Теория оптимального управления вводный курс лекций. Учебное пособие
.pdf
15. B( |
2,2); C (α,β ):(1−α )2 +(1− β )2 ≤1 . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
16. B |
5,1 ; C |
α,β |
|
:α 1,4 |
, |
β 1 |
,1 . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. B( |
2,5); C (α,β ):(1−α )2 + |
(3− β )2 ≤1 . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. B( |
2,4); C {(α,β ):1−α |
|
|
+ |
|
|
3− β |
|
≤1}. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
19. B( |
2,2); C {(α,β ):1−α |
|
+ |
|
1− β |
|
≤1}. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
( |
) |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
||||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
20. B |
3,1 ; C α,β |
|
:α 1,2 |
, |
β 1 |
,2 . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( |
) |
|
|
) |
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
α,β |
|
:α |
1 |
, |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2,3 |
|
|
|||||||||
21. B 1,3 ; C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,β |
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22.B(4,4); C {(α,β ):β 0,1 ,β +2≤α ≤ β +3}.
23.B(2,3); C {(α,β ):α 0,2 ,0≤ β ≤α}.
24.B(3,2); C {(α,β ):β 0,2 ,0≤α ≤ β}.
( ) |
|
|
) |
|
|
|
|
|
( |
α,β |
:α |
2 |
|
||||
25. B 1,2 |
; C |
|
1 |
,1 |
,β 0,1 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Оптимизация потребления при постоянной норме накопления
|
Динамика чистого конечного продукта |
y |
в замкнутой модели одноот- |
||||||||
раслевой экономики описывается уравнением |
|
0,T , |
|
|
|
||||||
|
|
|
y(t) = 1 y(t)−c(t) , t |
|
|
|
|||||
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
где |
B |
– |
коэффициент |
капиталоемкости, |
c |
– |
потребление |
||||
(0≤ c(t) ≤ y(t), t 0,T ). Считая заданным начальное состояние |
y(0) = y0 , ре- |
||||||||||
шить задачу максимизации интегрального дисконтированного потребления
T
C = ∫ e−λtc(t)dt при условии, что норма производственного накопления
0
α = y−y c остается постоянной на всем промежутке времени.
71
Варианты заданий
1.y0 =100; B = 3,5;4; T = 5,10,15,18; λ = 0;0,1;0,03.
2.y0 = 50; B = 3,8;4,2; T = 7,11,18,20; λ=0;0,2;0,01.
3.y0 = 75; B = 3;4; T = 5,7,10,15; λ=0;0,03;0,001.
4.y0 = 25; B = 2,8;3; T =10,14,18,22; λ=0;0,01;0,05.
5.y0 = 50; B =3;3,5; T = 6,8,10,12; λ=0;0,05;0,005.
6.y0 =100; B = 2,5;3; T = 5,10,15,20; λ=0;0,03;0,001.
7.y0 = 75; B = 3,2;3,5; T = 6,10,14,18; λ=0;0,02;0,003.
8.y0 = 25; B =3,5;4,1; T = 4,8,10,12; λ=0;0,01;0,004.
9.y0 = 50; B = 2;2,5; T = 5,7,9,11; λ=0;0,05;0,001.
10.y0 = 25; B = 3,1;3,5; T = 7,10,13,16; λ=0;0,03;0,08.
11.y0 = 50; B = 3,8;4,1; T = 3,7,11,15; λ=0;0,02;0,001.
12.y0 = 75; B = 4;4,5; T = 4,7,10,13; λ=0;0,07;0,005 .
13.y0 =100; B = 3,9;5; T = 6,10,14,18; λ=0;0,02;0,003.
14.y0 = 75; B = 4;4,5; T = 5,8,11,14; λ=0;0,01;0,004 .
15.y0 = 50; B = 3;5; T = 4,8,12,16; λ=0;0,03;0,005.
16.y0 = 25; B = 2,8;3; T = 9,12,15,18; λ=0;0,02;0,001.
17.y0 = 50; B = 2,5;3,2; T =10,14,18,20; λ=0;0,01;0,003.
18.y0 = 75; B = 3,4; T =8,10,12,14; λ=0;0,03;0,005.
19.y0 =100; B = 2,7;3,2; T = 7,10,13,16; λ=0;0,01;0,002.
20.y0 = 25; B = 3,7;4,2; T = 5,7,10,15; λ=0;0,002;0,004.
21.y0 = 50; B = 3;3,5; T =3,8,9,12; λ=0;0,01;0,003.
22.y0 = 75; B = 3,2;3,7; T = 6,10,14,18; λ=0;0,02;0,001.
