Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. Том 1. Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

930 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

Вектор S можно найти по формуле


	N1			i		j	k	5						.
		,		1	2		3			10		5
S		,	N2	1	2		3		i	10	j	5	k
				2	1		4

Полагая 1/5, получим S ={1, 2, 1}. Для нахождения координат точки, принадлежащей линии пересечения плоскостей, необходимо решить систему вида

x0 2y0 3z0 1 0;2x0 y0 4z0 8 0.

Исключая из полученной системы, например y0, найдем

5x0 5z0 15 0;

x0 3 z0.

Полагая z0 0, получим x0 3, y0 2.

Таким образом, искомая точка М0(3; 2; 0). Канонические и параметрические уравнения прямой линии имеют вид

x 3	y 2	z 1		x t 3;
x 3	y 2	z 1
			;	y 2t 2;
1	2	1	;	y 2t 2;
1	2	1
				z t 1.

3.11. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ В ПРОСТРАНСТВЕ. УСЛОВИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ

Пусть прямые линии заданы каноническими уравнениями

x x1	y y1	z z1	;	x x2	y y2	z z2	.
m1	n1			m2	n2
		p1				p2

Направляющие векторы этих прямых: S1 m1,n1, p1 и S2 m2,n2, p2 . Определение. Углом между двумя прямыми в пространстве называется

угол между их направляющими векторами. Косинус угла между двумя векторами

m1m2 n1n2

p1p2

,S2

cos cos S1

m12 n12 p12

m22 n22 p22

Если прямые параллельны, то коллинеарны и их направляющие векторы,

т.е .S1S2 Следовательно, проекции векторов S1 и S2 пропорциональны:

m1 n1 p1 (условие параллельности прямых). m2 n2 p2

Если прямые перпендикулярны, то перпендикулярны и их направляющие

векторы S1 и S2 . Следовательно, равно нулю их скалярное произведение:

m1m2 n1n2 p1p2 0 (условие перпендикулярности прямых).

Пример 3.8. В плоскости yOz найти уравнения прямой линии, проходящей через начало координат и перпендикулярной прямой с уравнениями

x 2

z 1

Решение. Искомая прямая лежит в плоскости yOz. Направляющий век-

тор прямой

i , где

1;0;0

–

базисный орт. По условию

(рис.3.9) и S1 16; 3;3 . Тогда направляющий вектор

тору				,			и, следовательно,										S1			,				.
тору			S1	,	i		и, следовательно,									S	S1			,		i		.
		Итак,

		S1								i		j		k	3								0;3;3 .
						,			16		3		3						3
	S					,		i	16		3		3					j	3		k
									1		0		0

Выбирая 1/3, найдем вектор S 0;1;1 . Так как искомая прямая линия проходит через начало координат, то ее канонические уравнения имеют вид

x y z . 0 1 1

S коллинеарен век-

Рис.3.9

Пример 3.9. Определить уравнение плоскости, проходящей через точку

P(8;2; 1) и прямую

x 5

y 1

z 3

Решение. Во-первых, в искомой плоскости лежит прямая, т.е. плоскости

принадлежит точка M0(5;1; 3) и направляющий вектор прямой

2;2;1 .

Во-вторых, искомая плоскость проходит через точку P(8;2; 1)

и, сле-

довательно, ей принадлежит вектор

3;1;2 . Третий вектор,

принад-

M0P

лежащий искомой плоскости, например, соединяет точку M0 с произвольной

точкой M(x, y, z) плоскости:

x 5, y 1, z 3 .

M0М

В силу компланарности векторов

их смешанное произ-

M0P

M0М

ведение равно нулю:

x 5	y 1	z 3
3	1	2	0;	3(x 5) y 1 4(z 3) 0.
2	2	1

Следовательно, 3x y 4z 26 0 – уравнение искомой плоскости.

