Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Экономическое моделирование. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

510 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

2.1 Модель управления производством продукции																			61
Затраты центра составят:		Φ				n		1		X		2	=		33,0125.
												2

Прибыли предприятий:				= i 1 2ri							i
					∑=
	f1 = 2 2 −											4				= 2;

									(		2161			)
	f		=	2		4	−		(					)		=		4;
	f	2		2		4			(		2642			)				4;
		2									2642
	f3		=	2		8	−									=		8;
	f3			2		8					2		4					8;
											2		4
											169
	f4			2		13			(					)			15,4375;
	f4			2		13			(		16			)			15,4375;
			=					−			16				=
			=					−			169				=
	f5		= 2. .13 −											= 17,55
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	f5		= 2. .13 −								20. . .			= 17,55					. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Заметим, что для случаев 1 и 5 план в ситуации равновесия совпадает с полученным при использовании только имеющейся информации о границах [d, D]. Эти случаи являются самыми неблагоприятными режимами работы системы с точки зрения ее эффективности. Поэтому эффективность законов ЖЦ для этих случаев в точности равна Kо: дополнительная информация не дает эффекта.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Эффективность рассмотренного закона ЖЦ можно повысить, если ввести штрафы за искажение информации. Пусть на этапе реализации центр может оценить реальные затраты на выпуск продукции и тем самым реально достигнутое значение эффективности ai = x2i /(2zi) ri. Это позволяет ввести в целевую функцию составляющую, соответствующую штрафу при отклонении ai от сообщенной оценки si. Рассмотрим случай «сильных штрафов», когда единственной разумной стратегией предприятия является совпадение реальной ai и планируемой si эффективности. Так как ai ri, то сообщаемая оценка в случае сильных штрафов также должна удовлетворять условию si ri. При этом zi = x2i /(2ai) = x2i /(2si), и целевая функция (2.1) примет вид

fi (s) = λxi (s) − 21si x2i (s) = sSiR (λ − 2RS ) .

Покажем, что если λ R/(2S) , то s = r — единственная ситуация равновесия: при λ R/(2S) оба сомножителя si/S и λ − R/(2S) являются возрастающими функциями si, следовательно, fi (s) — возрастающая функция si. Поэтому максимальное значение fi (s) достигается на границе si = ri. Таким образом, установив достаточно высокую цену продукции, центр может обеспечить оптимальное функционирование системы (в смысле минимизации затрат на производство продукции), тогда коэффициент эффективности управления KЖЦ будет равен 1. Для этого достаточно

62	Глава 2. Модели функционирования производства

взять λ = R/(2nd). Однако цена продукции при малых значениях d может быть значительно больше, чем оптимальная цена λ˜ = R/H. Если же взять λ < R/(2nd), то возможен случай λ = R/(2H), игровой анализ которого является более сложным: достоверность оценок и оптимальность планов удается обеспечить только при достаточно высокой λ. Рассмотрим ситуацию с заниженной ценой на примере.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пример 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Жесткая централизация для случая сильных штрафов и низкой ценой

n = 5; R = 100; λ = 1; d = 1; ri = 5, i = 1 ÷ 5; H = 25.

Действуют принцип ЖЦ и «сильные штрафы».

Решение:

Имеем λ = 1 < R/(2H) = 2. Если все предприятия сообщают достоверные оценки, то Дi (s) = 20 (1 − 2) = −20. В этих условиях каждому предприятию выгодно сообщать минимальную оценку si = 1 (при условии, что все остальные сообщают достоверные оценки), т. е. ситуация s = r не является точкой Нэша. Проанализируем ситуации, в которых k предприятий сообщают достоверные оценки, а остальные — минимальную оценку:

а) случай, при котором k = 5 уже рассмотрен;

б)

4, S

4 5

1 21. Прибыль (потери) для предприятия, сообщившего

минимальную s

, равна

100

7, для остальных — 5

35;

( −

) ≈ −

(−

) = −

в)

3, S

17. Потери предприятий с минимальной оцен-

100

кой увеличатся и составят теперь

12, для остальных —

(

−

34 ) ≈ −

60;

(− ) = −

г) k = 2, S = 2 5 + 3 1 = 13. Потери предприятий, сообщивших минимальные оценки, равны −22, для предприятий, сообщивших достоверные оценки,

−110;

д) k = 1, S = 9. Потери предприятий, сообщивших минимальные оценки, равны −50, для предприятий, сообщивших достоверные оценки, равны −250;

е) k = 0, S = 5. Прибыль всех предприятий равна −180.