23.y0 =100; B = 3,4;3,9; T =8,11,14,17; λ=0;0,03;0,002.
24.y0 = 25; B = 2,8;3,2; T = 5,8,11,14; λ=0;0,02;0,001.
25.y0 = 50; B = 3,5;4; T = 4,8,12,16; λ=0;0,01;0,004.
3.Оптимизация потребления при кусочно-постоянной норме накопления
Решить задачу оптимального управления из задания № 2, считая, что
норма |
производственного накопления может измениться на промежутке |
|
0,T |
с заданного максимального значения α |
на заданное минимальное зна- |
72
чение α только один раз – в момент времени t 0,T . Управляющим пара-
метром считается момент переключения t . Сравнить значения C(tопт ),
С(t1 ) и Cmax (из соответствующего варианта задания № 2).
Варианты заданий
1. |
y |
=100; B = 3,5; T =10; λ=0,1; t |
= 5; α |
= 0,8; α = 0. |
|||||||||||||
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
y |
= 50; B = 3,8; T =18; λ=0,2; t = 9; α |
= 0,7; α = 0,1. |
||||||||||||||
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
y |
= 75; B = 3; T =10; λ=0,03; t = 7; α |
= 0,9; α = 0. |
||||||||||||||
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
y |
= 25; B = 2,8; T = 22; λ=0,01; t =11; α |
= 0,6; α = 0,2. |
||||||||||||||
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
y |
= 50; B = 3; T =12; λ=0,05; t = 6; α |
= 0,7; α = 0,3. |
||||||||||||||
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. |
y |
=100; B = 2,5; T = 20; λ=0,03; t =10; α |
=1; α = 0. |
||||||||||||||
|
0 |
= 75; B = 3,5; T =18; λ=0,02; t |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
y |
= 9; α |
= 0,8; α = 0,2. |
||||||||||||||
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
y |
= 25; B = 4,1; T =12; λ=0,01; t |
= 6; α |
= 0,7; α = 0. |
|||||||||||||
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. |
y |
= 50; B = 2,5; T =11; λ=0,05; t |
=8; α |
= 0,9; α = 0,1. |
|||||||||||||
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.y0 = 25; B =3,1; T =16; λ=0,03; t1 =8; α = 0,8; α = 0.
11.y0 = 50; B = 3,8; T =15; λ=0,02; t1 =10; α =1; α = 0.
12.y0 = 75; B = 4; T =13; λ=0,07; t1 = 9; α = 0,8; α = 0,3.
13.y0 =100; B = 5; T =14; λ=0,02; t1 =10; α = 0,7; α = 0,2.
14.y0 = 75; B = 4; T =14; λ=0,01; t1 =10; α = 0,9; α = 0.
15.y0 = 50; B =3; T =16; λ=0,03; t1 =12; α = 0,8; α = 0,3.
16.y0 = 25; B = 2,8; T =15; λ=0,02; t1 =10; α = 0,8; α = 0,4.
17.y0 = 50; B = 2,5; T = 20; λ=0,01; t1 =15; α = 0,6; α = 0.
18.y0 = 75; B = 3; T =14; λ=0,03; t1 = 7; α = 0,9; α = 0,2.
19.y0 =100; B = 2,7; T =16; λ=0,01; t1 =12; α =1; α = 0,3.
20.y0 = 25; B =3,7; T =15; λ=0,02; t1 =10; α = 0,7; α = 0,2.
21.y0 = 50; B = 3; T =16; λ=0,01; t1 =12; α = 0,6; α = 0,1.
22.y0 = 75; B = 3,2; T =14; λ=0,02; t1 =10; α = 0,8; α = 0,2.
23.y0 =100; B = 3,4; T =17; λ=0,03; t1 =14; α = 0,5; α = 0,1.
24.y0 = 25; B = 2,8; T =14; λ=0,02; t1 =11; α = 0,8; α = 0.
25.y0 = 50; B =3,5; T =16; λ=0,01; t1 =12; α = 0,9; α = 0.
73
4.Исследование простейших задач вариационного исчисления
Решить задачу вариационного исчисления. Литература: [7, с. 90–97, 114–116].
Варианты заданий
e • 2
1.∫t x dt→extr ; x(1) = 0;x(e) =1.
1
|
|
|
• 2 |
x(0) = 0;x(1) =1. |
2. |
1∫(1+t) x dt→extr ; |
|||
|
0 |
|
|
|
3. |
e • 2 |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
t x |
+2x dt→extr ; x(1) =1;x(e) = 0 . |
||
|
1 |
|
|
|
4. |
e |
• 2 |
x(1) =1;x(e) = 2. |
|
∫ |
|
|
||
|
x−t x dt→extr ; |
|||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
• 2 |
dt→extr ; x(1) = 3;x(2) =1. |
|
5. |
∫t2 x |
|||
|
1 |
|
|
|
6.3∫(t2 −1)x• 2 dt→extr ; x(2) = 0;x(3) =1.
