1	или			1		π	.
0		1 c2	или						.
4		1 c2			1 c2		4
Отсюда получим
		c	4 π	.
		c		.
			π

В теоремах Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши речь идет о существовании некоторой «средней» точки c a,b , в которой выполняется то или иное равенство. Поэтому рассмотренную группу теорем можно объединить названи-

ем теоремы о средних значениях.

6.1.5. Формула Тейлора

Пусть функция y = f(x) определена на некотором промежутке, содержащем точку х = а. Предположим, что в этом промежутке она имеет все производные до (n + 1)-го порядка включительно. Поставим задачу найти алгебраический многочлен, степень которого не превышает n, достаточно точно описывающий функцию f(x) в окрестности точки a. Искомый многочлен Pn x обладает следующими свойствами:

1)значение многочлена в точке a равно значению данной функции в этой точке;

2)значения всех производных многочлена до n-го порядка включительно в точке a равняются значениям соответствующих производных от функции f(x) в этой точке.

Таким образом, можно записать

Pn (a) f (a);

(a);

(n)

(a) f

(n)

(a).

(6.7)

Pn (a)

(a);...;Pn

Будем искать алгебраический многочлен Pn(x)

по степеням x a с не-

определенными коэффициентами:

P (x) C

C (x a) C

(x a)2 C

(x a)3

... C

(x a)n.

(6.8)

Неопределенные коэффициенты C0,C1,...,Cn должны быть такими, чтобы выполнялись условия (6.7). Сначала найдем производные от многочлена

Pn(x):

P (x) C 2C

(x a) 3C

(x a)2

... nC

(x a)n 1

;

n 2

3 2 C3(x a) n(n 1)Cn (x a)

(x) 2 1 C2

;

(6.9)

(n)

(x) n(n 1)(n 2) 2 1 Cn.

Подставим в левые и правые части равенств (6.8) и (6.9) вместо x значение a и используем условия (6.7). При этом получим

f (a) C0;

C1;

(a)

(a) 2 1 C2;

...; f

(n)

(a) n(n 1) ... 2 1 Cn.

(a) 3 2 1 C3;

Отсюда

C0 f a ;

1 2

C1 f a ;

a ;

a .

1 2 3

a ; ;Cn

1 2 ... n

Используя обозначение

n! 1 2 ... n

0! 1 и подставляя найденные

значения C0,C1,...,Cn в формулу (6.8), получим искомый многочлен, который называется многочленом Тейлора для функции f (x):

P x f a	f' a	x a	f a	x a 2	...	f n a	x a n.

n	1!	2!				n!

Обозначим Rn(x) – разность значений данной функции и ее многочлена Тей-

лора (рис.6.5): Rn (x) f (x) Pn(x). Тогда						f (x) Pn (x) Rn (x) или в раз-
вернутом виде:
f (x) f (a)	f (a)	(x a)	f (a)	(x a)2	...		f (n) (a)	(x a)n	Rn (x). (6.10)
			2!
1!							n!

Слагаемое Rn x в формуле (6.10) на-

зывается остаточным членом. Формула у

(6.10) дает возможность заменить функцию f (x) многочленом Pn x с соответствующей степенью точности, определяемой значением остаточного члена Rn x .

О a

Для оценки величины Rn x запишем остаточный член в форме

Rn (x) (x a)n 1 Q(x), (n 1)!

y=f(х)

y=Pn(х)

f(х)

Pn(х)

t х х

Рис.6.5

(6.11)

где Q(x) некоторая неизвестная функция. В соответствии с этим обозна-

чением перепишем формулу (6.10):


f(x) f(a)	f (a)	(x a)	f	(a)	(x a)2 .
				2!
1!

f(n)(a)	(x a)n	(x a)n 1	Q(x).	(6.12)
n!	(x a)n	(n 1)!	Q(x).	(6.12)
n!		(n 1)!
				67

При фиксированном x (напомним, что a – заданное число) функция Q(x) имеет определенное значение, которое обозначим q.

Введем вспомогательную функцию от аргумента t, причем t заключено между a и x (рис.6.5):

(t)

F(t) f (x) f (t)

(x t)

...

f (n)

(t)

n 1

(x t)

(6.13)

(n 1)!

где значение q определяется из соотношения (6.12) при фиксированном x и заданном a.