3.12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ

Требуется найти расстояние от точки M0 x0, y0,z0 до прямой (рис.3.10), уравнения которой

	x x1	y y1	z z1
	m1	n1	p1

Прямая линия проходит через точку M1 x1, y1,z1 . Вектор					m1,n1, p1 –
				S1
направляющий вектор прямой. Опустим из точки M0 x0, y0,z0					перпендику-

ляр на прямую линию. Длина этого перпендикуляра есть искомое расстояние


d от точки M0	до прямой линии.
		Рассмотрим вектор			1={x1 – x0; у1 – у0; z1 – z0}.
М0				M0M

		Вектор
			S1 {m1, n1, p1} перенесем параллельно самому

dсебе так, чтобы его началом была точка M1 на прямой. Площадь параллелограмма, построенного на векторах

		M0M1	и S1 , можно найти по формуле
М1
	S1
	Рис.3.10		Sпарал.	S1 M0M1	.

С другой стороны, площадь параллелограмма можно определить как произведение основания на высоту:

Sпарал S1 d ,

так как искомое расстояние d для параллелограмма является высотой. Приравнивая эти два результата, получим

d S1 M0M1 . S1

Пример 3.10. Найти расстояние от точки М1(2; 1;5) до прямой линии с уравнениями

x 3		y 1	z	.
2
	3		1

Решение. Воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой линии:

M0М1 1;0;5 ;


				M0М1				i			j		k
						,		1		0		5		15						9				3			;
						,	S	1		0		5		15				i		9			j	3	k		;
								2		3		1
\| M0М1			\|
	,				( 15)2 92				( 3)2								;			\|			\|			22 32 ( 1)2 .
	,	S			( 15)2 92				( 3)2						315		;			\|		S	\|			22 32 ( 1)2 .
Искомое расстояние
																3
						d			315				45								.
									315				45						10
																			10
									14			2			2

3.13. УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ (УСЛОВИЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПРЯМЫХ)

Пусть прямые линии заданы уравнениями

x x1

y y1

z z1

;

x x2

y y2

z z2

Их направляющие векторы

S1 m1 , n1 ,

p1 и

2 m2 , n2 , p2 . Прямые

линии проходят через точки M1 x1 ,

, z1 и M2 x2

, y2 , z2 .

Введем вектор

x2 x1 ,

y2 y1 , z2 z1 .

Векторы

M1M2

S1 , S2 и

компланарны и, следовательно,

прямые лежат в одной плоскости. Ус-

M1M2

ловие компланарности векторов:

2 0

M1M2

или

x2 x1

y2 y1

z2 z1

(3.16)

Известно, что, если векторы коллинеарны, то их проекции пропорциональны.

Если проекции векторов S1 и S2 не пропорциональны, то условие (3.16) есть условие пересечения двух прямых в пространстве.

3.14. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ. УСЛОВИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Пусть прямая l и плоскость заданы соответственно уравнениями

x x0 y y0 z z0 ; m n p

Ax By Cz D 0.

Направляющий вектор прямой S m, n, p и нормаль к плоскости

N m, n, p .

Определение. Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и проекцией прямой на плоскость .

Приведем векторы S и N к общему началу O , совпадающему с точкой пересечения прямой с плоскостью (рис.3.11).

Угол между векторами S и N

	Am Bn Cp
	Am Bn Cp


cos S,N	A2 B2 C2		.
	A2 B2 C2	m2 n2 p2

Заметим, что



	cos		sin ,

cos S,N		2

причем из определения следует, что 0 .

Окончательно имеем

Am Bn Cp

sin

A2 B2 C2 m2 n2 p2

Если прямая линия l

параллельна плоскости , то S

N .

Следовательно,

или

Am Bn Cp 0. Если прямая линия l

пер-

пендикулярна плоскости

, то вектор S

коллинеарен вектору

N . Тогда

Рис.3.11

3.15. ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПЛОСКОСТЬЮ

Прямая l и плоскость заданы уравнениями соответственно

x x0

y y0

z z0

;

(3.17)

Ax By Cz D 0.

(3.18)

Прямая линия проходит через точку M0 x0, y0, z0

и ее направляющий

вектор

m, n, p . Нормаль к плоскости

A, B,C .

Перейдем от канонических уравнений данной прямой линии (3.17) к па-

раметрическим уравнениям:

x x0 tm;

tn;

(3.19)

y y0

t p.

z z0

Найдем значение параметра t , при котором точка, с координатами (3.19), принадлежит как прямой l , так и плоскости . Для этого подставим (3.19) в формулу (3.18). Получим

A x0 tm B y0 tn C z0 t p D 0

или

Am Bn Cp t Ax0 By0 Cz0 D .