2
7. |
e |
|
• 2 |
|
; |
( ) |
( |
e |
) |
= 0. |
|||
∫ |
|
|
|
|
|||||||||
|
2x−t2 x dt→extr |
x 1 |
= e,x |
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
1 • 2 |
• |
|
|
|
x(0) = 0;x(1) = 0 . |
|||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
+x x+12tx dt→extr ; |
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. |
e |
• 2 |
• |
|
|
x(1) = 0;x(e) =1. |
|||||||
∫ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
t x |
+x x dt→extr ; |
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. |
1 |
• 2 |
|
→extr ; |
x(−1) = x(1) =1. |
|
|||||||
∫ |
x |
+x2 dt |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11. |
1 |
• 2 |
|
|
|
x(−1) = −1;x(1) =1. |
|||||||
∫ |
x |
+4x2 dt→extr ; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
74
12. |
1 |
• |
2 |
|
|
∫ |
x |
+x2 |
+2x dt→extr ; x(0) = 0;x(1) = 0 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
13. |
1 |
• |
2 |
|
x(0) = 0;x(1) = 0 . |
∫ |
x |
+x2 |
+tx dt→extr ; |
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
14. |
e |
|
|
• 2 |
x(1) = e;x(e) = 0. |
∫ |
2x−t2 |
x dt→extr ; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 • 2
15.∫t2 x dt→extr ; x(1) = 3;x(2) =1.
|
1 |
|
|
|
16. |
e |
• 2 |
x(1) =1;x(e) = 2. |
|
∫ |
|
|
||
|
x−t x dt→extr ; |
|||
|
1 |
|
|
|
5.Задача оптимального управления для нелинейной модели макроэкономики
Построить оптимальное управление макроэкономикой, максимизирующее интегральное среднедушевое дисконтированное потребление. Управляющими параметрами считаются производительность труда x(t) и доля непроизводственного потребления u(t) . Считаются известными: коэффициент
прямых затрат a(t) ; производственная функция Кобба – Дугласа
F (t,K,L) = A(t)Kα Lβ с заданными коэффициентами эластичности по фондам (α ) , по трудовым ресурсам (β ) и заданным овеществленным научнотехническим прогрессом A(t) ; начальный объем K0 основных производственных фондов (ОПФ); конечный объем ОПФ KΤ ; минимально допустимый объем ОПФ Kmin ; динамика трудовых ресурсов L(t) ; коэффициент амортизации ОПФ μ (t) ; коэффициент дисконтирования потребления δ ; минимально допустимая доля потребления umin (t ) .
75
После перехода к относительным переменным k = K |
(фондовооружен- |
||||||||||||||
ность) и x = F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
(производительность труда) математическая модель задачи |
|||||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
принимает вид |
J (k,x,u) = T 1− a(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
u(t)x(t)e−δtdt → max , |
(1) |
|||||||||||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|||
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
L(t) |
k (t), t [0,T ], |
|
||||
k (t) = 1− a(t) 1− u |
(t) x(t) − μ (t) + |
(2) |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L(t) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K0 |
KT |
|
|
|
|
|
||||
|
|
k (0) = |
|
, k (T ) = |
|
, |
|
(3) |
|||||||
|
|
L(0) |
L(T ) |
|
|||||||||||
|
|
Kmin (t) |
|
|
|
|
α +β −1 |
|
|
α |
|
|
[0,T ]. |
|
|
|
k (t) ≥ |
|
; |
x(t) ≤ |
A(t)L |
(t)k |
|
(t), t |
(4) |
||||||
|
L(t) |
|
|||||||||||||
|
|
|
umin (t) ≤ u(t) ≤ 1, t [0,T ]. |
|
(5) |
||||||||||
Литература: [2, гл. 6].
Варианты заданий
1.
T = 20, K0 =170, KT = 400, Kmin =170, a(t) = 0,2e0,001t , Umin (t) = 0,2e0,05t ,μ (t) = 0,1+ 0,0025t, α = 0,2; β = 0,7;
A(t)=2,5; L(t)=150-0,1t; δ =0,15.
2.
T = 20, K0 =190, KT = 500, Kmin =180, a(t) = 0,15 + 0,00015t; Umin (t) = 0,55 + 0,01t;μ (t) = 0,1; α = 0,25; β = 0,75;
A(t)= 2+0,02t; L(t)= 155-0,5t; δ =0,14.