Здесь ситуация (е) является единственной равновесной ситуацией, но не «разумной». Действительно, существуют ситуации (а), (б) и (в) более предпочтительные для всех предприятий. Тем не менее для осуществления этих ситуаций часть предприятий, а именно ситуации (б) и (в), либо все предприятия, т. е. ситуация (а), должны договариваться. При этом всегда существует соблазн обмануть «товарищей по договору» и получить меньшие потери. Таким образом, при низких ценах выбор наилучшей ситуации с точки зрения всех участников (предприятий) остается весьма противоречивой задачей.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 Модель управления производством продукции

2.1.3 Принцип открытого управления

Причина низкой эффективности принципа ЖЦ (при фиксированной цене) заключается в определенном противоречии интересов центра и предприятий: центр планирует выпуск продукции в объеме R, а предприятия в сумме «желают» выпускать V = ∑vi = λH. Если спрос и предложение различны R ≠ λH, то цели центра

и предприятий не совпадают. Отсюда и появляется желание предприятий исказить информацию о собственных возможностях, результатом чего и являются различия в оптимальных и фактических планах и затратах.

Возникает идея согласования интересов центра и предприятий. В качестве примера служит третий случай соотношения спроса и предложения, в котором спрос

совпадает с предложением (∑vi = R), поэтому у предприятий нет причин иска-

жать данные, и можно принять, что они будут сообщать достоверные оценки, т. е.

для разрешения конфликта достаточно установить цену λ

R H. Трудность со-

стоит в том, что центр не знает суммарную эффективность

предприятий H, а знает

= /

только ее допустимые границы nd

nD. Однако центр имеет оценки

следовательно, он знает оценку S

величины

полученные от предприятий,

1 2

{

}

«выгодного» для

H, оценку целевой функции предприятия λxi

xi и оценку λsi

= ∑

2si

предприятия плана v

λri. Попытаемся

устранить конфликт, опираясь на имею-

щуюся информацию.

−

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Для этого определим закон управления следующим образом:

λ (s) =

xi (s) = λ (s) si = si

(2.2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

При таком определении цены λ (s) план xi (s) обеспечивает макси-

мум функции λxi − 2si x2i , отражающей представление центра об

интересах предприятия. Будем называть ее функцией предпочтения предприятия.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Таким образом, при законе (2.2) каждое предприятие получает план, обеспечивающий максимум его функции предпочтения. Такой план будем называть согласованным.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Принцип открытого управления (ОУ) — это принцип, при котором все предприятия получают согласованные планы.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64	Глава 2. Модели функционирования производства

Принцип ОУ определяет единственный закон ОУ (2.2). Формально принцип ОУ можно записать в виде следующей задачи оптимизации, которая называется

задачей согласованного планирования: необходимо определить x 0, λ > 0, такие, что

i 1 2sixi2

min,

i 1 xi

→

∑

λxi

max

λz

(2.3)

−

(

−

)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Уравнение (2.3) называется условием совершенного согласования.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Проведем анализ полученного закона ОУ (определим точки Нэша). Подста-

вим (2.2) в целевые функции предприятий:
1				si		R2
fi (s) = λ (s) xi (s) −		xi2	(s) = si (1 −		)		.
	2ri			2ri		S2

Определим ситуацию равновесия. Для определения максимума приравниваем

первую производную нулю:

2R2

fi′ = (1 −

)

−

si (1 −

) =

2ri

Учитывая, что S = si + ∑j≠i

sj, и обозначив Si = ∑j≠i

sj, получим:

ri Si

s 1

2ri

si i

− srii

−

2si

r S

r s

−

2r s

i i

отсюда riSi

si+Si

. В результате

получаем следующее выражение для оценок

)

(

+ )

(

эффективности:

где Si

−

j i

sj .

