Высшая математика. Том 2. Начало математического анализа. Дифференциальное исчисление функций одной переменной и его приложения. Учебник

Глава 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

5.1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ПРОИЗВОДНОЙ

Задача об определении скорости точки. Пусть материальная точка движется прямолинейно и неравномерно вдоль оси Oх по закону x f (t). Требуется найти ее скорость в момент времени t.

Пусть в момент времени t точка находилась в положении М на расстоянии х от начала координат О (рис.5.1). За время t она, не меняя направления движения, заняла положение М1 с абсциссой x x. Таким образом, за время t путь, пройденный движущейся точкой, изменился на x. Очевидно, что

Данная формула определяет скорость точки в прямолинейном переменном движении. Например, при свободном падении тяжелой материальной точки в пустоте закон движения определяется формулой x gt2 / 2 , где g – ускорение свободного падения. Тогда скорость точки в произвольный момент времени вычисляется по формуле (5.1)

5.2.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ, ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ

ИМЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

Пусть функция y f (x) задана на некотором промежутке X. Возьмем конечную точку x X и дадим ей произвольное приращение x 0 , такое, что x x X . Приращение функции в точке х, соответствующее приращению аргумента x , y f x x f x .

Определение 1. Конечный или бесконечный предел отношения приращения функции y к вызвавшему его приращению аргумента x при условии, что x 0 ( x 0), называется производной функции у = f(x) по пере-

менной х и обозначается у , f (x) или yx . Итак,

45

Замечание 1. Если производная существует при каждом значении х в рассматриваемом промежутке, то она является функцией от х и обозначается f (x).

Замечание 2. Процесс нахождения производной функции называется

дифференцированием.

Рассмотрим геометрический смысл понятия производной.

Пусть в декартовой прямоугольной системе координат xOy задан

вивалентно условию существования и единственности касательной к кривой y f (x) в этой точке. Случаю конечной производной отвечает касательная,

не параллельная оси Oy, а случаю бесконечной производной – касательная, параллельная оси Oy.

Пример 5.2. Составить уравнение касательной к синусоиде y sinx в

точке x0 .

Решение. Уравнение касательной к графику функции в точке (x0, f (x0))

имеет вид

y f (x0) f (x0)(x x0).

тельной.

Механический смысл производной: в задаче о скорости материальной точки для прямолинейного неравномерного движения (cм. раздел 5.1) имеем

т.е. производная от функции, описывающей закон движения материальной точки, перемещающейся прямолинейно и неравномерно, определяет ее мгновенную скорость.

47

5.3. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ

Определение. Функция y f (x), определенная в точке x0 и некоторой ее окрестности, называется дифференцируемой в этой точке, если существует конечная производная f (x0).

Теорема (необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке). Для того чтобы функция y f (x) была дифференцируема в

точке x0 , необходимо и достаточно, чтобы приращение функции в точке x0 ,

Отсюда следует, что y yx(x0) x (x, x) x, а это и значит, что вы-

это значит, что функция y f (x) в точке x0 имеет конечную производную А,

т.е. yx (x0)=A.

5.4. СВЯЗЬ МЕЖДУ НЕПРЕРЫВНОСТЬЮ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬЮ ФУНКЦИЙ

Теорема. Если функция y f (x) дифференцируема в точке x0 , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция y f (x) дифференцируема в некото-

x 0

точке x0 .

48

Замечание. Обратное утверждение не имеет места, так как из непрерывности функции в некоторой точке, вообще говоря, не следует дифференцируемость функции в этой точке. Рассмотрим, например, две функции, графики которых представлены на рис.5.3 и 5.4. Обе эти функции непрерывны в точке x0 , но они не будут дифференцируемы в этой точке. Касательная к

графику первой функции в точке M0 x0, y0 параллельна оси Оу, т.е. первая функция обладает в точке x0 бесконечной производной. График второй функции в точке x0 вообще не имеет единственной касательной, поэтому функция в точке x0 не может иметь конечной производной.

Определение 1. Точки, подобные x0 на рис.5.3, называются точками возврата функции, а подобные точкам x0 на рис.5.4 – угловыми точками.

Определение 2. Функция y f(x) называется дифференцируемой на

некотором промежутке X , если эта функция дифференцируема в каждой точке этого промежутка.

Отметим при этом, что в принадлежащих промежутку Х граничных точках должна иметь место односторонняя дифференцируемость (правосторонняя или левосторонняя). В частности, если X a,b - замкнутый отрезок, то

в его граничных точках a иb (a b) должны существовать соответственно односторонние конечные пределы:

Графиком функции, дифференцируемой на некотором промежутке, служит сплошная линия без точек возврата и угловых точек. Такую линию будем называть гладкой.

49

где f и g – приращения функций f(x) и g(x), соответствующие приращению аргумента х, при этом

lim f lim g

x 0 x 0

в силу дифференцируемости, а следовательно, непрерывности функций f(x), g(x) в точке х. Итак,