(3.20)

Исследуем полученное соотношение (3.20).

1. Пусть Am Bn Cp 0. Прямая и плоскость не параллельны, т.е. пересекаются. Из формулы (3.20) найдем единственное значение параметра

t Ax0 By0 Cz0 D .

Am Bn Cp

Подставив это значение в формулы (3.19), получим координаты точки пересечения прямой с плоскостью.

2. Пусть

Am Bn Cp 0 ;

Ax0 By0 Cz0 D 0.

В этом случае прямая и плоскость параллельны. Однако, точка M0 x0, y0, z0 , принадлежащая прямой, не принадлежит плоскости. Следовательно, прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки, т.е. не пересекаются.

3. Пусть

Am Bn Cp 0;

Ax0 By0 Cz0 D 0.

В этом случае прямая линия и плоскость параллельны. Точка M0 x0 , y0 ,z0 , принадлежащая прямой, принадлежит и плоскости. Тогда

Am Bn Cp 0;

(3.21)

Ax0 By0 Cz0 D 0.

Условия (3.21), рассмотренные совместно, есть условия того, что прямая принадлежит плоскости.

Пример 3.11. Найти проекцию точки P(3;1; 6) на плоскость

2x y 5z 5 0 (рис.3.12).

Решение. Проекцией точки на плоскость является точка P – основание перпендикуляра, опущенного из точки P на плоскость.

Выпишем уравнения прямой, проходящей через точку Р и перпендику-

лярной данной плоскости.

Направляющий вектор прямой

S коллинеарен

вектору нормали плоскости

2; 1;5 . Выбирая

уравнения пря-

мой получим в виде

x 3

y 1

z 6

Рис.3.12

Подставляя x, y,z

Чтобы найти точку пересечения прямой и плос-

Nкости, перейдем к параметрическим уравнениям прямой:

x 3	y 1	z 6		x 2t 3;

			t ;	y t 1;
2		5
	1
				z 5t 6.

в уравнение плоскости, найдем t :

2(2t 3) ( t 1) 5(5t 6) 5 0 ;

30t 30 0;

t 1.

Из параметрических уравнений прямой получим координаты точки P – точки пересечения прямой с плоскостью: P (5;0; 1).

Пример 3.12. Написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые

x 3

y 2

z 1

x 1

z 5

и найти расстояние между ними.

Решение.

2;1; 1 – направляющий вектор заданных прямых. Точки

M1( 3; 2; 1)

и M2 (1; 0;5)

также принадлежат прямым (рис.3.13). Пусть

– вектор нормали искомой плоскости.

Тогда

4;2;6 . Поэтому

M1M2


					i		j	k								М2
			,		2	1		1		8		16		.		М2
	N	S	,	M1M2	2	1		1		8	i	16	j	.
					4	2		6							М1
					4	2		6							М1	S
Уравнение искомой плоскости имеет вид																S
Уравнение искомой плоскости имеет вид
8(x 1) 16(y 0) 0							или		x 2y 1 0.							Рис.3.13

Расстояние между прямыми линиями найдем как расстояние от точки M1 , принадлежащей первой прямой, до второй прямой по формуле расстояния от точки до прямой линии. Таким образом,

S , M1 M2 |8i 16 j| 64 256 320 ;

|S |

4 1 1

6 d

320 / 6 4 10/3 .

3.16.ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

3.16.1.Различные формы записи прямой на плоскости

Общее уравнение прямой линии на плоскости. Прямую линию на плоскости можно задать как линию пересечения двух плоскостей: плоскости, заданной общим уравнением Ax By Cz D 0, и координатной плоскости

xOy, уравнение которой z 0. Тогда уравнение прямой имеет вид

Ax By D 0.

(3.22)

Уравнение (3.22) называют общим уравнением прямой на плоскости.