(2.4)

Если решение этой

системы d

D, то s

— ситуация∑≠

равновесия.

предприятий

d, то ситуация равновесия

Если для некоторого

множества Q

определяется из условий:

= ri

i Q.

(2.5)

Единственная ситуация

равновесия:

•

при n

(

)

;

1: s1

0, s1

r1=

•

при n = 2: s1 = s2

< s2 и одновременно s2 = s1

< s1.

r1 + s2

r2 + s1

2.1 Модель управления производством продукции

Следовательно, единственное решение системы (2.4) s1 = s2 = 0 и ситуация равновесия s1 = s2 = d.

При n > 2 всегда имеется единственное решение.

Так как на практике решение системы нелинейных уравнений (2.5) представляет значительные трудности, оценки коэффициентов при ОУ можно рассчитывать итерационным методом. Расчет оценок производится за несколько шагов (итераций):

0-я итерация. В качестве первоначального приближения значения оценок коэф-

фициентов принимаются равными нижнему граничному значению d:

i s

(

)

1-я итерация. Значения оценок определяются через оценки,

рассчитанные на

0-й итерации:

)

i s 1

;

j 1, i j

(

( )

=∑≠

( )

j 1, i

+ =∑≠

k-я итерация. Значения оценок определяются через оценки, рассчитанные на

(k − 1)-й итерации:

∑ s(j k−1)

	i si k	) =	ri		j=1, i≠jn	.
	(	) =

ri + ∑ s(j k) j=1, i≠j

Итерации продолжаются до тех пор, пока для всех i не выполнятся условия:s(i k) − s(i k−1) < ε, где ε — заданная точность вычислений.

Отклонение точки Нэша s от достоверного значения r будем оценивать величиной степени достоверности информации:

n, χ

max

(

) =

i S

−i

Учитывая, что Si (n − 1) d, ri D, получаем

0 J (n, χ)	D	=	1	, 0 < χ 1.
	(n − 1) d + D		1 + (n − 1) χ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Итак, ситуация равновесия существует и она единственная.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Оценим эффективность закона ОУ.

Во-первых, lim J (n, χ) = 0, следовательно, si ≈ ri при достаточно большом

n→∞

количестве предприятий. Тогда xi ≈ x˜i и KОУ ≈ 1. Таким образом, при достаточно большом числе предприятий закон ОУ является квазиоптимальным законом управления, т. е. обеспечивает близость равновесного плана к оптимальному. Дополнительное свойство: близость сообщаемых оценок к достоверным. Цена продукции в этой ситуации — λ ≈ R/H = λ˜.

66 Глава 2. Модели функционирования производства

Рассмотрим ситуацию, когда в системе имеется одно предприятие, коэффициент эффективности которого значительно выше суммарной эффективности остальных. Такое предприятие называют монополистом. Предположим, это первое предприятие.

Тогда, при достаточно большом числе предприятий n имеем:

H1,

>>H1

ri,

, где H1

ri;

≈

≈ j 2

2H ;

∑=

i 2 n.

2H1

Таким образом, монополист≈

в ситуации≈

равновесия= ÷

выпускает почти полови-

ну всей продукции, в то время как в оптимальном плане — почти всю продукцию.