Покажем, что функция F(t) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля на отрезке [а, х], а именно: эта функция непрерывна на отрезке [а, х] и дифференцируема в интервале (а, х), так как является линейной комбинацией функций, обладающих указанными свойствами, и на основе формулы (6.12) F x F a 0. Поэтому к функции F(t) применима теорема Ролля. Найдем

F t , пользуясь формулой (6.13):

(t)

(x t)

(t)

(x t)

F (t) f

(t) f

f (t)

(x t)2

f (n)(t)

(x t)n 1

nf (n)(t)

(x t)n 1

(n 1)!

f (n 1)(t)

(x t)n

(n 1)q

(x t)n.

(n 1)!

Или после сокращения

f (n 1)(t)

F (t)

(x t)

На основе теоремы Ролля существует точка t

= c (a, x), в которой

F (c) 0.

В этой точке получим

f (n 1)(c)

(x c)n

(x c)n 0.

откуда q = f(n + 1)(c). Подставляя найденное значениеq в формулу (6.11), имеем

Rn (x)	f (n 1) (c)	(x a)n 1.	(6.14)

	(n 1)!

Полученное выражение и определяет остаточный член в форме Ла-

гранжа.

Окончательно формула (6.11) примет теперь вид

f (x) P (x) R (x) f (a)

(a)

(x a)

(a)

(x a)2

f (n) (a)

(x a)n

f (n 1)(c)

(x a)n 1.

(6.15)

(n 1)!

Последнее выражение называется формулой Тейлора для функции f(x) с

остаточным членом в форме Лагранжа.

В частности,

при n = 0 формула

(6.15)

примет

вид f(x) =

f (a) f (c)(x a), т.е. формулы Лагранжа.

При n = 1 имеем

f (x) f (a)

f (a)

(x a)

f (c)

(x a)2 .

(6.16)

Отбросив в последнем выражении остаточный член, имеем

f (a x) f (a) f (a) х,	x x a,
или
f a df a .

Таким образом, получим известное приближенное представление приращения функции в данной точке x = a ее дифференциалом в этой точке.

Рассмотрим предел отношения остаточного члена в форме Лагранжа

(6.14) к разности (x a)n				при x a :
lim	Rn (x)	lim	f (n 1)(c)(x a)n 1			1		lim	f n 1 c (x a) 0.
lim		lim						lim	f n 1 c (x a) 0.
x a (x a)n		x a	(n 1)!(x a)n			(n 1)!x a
Итак,					Rn x
				lim	Rn x		0,		(6.17)
				lim			0,		(6.17)
				x a x a n
что означает
				R (x) o((x a)n),					(6.18)
				n

где «о-малое» o((x a)n) – величина более высокого порядка малости, чем

(x a)n . В указанной форме остаточный член	R x был представлен
Дж. Пеано, и формула (6.15) примет вид	n
Дж. Пеано, и формула (6.15) примет вид
	69

f (x) f (a)	f (a)	(x a)		f (a)	(x a)2
	1!			2!

	f (n)(a)		(x a)n o((x a)n ).			(6.19)

	n!

Формула (6.19) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

6.1.6.Примеры разложения функций по формуле Маклорена

Вразделе 6.1.5 показано, что достаточно гладкие функции с помощью формулы Тейлора можно приближенно, с определенной степенью точности заменить алгебраическим многочленом. Ошибка такой замены определяется величиной остаточного члена формулы Тейлора (6.14). Так как точка с, как

правило, неизвестна, то величину Rn x нельзя вычислить. В этом случае не-

обходимо оценить значение модуля Rn x , т.е. найти абсолютную погреш-

ность приближенного равенства f x Pn x .

Рассмотрим примеры разложения некоторых функций по формуле Тейлора при а = 0:

f (x) f (0)

(0)

x2 ...

(n)

(0)

(n 1)

(c)

xn 1, (6.20)

(n 1)!

где точка с 0,x . Этот частный случай формулы Тейлора называется фор-

мулой Маклорена.

Построим формулу Маклорена для следующих функций. 1. f(x) = ех. Вычислим значения производных:

f ' x f '' x ... f n x ex

при x = 0

f (0) f

(n)

(0) e

(0) f

(0) ... f

Таким образом, получим

ex 1

(6.21)

Ошибка приближенного равенства (6.21) определяется оценкой остаточного члена вида

В частности, если функция f(x) = ех задана на отрезке [–1; 1] то получим сле-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]