Уравнение прямой линии в отрезках. Для получения этого уравнения


пересечем плоскость с уравнением		x		y	z	1	координатной плоскостью
пересечем плоскость с уравнением						1	координатной плоскостью
		a b			c
xOy, уравнение которой z 0. Получим
	x		y	1.			(3.23)
				1.			(3.23)
	a		b

Уравнение (3.23) называют уравнением прямой в отрезках.

Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом. Так называют уравнение прямой линии, которое имеет вид

y kx b.

Обозначим: наименьший угол, на который нужно повернуть против часо-

вой стрелки ось Ox, чтобы она совпала с данной прямой (или оказалась параллельной ей); b ордината точки пересечения прямой с осью Oy .

М(x, y)

у – b

Ох

Рис.3.14

Тогда для любой точки				M x, y , принадле-
жащей прямой, имеем
	y b	tg	или	y kx b,

	x
где k tg (рис.3.14).
Заметим, что k			– тангенс угла наклона пря-

мой к оси Ox, называют угловым коэффициен-

том прямой.

Итак, уравнение y kx b – уравнение прямой линии с угловым коэффициентом.

Частные случаи:

1)y kx (b 0) – прямая линия, проходящая через начало координат;

2)y b (k 0) – прямая линия, параллельная оси Ox и отсекающая на оси Oy (положительной или отрицательной с учетом знака b) отрезок, равный b.

Пучок прямых линий, проходящих через заданную точку M0 x0 , y0 .

Пусть прямая линия задается уравнением
y kx b.	(3.24)
Потребуем, чтобы эта прямая прошла через точку M0 x0	, y0 :
y0 kx0 b.	(3.25)
Вычитая почленно из (3.24) уравнение (3.25), получим
y y0 k x x0 .	(3.26)

Изменяя в уравнении (3.26) угловой коэффициент k , будем получать различные прямые, проходящие через точку M0 x0 , y0 . Потому уравнение (3.26) называют пучком прямых линий, проходящих через заданную точку.

Замечание. Уравнением (3.26) нельзя задать прямую линию, проходящую через точку M0 x0 , y0 и параллельную оси Oy , так как угловой коэффициент k . Легко заметить, однако, что все точки такой прямой имеют одну и ту же абсциссу x x0 . Уравнение x x0 и есть уравнение прямой, параллельной оси Oy .

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: M1 x1, y1

и M2 x2, y2 . Проведем через точку M1 x1, y1 пучок прямых линий:

y y1 k x x1 .

(3.27)

Выделим из пучка прямых линий ту линию, которая проходит через точку

M2 x2, y2 :

y2 y1 k x2 x1 .

(3.28)

Поделив почленно уравнение (3.27) на уравнение (3.28), получим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

y y1	x x1	.	(3.29)
y2 y1
	x2 x1

Замечание. Если точки лежат на прямой, параллельной оси Ox, то ее уравнение

y y1 0 .

Если точки лежат на прямой, параллельной оси Oy , то ее уравнение

x x1 0.

3.16.2.Нахождение угла между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности

прямых линий на плоскости

	Пусть прямые линии задаются уравнениями
	y k1x b1 , y k2x b2 ,
где k1 tg 1 ; k2 tg 2 .
	Обозначим один из углов между прямыми линиями при их пересечении
1	(рис.3.15). Тогда другой угол 2 1 .
	Угол 1 (угол поворота прямой с угловым коэффициентом k1 против

часовой стрелки до совмещения с прямой, угловой коэффициент которой
равен k2 ) можно найти из условия												1
				2			1 1.					1
Отсюда				2			1 1.
Отсюда										k2 k1		2
												2
tg tg								tg 2 tg 1			.	1
tg tg											.
1		2		1			1 tg 1 tg 2		1 k1k2			х
Окончательно имеем												Рис.3.15
tg	k2		k1			.						(3.30)
tg						.						(3.30)
1	1 k k				2
			1		2

Если прямые линии параллельны, то k1 k2 . Если прямые линии перпендикулярны, то в формуле (3.30) перейдем к обратным величинам:

ctg 1 1 k1k2 . k2 k1

При перпендикулярности прямых линий угол между ними 1 /2 . Следовательно, числитель дроби равен нулю т.е.

1 k k	2	0	или	k	1	.

1				1	k2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]