3.
T =10, K0 =180, KT = 400, Kmin =150, a(t) = 0,2 (1− 0,002t), Umin (t) = 0,6;μ (t) = 0,2; α = 0,3; β = 0,8; A(t)= 2,5e0,015t ;
L(t)= 120-t; δ =0,2.
4.
T = 20, K0 = 205, KT = 500, Kmin = 200, a(t) = 0,2 − 0,0025t, Umin (t) = 0,5;μ (t) = 0,1+ 0,0025t; α = 0,3; β = 0,8;
A(t)= 2,6 (1+0,015t); L(t)= 110+t; δ =0,1.
76
5.
T = 20, K0 =180, KT = 310, Kmin =120, a(t) = 0,2e−0,001t , Umin (t) = 0,3 + 0,002t;μ (t) = 0,12; α = 0,35; β = 0,85; A(t)= 2,8e0,015t ; L(t)= 130+0,05t; δ =0,2.
6.
T =15, K0 =1250, KT =1120, Kmin =1070, a(t) = 0,3e−0,001t , Umin (t) = 0,4;μ (t) = 0,12 − 0,002t; α = 0,3; β = 0,75;
A(t)= 2,7e0,03t ; L(t)= 150e0,005t ; δ = 0,08. 7.
T =15, K0 =1200, KT =1300, Kmin =1100, a(t) = 0,4;
Umin (t) = 0,3e0,002t ;μ (t) = 0,1 (1− 0,001t); α = 0,3; β = 0,7; A(t)= 3 (1+0,002t); L(t)= 200e0,01t ; δ = 0,1.
8.
T =12, K0 = 200, KT = 250, Kmin = 200, a(t) = 0,1+ 0,002t; Umin (t) = 0,25e0,001t ;μ (t) = 0,05 − 0,0001t; α = 0,2; β = 0,8;
A(t)= 3,5 (1-0,001t); L(t)= 250-2t; δ =0,15.
9.
T =14, K0 =150, KT = 200, Kmin =145, a(t) = 0,2e0,001t ,
Umin (t) = 0,6 (1+ 0,002t);μ (t) = 0,06; α = 0,15; β = 0,75;
A(t)= 3,2 (1+0,002t); L(t)= 200+t; δ =0,12. 10.
T =18, K0 =190, KT = 210, Kmin =180, a(t) = 0,2;
Umin (t) = 0,6 (1+ 0,001t);μ (t) = 0,08; α = 0,3; β = 0,7;
A(t)= 2,7 (1+0,002t); L(t)= 200+2t; δ =0,1. 11.
T = 20, K0 =150, KT = 200, Kmin =150, a(t) = 0,1 (1− 0,001t); Umin (t) = 0,5;μ (t) = 0,05 + 0,001t; α = 0,4; β = 0,7;
A(t)= 3,5; L(t)= 150-t; δ =0,12.
12.
T =16, K0 =140, KT =160, Kmin =130, a(t) = 0,25 (1+ 0,002t); Umin (t) = 0,6;μ (t) = 0,08 + 0,002t; α = 0,3; β = 0,7;
A(t)= 2,6e0,001t ; L(t)= 160+2t; δ =0,15.
77
13.
T =15, K0 =1400, KT =1350, Kmin =1200, a(t) = 0,3e0,001t ; Umin (t) = 0,4 (1+ 0,02t);μ (t) = 0,07; α = 0,2; β = 0,85;
A(t)= 3,2 (1-0,01t); L(t)= 250+2t;δ = 0,12.
14.
T = 20, K0 =170, KT = 230, Kmin =170, a(t) = 0,2e−0,02t ;
Umin (t) = 0,3 (1+ 0,01t);μ (t) = 0,06 − 0,001t; α = 0,35; β = 0,75;
A(t)= 3,5 (1+0,01t); L(t)= 150+t; δ =0,1.
15.
T =10, K0 =150, KT =180, Kmin =145, a(t) = 0,2e−0,01t ; Umin (t) = 0,4;μ (t) = 0,07 + 0,001t; α = 0,2; β = 0,8;
A(t)= 2,7; L(t)= 110+2t; δ =0,15.
16.
T = 20, K0 = 200, KT = 250, Kmin =190, a(t) = 0,1 (1+ 0,001t); Umin (t) = 0,5e0,002t ;μ (t) = 0,1− 0,001t; α = 0,25; β = 0,85; A(t)=3,2 e−0,02t ; L(t)= 110 e0,001t ; δ =0,1.
17.
