Теория оптимального управления вводный курс лекций. Учебное пособие

где u1 (t) и u2 (t) – те же, что в (2), g (t) – какое-нибудь частное решение уравнения (4).

В некоторых случаях частное решение уравнения (4) может быть легко найдено, например, если f (t) ≡ const = d ≠ 0, и q ≠ 0, то очевидно, что

функция g (t) ≡ d обращает уравнение (4) в тождество. q

В общем случае в качестве функции g (t) можно взять

П р и м е р 1. Найдем общее решение уравнения

x(t) − x(t) = 2, t [0,T ].

В данном случае u1 (t) = et , u2 (t) = e−t (см. Пример 1), g (t) = −2 .

Таким образом,

x(t) = c1et + c2e−t − 2 .

Здесь u1 (t) = sint, u2 (t) = cost,

t

g (t) = ∫(−sin s cost + coss sint)sds =

0

tt

=−cost∫s sin sds + sint ∫scossds =

00

=−cost (sint − tcost) + sint(cost + t sint −1) = t − sint .

Ответ: x(t) = c1 sint + c2 cost + t − sint – общее решение уравнения (6).

81

2. Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

Общее решение уравнения

x(t) + q(t) x(t) = r(t), t [0,T ]

имеет вид

Если задано конечное значение x(T ) = β , то после нахождения постоянной c получаем

где ν ≠ 1.

Решение этого уравнения сводится к решению линейного уравнения с помощью подстановки

82

Разделив обе части уравнения (1) на xν , получаем для z(t) линейное дифференциальное уравнение первого порядка

z + (1−ν ) p(t)z = (1−ν )q(t), t [0,T ].

Общее решение этого уравнения z(t,c) имеет вид (см. приложение 2)

где c – произвольная постоянная. Отсюда находим общее решение уравнения (1):

При этом x(t,c) определено для всех t, для которых определена правая часть (4).

83