Сообщая заниженную оценку коэффициента эффективности (s1

≈

r1), моно-

полист добивается повышенной цены продукции:

λ =

≈

= λ˜,

где

2H1

— цена, устанавливаемая центром при достоверной информации, и, следова-

тельно, получает «сверхприбыль»:

x 2

− 8r1

≈ 4H1

>> 2r1 (H1 + r1)2 ≈ 2r1

− 2r1

≈ 4H1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Таким образом, закон ОУ эффективнее закона ЖЦ. Но при малом числе предприятий, а особенно при наличии монополиста в системе, эффективность закона ОУ может быть весьма низкой. Дальше мы покажем, что в условии централизованного планирования можно предложить законы управления достаточно эффективные и при наличии монопольной организации.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пример 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Функционирование производства в случае ОУ

Рассматривается принцип открытого управления. Имеется 40 предприятий со следующими характеристиками:

2.1 Модель управления производством продукции

N = 40, r1 = 400, ri = 2 (i = 2, 40) , d = 2, D = 500, R = 100.

Необходимо найти:

•оценки эффективности, сообщаемые предприятиями центру;

•цену продукции и планы предприятий, назначаемые центром.

Решение:

В нашем случае присутствует явный монополист — первое предприятие. При большом количестве предприятий с малой эффективностью все они будут сооб-

щать примерно реальные коэффициенты эффективности: si ≈ ri = 2 (i = 2, 40). Для предприятия-монополиста можно воспользоваться приближенной форму-

лой определения сообщаемой оценки:

s1 ≈ H1 = 39 2 = 78.

Тогда цена на продукцию будет

100

λ ≈

= 0,641.

2H1

156

Планы, которые получат предприятия:

x1 s

100

50;

2H1

156

i.=

x.i .= 2. .

1,282

2,. .40

156. . . .

Недостатком закона ОУ является искажение сообщаемой предприятиями информации о коэффициентах эффективности. Это искажение тем более значительно, чем больше разница между сообщаемыми оценками si и реальными коэффициентами эффективности ri.

Попытаемся устранить указанный недостаток введением дополнительных механизмов воздействия на предприятие.

Рассмотрим следующие виды открытого управления:

•дифференцированные цены;

•штрафы;

•адаптивный способ формирования данных;

•нормирование целевых функций.

Дифференцированные цены

Введем индивидуальные цены для каждого предприятия:

λi =	R		где ai =	xi2		zi	xi2
		,			,			.	(2.6)
	Si + ai			2zi			2ri

H + r1

68	Глава 2. Модели функционирования производства

Центр не может определить λi на этапе планирования, поскольку цена зависит от реальной эффективности ai, с которой работает i-е предприятие. Центр вычисляет норматив Si (из сообщаемых оценок эффективности предприятий) и сообщает предприятию i. Цену λi предприятие определяет самостоятельно на этапе реализации по формуле (2.6). Подставляя закон планирования xi (s) = sSi R и закон ценообразования (2.6) в целевую функцию предприятия, получим

fi (s) = λixi −	1	2	=	siR2	−	si2R2		(2.7)
		xi					.
	2ai			S (Si + ai)		2aiS2

Заметим, что из ri 2zi x2i следует, что 0 < ai ri. Эти ограничения ai означают,

что предприятие не может работать с эффективностью, превышающей ri. Дифференцируя по si, получаем уравнение для равновесной стратегии

	R2		siR2		siR2		s2R2
fi′ (s) =		−		−		+	i	= 0.
fi′ (s) =	S (Si + ai)	−	aiS2	−	S2 (Si + ai)	+	aiS3	= 0.

Его единственное решение si = ai (т. е. единственной разумной стратегией поведения для любого предприятия является работа с такой же эффективностью, о которой предприятие сообщает центру). Подставляя решение в формулу (2.7), получаем

R2a

λi xi −

2 =

где A = j

1 aj.

(2.8)

2ai

2A2

Определим теперь оптимальные затраты zi i-го предприятия∑=

или реальный ко-

эффициент эффективности производства: ai

ri. Дифференцируя (2.8) по ai,

2zi

получаем

ai R

2ai

−

A 2 или, учитывая, что s

Приравнивая производную

нулю, получаем a

−

можно записать: si

S 2.

= /

. . . .=.

. ./. . .

. . .

. .

. . .

. .

. . . . . . . .

. . . . .

. .

Отсюда следует, что если ri

H 2 для любого предприятия, то

дифференцированных цен дает s

r, т. е. план

применение

оптимальным.