T =16, K0 =180, KT = 220, Kmin =175, a(t) = 0,2; Umin (t) = 0,6e−0,01t ;μ (t) = 0,05; α = 0,3; β = 0,65; A(t)= 3,1e0,001t ; L(t)= 160e0,002t ; δ = 0,11.
18.
T =12, K0 =150, KT =180, Kmin =150, a(t) = 0,2e−0,001t ; Umin (t) = 0,7e−0,001t ;μ (t) = 0,09;α = 0,35; β = 0,6;
A(t)= 3,5e0,002t ; L(t)= 175 (1+0,001t); δ = 0,08.
19.
T = 20, K0 =190, KT = 210, Kmin =185, a(t) = 0,15; Umin (t) = 0,6e0,001t ;μ (t) = 0,1; α = 0,3; β = 0,7; A(t)= 2,8e0,003t ; L(t)= 150 (1+0,002t); δ = 0,08.
20.
T =15, K0 =170, KT = 200, Kmin =170, a(t) = 0,2e−0,001t ;
Umin (t) = 0,5 (1− 0,001t);μ (t) = 0,08; α = 0,35; β = 0,75; A(t)= 3,1e−0,002t ; L(t)= 100 (1-0,001t); δ = 0,12.
78
ПРИЛОЖЕНИЕ |
|
1. Решение линейного дифференциального уравнения |
|
второго порядка с постоянными коэффициентами |
|
1.1. Общее решение однородного уравнения |
|
x(t) + px(t) + qx(t) = 0, t [a,b] |
(1) |
с постоянными коэффициентами p и q представляется в виде линейной комбинации
x(t) = c1u1 (t) + c2u2 (t) , |
(2) |
где u1 (t),u2 (t) – два линейно независимых решения уравнения (1), c1,c2 –
произвольные постоянные.
Для нахождения u1 и u2 составляется характеристическое уравнение
λ2 + pλ + q = 0, |
(3) |
в котором коэффициентами при степенях λ (λ0 = 1) являются коэффициенты при производной соответствующего порядка в уравнении (1). После нахождения корней λ1,λ2 квадратного уравнения (3) можно найти u1 и u2 . Рассмотрим все возможные случаи.
Случай 1. Корни λ1 и λ2 – вещественные и различные (этот случай
имеет место, когда p2 − 4q > 0).
Здесь
u1 (t) = eλ1t ; u2 (t) = eλ2t
и
x(t) = c1eλ1t + c2eλ2t .
П р и м е р 1. Общее решение уравнения x(t) − 4x(t) = 0, для которого
характеристическое уравнение λ2 − 4 = 0 имеет корни λ1 = 2, λ2 = −2, за-
писывается в виде x(t) = c1e2t + c2e−2t .
79
Случай 2. Вещественный корень λ1 уравнения (3) является кратным:
λ = λ (этот случай имеет место, когда p2 − 4q = 0). |
|
|
|||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае |
|
|
|
|
||
|
|
|
u1 (t) = eλ1t ; |
u2 (t) = t eλ1t |
|
|
|
и |
|
|
x(t) = c1eλ1t + c2t eλ1t . |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
П р и м е р 2. |
Общее решение уравнения x(t) − 2x(t) + x(t) = 0 (для него |
||||||
характеристическое уравнение |
λ2 − 2λ +1 = 0, или |
(λ −1)2 = 0, |
имеет |
||||
кратный корень λ1 = 1) записывается в виде |
|
|
|||||
|
|
|
x(t) = c1et + c2 t et . |
|
|
||
|
Случай |
3. |
Уравнение (3) |
имеет комплексно |
сопряженные |
корни |
|
λ1 = α + β i, |
λ2 |
= α − β i , где |
i = |
−1 (этот случай имеет место, когда |
|||
p2 − 4q < 0). В этом случае |
|
|
|
|
|||
|
|
|
u1 (t) = eαt sin βt, |
u2 (t) = eαt cosβt |
|
||
и
x(t) = c1eαt sin βt + c2eαt cosβt .
П р и м е р 3. Общее решение уравнения x(t) − 2x(t) + 2x(t) = 0(для него
характеристическое |
уравнение |
λ2 − 2λ + 2 = 0 |
имеет |
корни |
λ1 =1+ i, λ2 = 1− i) записывается в виде |
|
|
||
|
x(t) = c1et sint + c2et cost . |
|
|
|
1.2. Общее решение неоднородного уравнения |
|
|
||
x(t) + px(t) + qx(t) = f (t), t [a,b] |
|
(4) |
||
с постоянными коэффициентами p,q и заданной функцией |
f (t) имеет вид |
|||
|
x(t) = c1u1 (t) + c2u2 (t) + g(t), |
|
|
|
80