Высшая математика. Том 2. Начало математического анализа. Дифференциальное исчисление функций одной переменной и его приложения. Учебник

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

0) также непрерывны в точке

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

artgx

artgx y

lim

x 0

x tg y

y 0 tg y

arcsinx

arcsinx y

lim

x 0

x sin y

y 0 sin y

4.18. ВТОРОЙ КЛАССИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ

	Теорема. Функция				1 x	при x имеет своим пределом число e,
				1
				1
					x
т.е.		1 x
	lim 1		е.
	lim 1		е.
	x	x
	Доказательство. Ранее было доказано, что							1	n
							lim 1			е.
							lim 1	n		е.
							n	n

Пусть х → 0, принимая как нецелые, так и отрицательные значения.

1. Рассмотрим случай, когда х → +∞. Каждое значение переменной x заключено между двумя положительными целыми числами: n x n 1. Переходя к обратным величинам, получим

n 1

При этом будут выполняться неравенства

1 n 1

1 x

1 n

;

n 1

Заметим, что если x , то и n .

Найдем

пределы переменных,

между

которыми заключена функция

1 x

1 n 1

1 n

lim 1

lim

lim 1

е 1 е;

n n

lim 1

					1		n 1
1 n		1
				n		1
	lim
					1
n 1	n		1

n 1

	1		n 1
lim 1					е
	n 1
n						е.
	1
				1
lim 1
		n 1
n

* Здесь и далее вфигурных скобках даны необходимые пояснения.

По теореме 2 раздела 4.14 имеем

	1	x
lim 1			е.

x	x

2. Рассмотрим случай

x . Введем новую переменную t x 1

или x t 1 . При t

x . Имеем

1 t 1

t 1

lim 1

lim

t t 1

t 1 t 1

1 t

lim

е 1 е.

t t

Объединяя оба случая, окончательно получим

1 x

lim 1

е.

Замечание. Если в равенстве

1 x

положить

α, то при

lim

x имеем α 0

(α 0) и, следовательно,

lim 1 α 1/α

е.

α 0

Пример 4.7. Найти lim

2x 1 3x

2x 5

Решение. Заметим, что

2x 1

lim

x 2x 5

Следовательно,

предел

2x 1 3x

представляет

неопределенность

lim

x 2x 5

вида 1 . Для того, чтобы применить второй классический предел, необходимо в основании выделить единицу:

2x 1

2x 5

lim

lim 1

2x 5

так как

	lim				6 3x			lim				18x							lim							18				9.
	lim							lim								5			lim									5		9.
	x 2x 5								x							5					x				2			5
											x		2
																													x

																x
											3
Пример 4.8. Найти lim cosx											2x2			.
						x 0
Решение. Имеем неопределенность вида 1 . Тогда
3																				2															x	3
3																				2														2		2x	2
		2																					2											2		2x	2
lim cos x 2x			1 lim1								cos x					1					2x			lim 1 2sin
lim cos x 2x			1 lim1								cos x					1					2x			lim 1 2sin
x 0							x 0																			x 0									2
																						2sin			2 x		3
																1						2sin				2	3
																										2
											x													x	2						3
																									2

										2					2sin		2	x
																		x
																															4
																															4
		lim				1 2sin											2												e			,
			x 0								2
											2


так как
							2	x																2	x
				2sin					3		0									sin								3				3
	lim			2sin				2	3		0			lim						sin					2			3				3	.
	lim					2x2					0			lim										2				4				4	.
	x 0					2x2					0						x 0 x							2				4				4


																					2

Определение. Логарифмы, основанием которых является число e , называются натуральными и обозначаются символом lnx: ln x loge x.

Логарифмируя по основанию 10 тождество x eln x получим
			lgx lnx M ,	(4.10)
где M lge		1	0,434294...
где M lge			0,434294...
	ln10
Равенство		(4.10) можно переписать в виде: ln x lgx M1 , где		M1

модуль перехода от десятичных логарифмов к натуральным логарифмам,

M1 1 2,302585...

