Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Анализ таблиц сопряженности в пакетах Statistica, САНИ, Excel. Методические указания к лабораторным работам, практическим занятиям и самостоятельной р

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

891 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

		(n	n	22	n	n	21	)	2
		11		22	12		21			, (0;1).	(8)
		n1n2n1n2								, (0;1).	(8)
		n1n2n1n2
Справедлива формула	V2 .				Коэффициент называют						коэффициентом

детерминации признаков Х и Y.

Меры связи, основанные на отношении преобладаний (шансов)

Часто один из двух признаков является исходным по отношению к другому.

Пусть Y – результативный признак, X – факторный. Нас интересует вероятность того, что Y y1. Введем две характеристики:

P(Y y1

| X x1)

p11 / p1*

– шансы появления

| X x )

p / p

P(Y y

12 1*

P(Y y1 | X x2)

p21 / p2*

– шансы появления

P(Y y2 | X x2)

p22 / p2*

Найдем оценки шансов:

Ox		n11 /n1*			n11	; Ox		n21 /n2*

1		n	/n		n		2 n		22	/n	2*
	12		1*	12

y1 при условии, чтоX x1;

y1 при условии, что X x2 .

n21 . n22

Сопоставляя различными способами шансы x1 и x2 , можно получают

различные меры связи.

1) Коэффициент ассоциации Юла [3, 5, 8]

	x	x	2	Ox		Ox	n n		n	n
Q	1		2	, Q	1	2	11	22		21 12	.	(9)
	x	x	2		Ox	Ox	n11n22 n21n12
1			2	1		2
												11

Коэффициент ассоциации обладает свойствами коэффициента корреляции:

изменяется от -1 до +1;

если	Q>0, то связь «положительная», т.е. если	X x1,	то вероятнее всего
Y y1, если	X x2 , то вероятнее всего Y y2;
если	Q<0, то связь «отрицательная», т.е. если	X x1,	то вероятнее всего

Yy2, если X x2 , то вероятнее всего Y y1;

если Q=0, то признаки независимы;

если Q=1, то связь функциональная «положительная», т.е. p11 p1* p*1 и

p22 p2* p*2 ( p21 p12 0);

если Q=-1, то связь функциональная «отрицательная», т.е.

p21

p2*

p*1 и

p12 p1* p*2 ( p11 p22 0).

, где оценка дисперсии

Оценка коэффициента ассоциации Q

N Q;D(Q)

вычисляется по формуле

(Q)

4(1 Q

)

. Это

асимптотическое свойство может использоваться как при проверке значимости коэффициента ассоциации, так и при построении для него доверительного интервала.

Если зависимость между признаками не является функциональной, но одна из

частот в клетке равна нулю, то Q 1, что дает преувеличенную оценку тесноты связи. В этих случаях целесообразно использовать коэффициент контингенции или коэффициент коллигации.

2) Коэффициент коллигации Юла [3, 5, 8]

	x	x		Ox	Ox	n n	22	n	n
Y	1	2	, Y	1	2	11	22		21 12	.	(10)
Y			, Y							.	(10)
	x	x		Ox	Ox	n11n22		n21n12
1		2		1	2

Коэффициенты ассоциации и коллигации связаны соотношением: Q . 1 Y2

Свойства коэффициента коллигации аналогичны	свойствам		коэффициента
			, где оценка
ассоциации. Оценка коэффициента коллигации Y		N Y;D(Y)	, где оценка
n
n

				1					1
	2					2		2
дисперсии Y вычисляется по формуле S		(Y)			(1 Y		)
			16						n
									11

3)Отношение преобладаний (шансов) [2]

x1 , O Ox1 n11n22 .

x	Ox	n21n12
2		2

1	1			1

							.
n		n	21		n	22
12

(11)

Эту характеристику связи ещё называют отношением перекрестных произведений. Если хотя бы одна из частот четырёхклеточной таблицы сопряженности равна нулю, то рассчитывается модифицированная характеристика связи:

			1			1
n				n
n				n
O	11		2		22	2	.
			1			1
n				n
n			2	n		2
		21	2		12	2

Отношение перекрестных произведений принимает значения из диапазона

(0; ), где значение 1 соответствует отсутствию связи. Это довольно необычно.

Более привычный диапазон значений получается при работе с натуральным логарифмом отношения преобладаний L lnO или L lnO , который изменяется в пределах от ( ; ), имея для случая отсутствия связи значение 0.

