Высшая математика. Том 1. Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Учебник

3.2. СВЯЗКА ПЛОСКОСТЕЙ

Рассмотрим плоскость . Пусть эта плоскость проходит через заданную точку M0 x0, y0,z0 перпендикулярно вектору N A,B,C .

Возьмем любую точку M x, y,z , принадлежащую плоскости . Вектор

M0M принадлежит плоскости, а, следовательно, вектор N перпендикулярен вектору M0M . Известно, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:

чать различные плоскости, проходящие через точку M0 . Поэтому уравнение

3.1 называют связкой плоскостей.

где А, В и С не равны нулю одновременно, т.е. A2 B2 C2 0, есть уравнение плоскости в некоторой декартовой системе координат.

Доказательство. Уравнение Ax By Cz D 0 имеет бесконечное множество решений. Выберем три числа x0 , y0 и z0 как одно из решений. Получим тождество

Ax0 By0 Cz0 D 0.

Подставляя 3.3 в 3.2 , получим

Ax By Cz Ax0 By0 Cz0 0

или

A x x0 B y y0 C z z0 0,

т.е. уравнение связки плоскостей 3.1 .

Таким образом, уравнение 3.2 определяет плоскость в пространстве.

Три числа x0 , y0 и z0 , обратившие уравнение 3.2 в тождество, – коорди-

71

наты точки, принадлежащей плоскости с уравнением 3.2 . Числа А, В и С –

проекции вектора, перпендикулярного плоскости с уравнением 3.2 .

Вектор N A,B,C , перпендикулярный плоскости, называют вектором нормали к плоскости или просто нормалью.

3.4. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ

Пусть плоскость задана уравнением 3.2 . Выясним особенности рас-

положения плоскости относительно осей координат, если некоторые коэффициенты этого уравнения и свободный член обращаются в нуль.

1. Пусть D 0. Тогда уравнение 3.2 примет вид

Ax By Cz 0.

Этому уравнению удовлетворяют координаты x 0; y 0; z 0 , т.е.

точка O 0,0,0 – начало системы координат.

Таким образом, если в уравнении плоскости отсутствует свободный член, то плоскость проходит через начало координат.

Ox и Oy равны нулю. Следовательно, вектор N одновременно перпендику-

лярен осям Ox и Oy . Тогда плоскость с уравнением 3.5 параллельна осям координат Ox и Oy .

Таким образом, если в общем уравнении плоскости отсутствует одна или две переменных, то плоскость параллельна той оси координат, переменная которой отсутствует.

Пример 3.2. Плоскость имеет вид 3x 4y 0 . Определить ее положение в пространстве.

Решение. Вектор нормали этой плоскости N 3, 4,0 и, следовательно, плоскость параллельна оси Oz . Плоскость также проходит через начало координат, так как свободный член равен нулю.

Общий вывод: плоскость проходит через ось Oz.

72

Пример 3.3. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и

точку M(2;1;5).

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через ось Oz, имеет вид Ax By 0. Коэффициенты А и В найдем из условия, что плоскость прохо-

дит через заданную точку M(2;1;5):

2A B 0 A B/2.

Полагая B 2, находим А 1. Таким образом, уравнение искомой плоскости x 2y 0.

3.5. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТРИ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ

Пусть плоскость проходит через точки A x1,y1,z1 , B x2, y2,z2 и

C x3,y3,z3 .

Возьмем любую точку M x, y,z на плоскости

Векторы лежат в одной плоскости, т.е. компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю:

AM AB AC 0

или

Уравнение (3.6) называют уравнением плоскости, проходящей через три данные точки.

3.6. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В ОТРЕЗКАХ

Пусть плоскость отсекает на осях декартовой системы координат отрезки a,b,c. Это означает, что плоскость пересекает оси координат в точках

А(а, 0, 0), В(0, b, 0), С(0, 0, с) причем а, b, с ≠ 0 или плоскость проходит через данные три точки (рис.3.4). Для получения уравнения плоскости воспользуемся уравнением (3.6). Тогда

73

Уравнение 3.7 называется уравнением плоскости в отрезках.

Пример 3.4. Найти отрезки, отсекаемые плоскостью 4x y 2z 12 0

на осях координат.

Решение. Данное общее уравнение плоскости приведем к уравнению в отрезках. Для этого перенесем свободный член в правую часть равенства и умножим на дробь 1/12. Получим

Из полученного уравнения следует, что на оси Ox плоскость отсекает отрезок, равный 3 единицам, на отрицательной полуоси Oy отрезок, равный 12 единицам, а на оси Oz – отрезок, равный 6.

3.7. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПЛОСКОСТЯМИ. УСЛОВИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ

ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Пусть плоскости 1 и 2 (рис.3.5) заданы уравнениями

A1x B1y C1z D1 0;

74

Если плоскости параллельны, то их нормали коллинеарные. Следовательно, проекции пропорциональны:

A1 B1 C1 .

A2 B2 C2

Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормали.

Следовательно, N1 N2 0 или A1A2 B1B2 C1C2 0.