4.19.ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

1.limln(1 x) 1.

x 0 x

Доказательство.

	ln(1 x)	1		1
lim		limln(1 x)	x	ln(lim(1 x)	x	) lne 1.

x 0 x		x 0		x 0

Замечание. Возможность перестановки знака функции и знака предела будет обоснована в дальнейшем.

2. lim ax 1 lna.

x 0 x

Доказательство. Заметим, что при x 0 ax 1. Следовательно, раз-

ность ax 1 есть бесконечно малая функция при x 0, т.е. ax 1 α x , где

α x 0 при x 0. Отсюда

ax 1 α x .

(4.11)

Логарифмируя полученное равенство, получим

xlna ln 1 (х)

или x

ln 1 (х)

(4.12)

lna

С учетом (4.11) и (4.12) искомый предел запишем в виде

x lna

lna lim

lna.

lim

x 0 x

x 0 ln 1 (х)

(1 x)m

где m const.

lim

x 0

Доказательство. Аналогично п.2 имеем

(1 x)m 1 α x ,

(4.13)

где α x 0

при x 0.

Отсюда

(1 x)m 1 α x и, логарифмируя обе части равенства, получим

mln(1 x) ln 1 (х)

или

mln(1 x)

(4.14)

ln 1 (х)

С учетом (4.13) и (4.14) искомый предел можно записать в виде

lim

(1 x)m 1

lim

mln(1 x)

lim

ln(1 x)

m m.

ln 1 (х)

x 0

При доказательстве второго и третьего вспомогательных пределов использован первый вспомогательный предел.

Используя вспомогательные пределы, найдем следующие пределы:

2x 1 1 2

15 2x 1 1

lim

lim2

x 0

ex e x

e2x 1

e2x 1 x

lne 1 2 2 .

lim

sinx

sin x

x 0

x 0 ex sin x

x 0 2x

4.20. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть функции x и x при x x0 ( или при x , x и x ) являются бесконечно малыми функциями. Для сравнения быстроты стремления к нулю бесконечно малых (относительно друг друга ) рассмотрим предел их отношения.


	lim	x		K.

	x x0	x
Если K 0, то говорят, что α x			– бесконечно малая высшего порядка
по сравнению с β x . Если	K const		и K 0,		то α x и β x называются

бесконечно малыми функциями одного порядка. Если K 1, то α x и β x называются эквивалентными бесконечно малыми функциями. Этот факт коротко записывают в виде α x ~β x .

Замечание. Для бесконечно больших функций имеют место аналогичные правила сравнения. Так, например, если предел отношения двух бесконечно больших функций равен нулю, то бесконечно большая функция, стоящая в числителе, более низкого порядка по сравнению с бесконечно большой, стоящей в знаменателе.

На основании ранее установленных пределов можно выписать следующую таблицу эквивалентных бесконечно малых функций:

sin (x)~ (x);	a (x) 1~ (x)lna;
tg (x) ~ (x);	e (x) 1~ (x);
arcsin (x)~ (x);	ln 1 (x) ~ (x);
arctg (x) ~ (x);	(1 (x))m 1~ (x)m (m const ).
Рассмотрим некоторые теоремы об эквивалентных бесконечно малых
функциях.	α x ~ α1 x , β x ~β1 x при x x0 и существует
Теорема 1. Если	α x ~ α1 x , β x ~β1 x при x x0 и существует
предел отношения эквивалентных бесконечно малых функций α1 x		и β1 x

при x x0 , то существует предел отношения исходных бесконечно малых функций при x x0 , причем

lim	x	lim	1 x	.

x x0 x		x x0	x
			1

Доказательство. Составим тождество

α x α x β1 x α1 x . β x α1 x β x β1 x

Переходя к пределу при x x0 , получим

lim

α x

lim

α x

lim

β1 x

lim

α1 x

lim

α1

x x0 β x

x x0 α

x x0 β x

Итак,

α x

α1 x

lim

x x0 β x

x x0 β1 x

Пример 4.9. Найти lim

1 cosx

Решение. Имеем

x 0

1 cosx 0

2sin2

sin x ~ x

2 x

lim

x 0

sin

x 0 x2

Итак,

1 cosx

1 cosx ~

lim

или

lim

x 0 x2

x 0

1 3x

Пример 4.10. Найти lim

Решение. Имеем

x 0 arcsin2x

( 3x)

1 3x 1

lim

1 3x 1~

( 3x)

lim

x 0

arcsin2x

~ 2x

x 0

Теорема 2. Если α x ~β x при

x x0 , то их разность при x x0 есть

бесконечно малая функция высшего порядка по сравнению с α x и β x .