в ситуации равновесия совпадает с

= =

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Однако еслиrдляi

i-го предприятия ri

0, 5H, то si

0,5S

Hi,

0,5R

H R

x˜i

и план в

ситуации равновесия не является

оптимальным.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Тем не менее эффективность закона управления и в этом случае повышается.

Так, при r1

0,5H план в ситуации равновесия является оптимальным. В то же

≠

время для

закона ОУ при r

0,5H имеем x

x˜

2.1 Модель управления производством продукции

И только в случае монополиста (r1 0,5H) применение дифференциальных цен практически не дает эффекта по сравнению с законом ОУ. При n = 2 любая ситуация s2 = a, где d a min (r1, r2) является ситуацией равновесия.

Штрафы

Пусть центр планирует не только количество выпускаемой продукции, но и затраты на производство (либо другое: себестоимость, прибыль и т. д.). Обозначим через wi планируемую величину затрат, которая определяется на основе si, а имен-

но: wi

x .

2si

При любом отклонении реальных затрат z

от планируемых w предприятие

штрафуется. Пусть функция штрафа:

zii

θi

β wii

wi,

(

−

)

wi;

(

−

)

за занижение и завышение оценок затрат по срав-

где α, β — коэффициенты штрафа

нению с реальными

0, β

0 .

В этом случае

целевая функция предприятия примет вид

( >

)

fi (λ, xi, zi, wi) = λxi − zi − (−β) (zi − wi) . 1

Поскольку в системе без штрафов si

ri, а значит, wi

xi2

xi2, то доста-

2si

2ri

точно провести анализ ситуации wi

zi.

В этом случае целевая функция предприя-

тия будет выглядеть следующим

образом:

fi = λxi − (1 − β) zi − βwi = λxi − zi + β (zi − wi) .

Рассмотрим два случая штрафов:

1) случай слабых штрафов — si ri, 0 β 1. Здесь прибыль — убывающая

функция zi. Подставим zi = 2ri x2i в целевую функцию:

λxi

β β

xi2

λ2si

− (

−i

)

(

−

− (

−

i )

)

Дифференцируя функцию по si и учитывая, что λ = R/S, получаем

SiρSi

ρ Si

ri;

(2.9)

ρ)

иначе s

( −

(

−

)

(

)

где ρ = 1 − 2 − β;

70 Глава 2. Модели функционирования производства

2) случай сильных штрафов — β			1: прибыль — возрастающая функция zi.
В такой ситуации	единственное разумное поведение предприятий — мак-
		>

симизировать реальные затраты и установить их равными плановым за-

тратам: zi

wi (так как zi

wi). Тогда сообщаемые оценки будут равны

реальным

коэффициентам эффективности предприятий: s

Пусть β

1, тогда ρ

0, в этом случае мы получаем

следующую ситуацию

равновесия:

2S , S

2ri;

2ri.

ri,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ситуация равновесия для случая сильных штрафов совпадает с ситуацией равновесия для случая дифференцирования цен.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Эффективность закона ОУ также совпадает. Так, например, при наличии в системе монополиста применение даже сильных штрафов практически не дает эффекта.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Заметим, что даже в случае слабых штрафов может сложиться ситуация, когда все предприятия будут сообщать свои реальные оценки эффективности. Минимальное β, при котором s = r, опре-

деляется из условия 1 β H2 maxiri.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . .

. .

Пример 2.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Открытое управление в случае слабых штрафов

Дано:

= (

)

40,

1, 2, 4, 5, 8

, d

10,

20.

Действует

принцип открытого управления, причем центр ввел штрафы на от-

клонение от планируемых затрат: β

0,7.

Минимально возможное Si

(из

1), тогда

min

=ρ

2,154

следовательно, S1

1, S2(

−2

)

Для

остальных предприятий расчет сообщаемых оценок эффективности про-

водится итерационным методом по формуле (2.9). Рассчитывая Si для остальных предприятий, получаем: S3 = 4, S4 = 5, S5 = 7,091.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]