3.8. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ

Пусть требуется найти расстояние от точки M0 x0, y0,z0 до плоскости с уравнением Ax By Cz D 0. Нормаль к плоскости N A,B,C .

Опустим из точки M0 x0, y0,z0 на плоскость перпендикуляр и обозна-

чим точку его пересечения с плоскостью M1 x1, y1,z1 . Введем в рассмотрение вектор M0M1 x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 .

Найдем проекцию вектора M0M1 на ось, направление которой совпадает

с направлением вектора N :

Решение. Искомой плоскости принадлежат векторы M1M2 {0;4; 1},

M1M3 {1;2;3}. Вектор РM {x 2, y 1,z 3} параллелен данной плоско-

сти, где M(x, y, z) – любая точка плоскости. В силу компланарности векто-

ров РM , M1M2 и M1M3 их смешанное произведение равно нулю:

04 1 0.

12 3

Тогда 14x y 4z 15 0 – уравнение искомой плоскости.

плоскостями.

Решение. Найдем уравнение заданной плоскости в отрезках по фор-

муле (3.4):

и определим координаты точек пересечения плоскости с осями координат:

A(3;0; 0) , B(0; 4; 0) , C(0;0;2).

Искомую площадь можно найти по формуле

S ABC 0,5|[AC,AB]|,

где AC 3; 0; 2 , AB 3; 4;0 .

Далее вычислим векторное произведение и его модуль:

Итак,

S ABC 0,5( 8)2 ( 6)2 ( 12)2 61 .

76

3.9.КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ ЛИНИИ

ВПРОСТРАНСТВЕ

На прямой l заданы точка M0 x0 ,y0 , z0 и вектор S m, n, p , параллельный прямой l (рис.3.6).

Определение. Ненулевой вектор S , параллельный прямой l , называется направляющим вектором прямой.

Возьмем на прямой произвольную точку M x ,y , z и рассмотрим век-

Уравнение 3.11 есть уравнение прямой линии в векторной форме.

Из равенства векторов следует равенство их проекций, т.е.

формулам 3.12 , перемещается по прямой линии l .

Уравнения 3.12 называются параметрическими уравнениями прямой.

Уравнения 3.13 называют каноническими уравнениями прямой или уравнениями прямой в виде отношений.

Замечание 1. Так как вектор S параллелен прямой l , то направляющие косинусы вектора S можно принять за направляющие косинусы прямой:

77

Замечание 2. Канонические уравнения прямой 3.13 можно записать в виде системы двух уравнений:

Первое из уравнений системы определяет плоскость, параллельную оси Oz , а второе уравнение системы определяет плоскость, параллельную оси Ox .

Обе плоскости проходят через рассматриваемую прямую линию, так как любая точка прямой удовлетворяет каждому из уравнений плоскости. Эти плоскости проецируют прямую линию на координатные плоскости xOy и yOz.

Канонические уравнения прямой линии определяют прямую как линию пересечения плоскостей, проецирующих эту прямую на координатные плоскости.

Замечание 3. В канонических уравнениях прямой числа m,n и p одновременно в нуль обращаться не могут, так как направляющий вектор прямой линии S 0. Некоторые же из этих чисел могут быть нулями. Например, прямая линия с уравнениями

x x0 y y0 z z0

0 n 0

перпендикулярна осям координат Ох и Oz, что следует из задания ее направляющего вектора: S 0,n, 0 .

Канонические уравнения прямой линии равносильны системе двух уравнений:

x x0 0

z z0 0

Первое из этих уравнений определяет плоскость, параллельную осям координат Oy и Oz , а второе – плоскость, параллельную осям координат

Oy и Ox.

Рассмотренные одновременно уравнения определяют прямую как линию пересечения плоскостей.

3.10.ДРУГИЕ ФОРМЫ ЗАПИСИ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ ЛИНИИ

ВПРОСТРАНСТВЕ

Уравнения прямой, проходящей через две данные точки. Даны две

проходящей через эти точки (рис.3.7).

78

Уравнения (3.14) называют уравнениями прямой, проходящей через две данные точки.

Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Пусть даны две не-

параллельные плоскости:

A2x B2 y C2z D2 0.

Рассмотренные совместно уравнения 3.15 определяют прямую как линию пересечения двух плоскостей. Для перехода к каноническим уравнениям прямой необходимо знать точку, принадлежащую этой прямой, и ее направляющий вектор.

Для нахождения точки, принадлежащей прямой, надо решить систему двух уравнений с тремя неизвестными: координатами x , y и z точки. Такая система имеет бесконечно много решений.

Одну из координат, например x, можно выбрать произвольно и, подставив выбранное значение x в систему, далее решать систему двух уравнений с двумя неизвестными y и z .

Направляющий вектор прямой найдем по формуле

где N1 и N2 – нормальные векторы плоскостей, определяемых уравнениями

(3.15). Вектор S перпендикулярен векторам N1 и N2 . Следовательно, он параллелен обеим данным плоскостям и потому параллелен линии пересечения этих плоскостей.