Доказательство.

α x β x

Составим дробь

Переходя к пределу,

α x

получим

α x β x

β x

lim

1 lim

1 1 0.

x x0

α x

x x0

α x

x x0

α x

Обратная теорема (доказывается аналогично). Если разность двух бесконечно малых функций есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с каждой из них, то рассматриваемые бесконечно малые функции эквивалентны.

Замечание. Пусть α x и β x при x x0 бесконечно малые функции,

причем α x ~β x . Рассмотрим очевидное тождество (х) = (х) + ( (х) –

– (х)). Разность α x β x есть бесконечно малая функция высшего порядка по сравнению с β x по теореме 2. Поэтому с точностью до бесконечно малой высшего порядка имеем

x x .			(4.15).
	α x β x
Относительная погрешность равенства (4.15)		в силу теоремы 2
	α x

стремится к нулю.
4.21. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Пусть функция f (x) определена в окрестности точки			x x0 , так что в

точке x0 функция имеет определенное значение f (x0 ).

Определение 1. Функция f (x) называется непрерывной в точке х = х0

(при x x0 ), если предел функции и ее значение в точке х = х0 равны, т.е.

			lim f x f x0 .					(4.16)
			x x0
Замечание 1. На «языке последовательностей» непрерывность функции
f (x) в точке x x0	можно сформулировать так: функция						f (x) называется
непрерывной в точке		x x0	(при x x0 ), если для любой сходящейся к x0
последовательности	xn		значений аргумента		x x0 ,		соответствующая
последовательность f xn значений функции сходится к							f x0 .
Замечание 2. На графике функции				f (x) равенство (4.16) означает, что
при стремлении x	к	x0 ,	ордината	f (x) стремится к			ординате	f (x0 ).
Следовательно, условие непрерывности функции						f (x)	в точке	x x0
означает, что ее график «непрерывен»				при всех	x,	достаточно близких к
данной точке.

Замечание 3. Основные элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены, что видно из их графиков в области определения

и свойств.
Замечание 4. Заметим, что		lim x x0 и потому условие непрерывности
	x x0
(4.16) можно записать в виде:		lim	f (x) f ( lim x ) , т.е. для непрерывной
	x x0		x x0
функции знак функции и знак предела можно переставлять.
Например,
	1			1
lim ln(1 x)	x lnlim(1 x) x lne 1,
x 0			x 0

так как функция ln x непрерывна.

Приведем еще одно определение непрерывности функции в точке x0 .

Заметим, что условия x x0 и x x0 0 равносильны, и, следовательно, равенство (4.16) можно переписать в виде

						lim f x f x0 0.	4.17)
у						x x0 0
						x x0 0

			f (х0)	f (х0)		Определение 2. Разность х – х0 назы-
			f (х0)	f (х0)	вается приращением аргумента		x в точке
					x0	и обозначается x : x x x0 . Отсюда
					x0	и обозначается x : x x x0 . Отсюда
		f (х)			x x0 x .
О	х		х0	х		Определение 3. Разность f x f x0
О	х		х0	х		Определение 3. Разность f x f x0
		х			называется приращением функции в точке
		х			называется приращением функции в точке
					x0 ,	вызванным приращением	аргумента
		Рис.4.4			x , и обозначается y или f x0 :

f x0 f x f x0 f x0 x f x0 .

Геометрический смысл приращений очевиден из рис.4.4. Равенство (4.17) в новых обозначениях принимает вид

lim f x0 0 или	lim y 0 .
x 0	x 0

Таким образом, если бесконечно малому приращению аргумента в точке x x0 соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция в этой точке непрерывына. Справедливо и обратное утверждение.