1.4 Меры связи для таблицы сопряженности r s

Меры связи, основанные на статистике Хи-квадрат

1) Фи-коэффициент (коэффициент Чупрова-Крамера)

Выборочное значение коэффициента рассчитывается по формуле (5). 2) Коэффициент сопряженности Пирсона [2, 3, 5, 8]

Выборочное значение коэффициента рассчитывается по формуле (6). Если связь между признаками отсутствует, то P 0. Чем ближе значение P к 1, тем теснее связь. Однако максимальное значение данного коэффициента зависит от числа строк и столбцов таблицы сопряженности и определяется по формуле

min(r 1,s 1) . Чтобы исправить этот недостаток, предлагаются следующие

1 min(r 1,s 1)

два коэффициента.

3) Коэффициент Чупрова Выборочное значение коэффициента рассчитывается по формуле [2, 3, 5, 8]:

			2
C			набл	.	(12)

	n	(r 1)(s 1)
	n	(r 1)(s 1)

Если r s, то коэффициент в пределе достигает значения 1. 4) Коэффициент Крамера

Выборочное значение коэффициента рассчитывается по формуле [2, 3, 8]:

		2
K		набл
			.	(13)
	n min (r	1),(s 1)

Предел коэффициента Крамера при росте числа наблюдений стремится к 1

независимо от числа строк и столбцов таблицы сопряженности. Для квадратных таблиц сопряженности (r s) K C. В остальных случаях K C.

При большом объеме выборки для коэффициентов Пирсона, Чупрова и Крамера можно построить доверительные интервалы, пользуясь следующими асимптотическими свойствами:

P N P;D(P)

, C N C;D(C)

, K

N K;D(K) .

Выборочные дисперсии оценок коэффициентов Пирсона, Чупрова и Крамера

рассчитываются по формулам:

n2S2

S2ˆ

, S

2ˆ

, S2ˆ

набл

набл)

4n2(r 1)(s 1)C2

4n2 min (r 1)(s 1) 2 K2

		2		r s			* 2	2	2	2		2
где	S	2			nij	nij		2	набл			2	– выборочная
		2	4					набл			4	набл
		2	4			n*		набл	n		4	набл
			i 1 j 1			n*			n
						ij

дисперсия статистики 2 .

Интерпретация значений коэффициентов Пирсона, Чупрова, Крамера сводится к следующему: квадрат коэффициента связи, выраженный в процентах, показывает насколько процентов изменение значения признака Y зависит от изменения значения признака Х или наоборот.

Коэффициенты сопряженности, основанные на статистике «Хи-квадрат», не позволяют описать зависимость категорий признака Y от категорий признака Х (и

наоборот) в терминах теории вероятностей.

Коэффициенты связи Гудмена и Краскала b, a ,

Коэффициенты b, a , имеют явную теоретико-вероятностную интерпретацию на всем диапазоне возможных значений от 0 до 1 и основаны на том,

что если признаки Х и Y зависимы, то информация о том, какое значение принял один из них, должна улучшить точность предсказания значения другого признака [2, 3, 7, 8].

Выборочное значение коэффициента b рассчитывается по формуле:

nimax n*max

b	i 1		,	(14)

		n n*max

где nimax – максимальная частота в i-ой строке;

n*max – максимальная частота итоговой строки (максимальная маргинальная частота среди n* j , j 1,s).

Коэффициент b асимметричный, т.к. характеризует зависимость Y от Х. Он показывает насколько снижается вероятность ошибки предсказания категории признака Y при известной информации о принадлежности наблюдения к классу признака X по сравнению с ситуацией, когда такой информации нет.

Если для случайно выбранного объекта нет никакой информации о категории признака Х, то в качестве прогнозного значения признака Y выбирается его наиболее вероятная категория, т.е. категория, которой соответствует наибольшая маргинальная частота итоговой строки выборочной таблицы сопряженности. Если известна категория признака Х, то в качестве прогнозного значения Y выбирается та категория, которой соответствует наибольшая наблюдаемая частота в соответствующей строке.

При большом объеме выборки для коэффициента b можно построить доверительный интервал, пользуясь следующим асимптотическим свойством:

;D( b ) .

Выборочная дисперсия статистики b

рассчитывается по формуле:

2 *n

n n

i 1

imax

i 1

imax

*max

imax

n n

*max

где *nimax – сумма только таких максимальных элементов строк nimax , для

которых значения I обеспечивают попадание в столбец, где находится наибольший итог n*max .

Коэффициент b обладает следующими свойствами:

1)если b 1, то существует взаимно-однозначная зависимость Y от Х;

2)если b 0, то признак Y не зависит от X, т.е. информация о категории

признака Х не улучшает прогноза категории признака Y.

Недостатком коэффициента b является то, что он обращается в 0, когда все nimax принадлежат одному столбцу, в котором находится n*max , но это не означает отсутствия зависимости Y от Х.

