Высшая математика. Том 1. Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Учебник

3.17. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

3.17.1. Эллипс

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянна и принимается равной 2a (рис.3.16).

Для получения канонического уравнения эллипса выберем прямоугольную систему координат таким образом: проведем ось Ox через фокусы F1 и

F2 и обозначим расстояние между ними 2с; ось Oy проведем перпендикулярно оси Ox так, чтобы точка O разделила бы расстояние между фокусами пополам, координаты фокусов соответственно F1 c;0 ; F2 c;0 .

Возьмем произвольно точку M x;y на эллипсе и обозначим расстояния от этой точки до первого фокуса r1 , а до второго фокуса r2 . Тогда определе-

Возведем равенство в квадрат и раскроем при этом скобки (квадрат суммы и разности). Получим

x2 2xc c2 y2 4a2 4a x c 2 y2 x2 2xc c2 y2 .

Отсюда

4a x c 2 y2 4a2 4xc

или

1

После умножения на дробь a2 a2 c2 , получим

Рассмотрим треугольник с вершинами: F2, M, F1 . Известно, что

кулем, установленным в точке B b,0 , дугу радиуса a до пересечения с осью

Ox в точках F1 и F2 (фокусах эллипса).

Замечание 1. Если a b R, то уравнение (3.35) принимает вид

x2 y2 R2 .

Таким образом, частным случаем эллипса является окружность радиуса R с центром в начале координат.

Замечание 2. Уравнение эллипса (3.35) содержит переменные в четной (второй) степени. Отсюда следует, что эллипс представляет собой кривую, симметричную относительно координатных осей и начала координат.

осью эллипса, а отрезок, соединяющий точки B1 0,b и B2 0, b – малой осью эллипса. Отсюда a большая, b малая полуось эллипса.

Замечание 3. Если задано положение фокусов F1 и F2 и известна длина его большой оси 2а, то построение эллипса можно провести следующим образом.

Концы гибкой нити длиной 2a закрепим в точках F1 и F2. Тогда кривая, описываемая острием карандаша, скользящим по туго натянутой нити, имеет форму эллипса (рис.3.17).

Возьмем на эллипсе произвольную точку M x, y . Найдем длину отрез-

ков r1 и r2 , соединяющих эту точку с фокусами F1 и F2 .

91

Объединяя это уравнение с уравнением (3.31), получим систему двух уравне-

Эта величина называется эксцентриситетом эллипса. Заметим, что для эллип-

a

личина. Например, для эллипса меридианального сечения Земли 0,08.

С учетом определения эксцентриситета (3.38) формулы (3.37) можно переписать в виде

92

Уравнение (3.47) – каноническое уравнение гиперболы.

Как и в случае эллипса, гипербола симметрична относительно осей координат. Полагая y 0, получим две точки пересечения гиперболы с осью

Отсюда следует, что функция определена, если x2 a2 или для положительных значений x a.

Из формулы (3.48) следует также, что при неограниченном возрастании x ордината y неограниченно возрастает, т.е. y при x .

При больших значениях переменной x можно пренебречь константой

a2 по сравнению x2 . В этом случае можно заменить уравнение (3.48) приближенным уравнением

y b x. a

Эта прямая является асимптотой гиперболы. В силу симметрии существует вторая асимптота с уравнением

y b x . a

Асимптоты можно построить, начертив в системе xOy симметричный,

относительно осей координат, прямоугольник A1B1A2B2 со сторонами 2а и 2b. Диагонали этого прямоугольника проходят через начало координат и имеют угловые коэффициенты b/a и b/a, т.е. являются асимптотами гиперболы.

Положение фокусов гиперболы можно определить без вычислений: циркулем, установленным в начале координат, проводим дугу радиуса, равного

называется мнимой осью гиперболы, так как оси Oy гипербола не пересекает.

95

Как и в случае эллипса, эксцентриситет характеризует «степень сплюснутости» гиперболы.

Из формулы (3.53) легко усмотреть, что значение , немного большее единицы, отвечает гиперболе с малым углом между асимптотами. С увеличением угол между асимптотами также увеличивается.

Подставив (3.52) в (3.51), получим

(знак плюс отвечает правой ветви, а знак минус – левой ветви гиперболы). Рассмотрим прямую линию с уравнением x a/ . Возьмем на правой

ветви гиперболы произвольную точку M x, y и обозначим d – расстояние от точки M x, y до указанной прямой. Далее рассмотрим отношение r1 /d ,

где r1 расстояние от точки M x,y до правого фокуса F1 c,0 . Из рис.3.19 находим

dx a/ .

Сучетом первой из формул 3.54 , для правой ветви гиперболы получим

Отношение расстояний от любой точки правой или левой ветви гиперболы до правого фокуса F1 c,0 и до прямой с уравнением x a/ есть величина постоянная и равная эксцентриситету гиперболы.

В силу симметрии существует прямая с уравнением x a/ , обладающая аналогичным свойством по отношению к левому фокусу F2 c,0 гиперболы.

Указанные прямые называются директрисами гиперболы. Их уравнения имеют вид

97

Можно доказать, что отрезки, отсекаемые директрисами гиперболы на асимптотах, равны вещественной полуоси a . Поэтому для построения директрис гиперболы достаточно сделать на асимптотах гиперболы засечки из начала координат радиусом a и провести через полученные точки директрисы.

Отметим также, что отношение a/ a, так как 1. Поэтому директрисы не пересекают гиперболу.

3.17.3. Парабола

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой, которая называется директрисой.

Замечание. Расстояние между фокусом и директрисой равно p пара-

метру параболы (рис.3.20). Точка O расстояние от директрисы до фокуса делит пополам. Тогда координаты фокуса F p/2;0 , а уравнение директрисы x p/2.

Возьмем произвольную точку M x, y на параболе. Ее расстояние до ди-

ректрисы d x p/2, расстояние до фокуса r x p/2 2 y2 .

Уравнение параболы можно записать в виде

r d

или

x p/2 x p/2 2 y2 .

После возведения в квадрат получим

x2 xp p2 x2 xp p2 y2

44

уили

98

соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная экс-

центриситету кривой . При этом для эллипса 1, для гиперболы 1, а для параболы 1.

Это свойство обычно называют фокальным свойством кривых второго порядка.

Пример 3.13. Привести уравнение 9x2 4y2 36x 8y 4 0 к канони-

ческому виду, определить вид линии, описываемой этим уравнением, сделать схематический рисунок.

Решение. Преобразуем исходное уравнение, дополнив до полных квадратов выражения, содержащие x и y соответственно.

9 x2 4x 4 4 y2 2y 1 4 36 4 0

или

т.е. совершим параллельный перенос осей, причем новое начало координат поместим в точку O (2; 1) . В новой системе координат x O y уравнение примет вид

x 2 y 2 1. 22 32

Получено каноническое уравнение эллипса. Его центр находится в точке O 2; 1 , величины полуосей a 2 , b 3 (рис.3.21).

Пример 3.14. Составить уравнение параболы, фокус которой находится в точке пересечения прямой 4x 3y 4 0 с осью Ox .

Решение. Найдем точку пересечения прямой 4x 3y 4 0 с осью Ox . Для этого положим y 0 и определим соответствующее значение: х = 1. Значит, фокус параболы находится в точке F(1; 0), которая лежит на оси симметрии кривой. Каноническое уравнение параболы в этом случае имеет вид

y2 2px .

По координатам фокуса определим p/2 1 p 2.

Тогда уравнение параболы y2 4x .

99