Пример 4.11. Показать, что функция y x2

непрерывна

для любого

значения аргумента x.

Решение. Найдем y и его предел при x 0:

y (x x)2 x2 x2 2x x ( x)2 x2 2x x ( x)2;

lim y lim (2x x ( x)2 ) 2x lim x lim ( x)2

x 0

Итак, lim y 0 для любого x.

x 0

Пример 4.12. Показать, что функция

y cosx

непрерывна для любого

аргумента x.

Решение. Найдем y :

sin

y cos(x x) cosx 2sin x

sin

sin x

x .

Известно, что

sin

lim

sin x

x 0

Тогда при любом x

имеем

lim y 0.

x 0

Определение 4. Функция f (x) называется непрерывной в точке x x0

справа, если выполняется предельное равенство
	f (x0 0)		lim	f (x) f (x0 ).
			x x0 0
Аналогично определяется непрерывность функции f (x)						в точке	x x0
слева:	f (x0 0)		lim	f (x) f (x0 ).
	f (x0 0)		lim	f (x) f (x0 ).
			x x0 0
Определение 5.	Функция	f (x) называется непрерывной на интервале
(a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Определение 6. Функция		f (x) непрерывна на отрезке a,b , если она
непрерывна на интервале (a,b)			и непрерывна		на концах	отрезка	a,b
соответственно справа и слева.
4.22. РАЗРЫВ ФУНКЦИИ. ТОЧКИ РАЗРЫВА
Пусть функция	f (x) определена			при всех	значениях	x , достаточно
близких к точке x x0 .		f (x)
Определение 1.	Функция	f (x)		при x x0	(в точке	x x0 )	имеет

разрыв, если в этой точке нарушается хотя бы одно из условий непрерывно-

сти. При этом точка x x0

называется точкой разрыва.

Определение 2. Если существуют конечные левосторонние и правосто-

ронние пределы функции при

x x0 , но они не равны друг другу, т.е.

f (x0 0) f (x0 0),

то точка х = х0 называется точкой разрыва первогорода.

Заметим, что если

f (x0 0) f (x0

0) f x0 , то точка х = х0 называется

точкой устранимого разрыва.

Определение 3. Если хотя бы один из односторонних пределов не

существует или равен бесконечности,

то точка

x x0

называется точкой

разрыва второго рода.

Для примера рассмотрим несколько функций.

1. f x arctg

Область

определения функции:

,0 0 .

В точке x 0 она не определена.

Заметим, что

lim f x lim arctg

;

lim f x lim arctg

x 0

Следовательно, функция f x arctg1 в точке х = 0 имеет разрыв первогорода. x

2. Функция f (x) sin x . В точке х = 0 имеет устранимый разрыв. x

Действительно, значение функции при х = 0 не определено, но существуют конечные и равные друг другу лево- и правосторонние пределы:

lim

sin x

lim

sin x

x 0

Если доопределить функцию, положив

f (0) 1, то функция

sin x

f (x)

при

x 0;

при

x 0

станет непрерывной в точке x 0.

3. Функция

f x

sin x

. Вточке x 0 имеет разрыв первого рода, так как

f ( 0) lim

sin x

f ( 0) lim

sin x

x 0

4. Функция

f (x) cos

. В точке

x 0 имеет разрыв второго рода, так

как оба односторонних предела

lim cos

не существуют.

x 0

5. Функция f x . Ее область определения ,0 0 . x2

В точке x 0 функция не определена. Заметим. что

lim f x lim		1	;
lim f x lim		x2	;
x 0	x 0	x2
x 0	x 0
	x 0

lim f x lim		1	.
lim f x lim		x2	.
x 0	x 0	x2
x 0	x 0
	x 0

Следовательно, функция f x 1 в точке х = 0 имеет разрыв второго рода. x

4.23. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

Теорема 1. Если функции f x и g x непрерывны в точке x x0 , то сумма и разность функций f x g x , произведение f x g x и частное

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]