Высшая математика. Том 1. Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Учебник

В результате получена расширенная матрица, соответствующая системе {х1 = 3; х2 = − 2; х3 = 1}, т.е. фактически решение исходной системы уравнений.

Общий алгоритм решения систем линейных уравнений методом Жордана – Гаусса следующий:

1.Составить расширенную матрицу системы.

2.Привести расширенную матрицу к ступенчатому виду.

3.Определить ранги матриц коэффициентов и расширенной, сделать вывод о совместности системы и количестве решений.

4.В случае, если система совместна, привести расширенную матрицу к разрешенному виду («прямой ход»), т.е. выбрать базисные неизвестные и исключить их из всех строк (кроме соответствующих им базисных). Алгоритм этих действий такой же, как и при приведении матрицы к ступенчатому виду, только двигаться надо снизу вверх («обратный ход»).

5.Записать систему уравнений, соответствующую разрешенной матрице. Если решение единственно, то это и будет ответом. Если решений множество, нужно выразить каждую базисную неизвестную через правые части и свободные неизвестные. Полученные соотношения будут являться общим решением системы.

6.Если необходимо найти частное решение системы (в случае существования множества решений), то следует задать какие-либо значения всем свободным неизвестным и вычислить соответствующие значения базисных неизвестных.

Пример 1.7. Найти общее и два частных решения системы уравнений

Решение. 1. Составим расширенную матрицу этой системы:

41

2. Приведем эту матрицу к ступенчатому виду. Матрица совпадает с матрицей (1.8), и в примере 1.4 она уже была приведена к ступенчатому виду:

3. Проанализируем результат: система уравнений имеет восемь неизвестных (п = 8), при этом ранги матриц совпадают и r(A) = r( A| B) = 4,

r(A) < п. Следовательно, система совместна и имеет бесконечное множество решений. Общее решение будет иметь четыре базисных неизвестных: х1, х2, х5 и х7 (в матрице они выделены), и п − r(A) = 8 − 4 = 4 свободных х3, х4, х6 и х8. Дальнейшая задача состоит в том, чтобы выразить базисные неизвестные через свободные.

4. Преобразуем матрицу к разрешенному виду. Для этого во всех базисных столбцах нужно получить нули выше базисного элемента. Будем действовать снизу вверх, т.е. начнем с последней строки и 7-го столбца:

Получили нули в 7-м столбце. Теперь возьмем 3-ю строку и с ее помощью получим нули в 5-м столбце:

42

Осталось «обнулить» 2-й столбец. Сделаем это с помощью 2-й строки:

Полученная матрица является разрешенной. Запишем соответствующую ей систему уравнений и выразим все базисные неизвестные через свободные:

Полученные формулы и являются общим решением заданной системы. Найдем два частных решения: первое при х3 = х4 = х6 = х8 = 0; во втором

свободные неизвестные вычислим по формуле хk = k. Получим:

1)х1 = 1; х2 = 3; х3 = 0; х4 = 0; х5 = 7; х6 = 0; х7 = 5; х8 = 0;

2)х1 = 5; х2 = –19; х3 = 3; х4 = 4; х5 = –47; х6 = 6; х7 = –27; х8 = 8.

Замечание. Среди всех систем линейных уравнений выделяют однород-

ные системы. Система (1.9) называется однородной, если в каждом уравнении свободный член bk = 0. Так как столбец свободных членов является нулевым, ранги матрицы коэффициентов системы и расширенной матрицы совпадают: r(A) r(A| B). Таким образом, по теореме Кронекера – Капелли од-

нородная система всегда совместна. Она очевидно имеет нулевое решение х1 = х2 = ... = хп = 0, которое называется тривиальным. Чтобы однородная система имела нетривиальное (т.е. отличное от нулевого) решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов был меньше количества неизвестных: r(A) n. В случае, когда количество уравнений однородной

системы совпадает с количеством неизвестных, это условие равносильно равенству нулю главного определителя системы: = 0.

Вопросы для самопроверки

1.Что называется матрицей, элементами матрицы, размерностью матрицы? Какие матрицы называются квадратными?

2.Какие матрицы называются равными?

3.Назовите основные действия над матрицами и укажите их свойства.

4.Сформулируйте правила вычисления определителей 2-го и 3-го порядков?

43

5.Что называется минором и алгебраическим дополнением к элементу квадратной матрицы?

6.Сформулируйте теорему разложения и свойства определителей п-го порядка.

7.Что такое система линейных уравнений? Что называется решением системы линейных уравнений? Какая система называется несовместной?

8.В чем заключается матричный метод решения систем линейных урав-

нений?

9.Сформулируйте теорему Крамера.

10.Сформулируйте первое определение ранга матрицы.

11.Какой набор элементов называется линейно зависимым и какой – линейно независимым?

12.Сформулируйте основные свойства линейно зависимых и линейно независимых элементов.

13.Какая матрица называется ступенчатой?

14.Какие преобразования строк матрицы называются элементарными? Перечислите эти преобразования.

15.Сформулируйте третье определение ранга матрицы.

16.В чем заключается метод Гаусса решения систем линейных уравне-

ний?

17.Сформулируйте теорему Кронекера – Капелли.

18.При каких условиях система линейных уравнений совместна и имеет единственное решение; совместна и имеет бесконечное множество решений; несовместна?

19.Что называется общим решением системы линейных уравнений в случае, когда решений бесконечное множество? Что называется частным решением? Какие неизвестные называются базисными и какие свободными?

20.Какие системы линейных уравнений называются однородными?

Вкаких случаях однородные системы имеют только тривиальное решение? Какие условия необходимы для того, чтобы однородная система уравнений имела нетривиальные решения?

44

45

46