Коэффициент а эквивалентен коэффициенту b с учетом перемены строк и столбцов между собой. Коэффициент а асимметричный, характеризует зависимость Х от Y и показывает насколько снижается вероятность ошибки предсказания категории признака Х при известной информации о категории признака Y по сравнению с ситуацией, когда такой информации нет. Выборочное значение коэффициента a рассчитывается по формуле:

	s
	nmax j nmax*
	j 1		.	(15)
а

	n nmax*
Коэффициент à обращается в 0,		если максимальные частоты в столбцах

принадлежат одной строке.

Если при анализе таблицы сопряженности неважно зависит Х от Y или

наоборот, то рассчитывается коэффициент :

	r	s
	nimax n*max	nmax j	nmax*
	i 1	j 1		.	(16)
	2n nmax* n*max			.	(16)
	2n nmax* n*max
Коэффициент	используется	для	измерения		усредненной

(симметризованной) величины улучшения прогноза значений признаков и

удовлетворяет неравенству: min( a, b) max( a, b).

Коэффициенты связи Гудмена и Краскала b , а ,

Коэффициенты b ,

а ,

лишены недостатка -мер. Их отличие от

коэффициентов b , a , состоит в ином методе предсказания значения одного признака при известном значении другого. Категории прогнозируемого признака предсказываются случайным образом, соответственно вероятностям их появления в той или иной ситуации [2, 7, 8].

Для характеристики зависимости признака Y от Х рассчитывается коэффициент b :

	r s n nij ni* n* j 2

			n
	i 1j 1		n
b			i*		.	(17)
b			s		.	(17)
		2	s	2
		2		2
	n n		n* j
			j 1

Для характеристики зависимости признака Х от Y рассчитывается коэффициент à:

	r s n n n			n	2
			ij i*	* j
			n* j
	i 1 j 1					.	(18)
а	i 1 j 1
а		2	r
			r
			2
	n n		ni*
			i 1

Значение коэффициента а , умноженное на 100%, показывает насколько процентов уменьшится неправильный прогноз категории признака Х для случайно взятого объекта при условном пропорциональном прогнозировании по сравнению с безусловным пропорциональным прогнозом.

Симметричный коэффициент связи рассчитывается по формуле:

s n n

* j

i 1

j 1

n* j

ni*

(19)

2n2 ni2* n*2j

i 1

j 1

Коэффициент удовлетворяет неравенству: min( a, b) max( a, b).

Меры связи для таблиц сопряженности порядковых признаков

Если признаки X и Y являются порядковыми и их значения x1,x2,...,xr и

y1,y2,...,ys упорядочены по убыванию рангов, то дополнительно к ранее

рассмотренным мерам связи можно рассчитать ранговые коэффициенты корреляции

(порядковые меры связи) [2, 3, 7].

Рассмотрим две комбинации возможных значений признаков X и Y:						(xi,yj ),
(xi , yj ). Введем следующие обозначения:
S – количество наблюдений, для	которых			одновременно либо xi		xi и
r 1s 1		r	s
					;
yj yj , либо xi xi и yj yj , S nij			nkl		;
i 1 j 1	k i 1l j 1

D – количество наблюдений, для которых либо xi xi					и yj yj , либо xi				xi
r 1 s		r	j 1
и yj yj , D nij nkl ;
i 1 j 2	k i 1l 1
					r s 1		s
Tx – количество наблюдений, для которых xi xi , Tx								;
Tx – количество наблюдений, для которых xi xi , Tx				nij			nil	;
					i 1j 1	l j 1

Ty – количество наблюдений, для которых yj yj , Ty	s r 1		r
Ty – количество наблюдений, для которых yj yj , Ty	nij			nkj .
	j 1i 1	k i 1

Тогда если между признаками X и Y сильная связь, то число S велико, а число

D мало. Поэтому порядковые меры связи основаны на вычислении разности S D,

аотличаются между собой способом нормирования этой разности.

1)-мера Гудмена и Краскала

Выборочное значение коэффициента рассчитывается по формуле [2, 7]:

S D	, [ 1; 1].	(20)

S D

Коэффициент интерпретируется как разность вероятностей правильного и неправильного порядка для двух объектов, случайно извлеченных из совокупности

при условии, что совпадающих рангов нет.

2) k -мера Кендалла

Выборочное значение коэффициента рассчитывается по формуле [2, 7]:

	2(S D)
k		, k	[ 1; 1].	(21)


	(S D Tx)(S D Ty)

Это известный ранговый коэффициент корреляции Кендалла, рассчитываемый

вслучае наличия множества одинаковых рангов.

3)S -мера Стьюарта

Выборочное значение коэффициента рассчитывается по формуле [3]:

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]