Теория оптимального управления вводный курс лекций. Учебное пособие

4. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ

4.1.Постановка задачи. Основная теорема

Рассмотрим задачу оптимального управления

В этой задаче условие (4) представляет собой обобщение условия (4) из предыдущего параграфа, множество V t R × R задано и при каждом t задает ограничение на положение точки (x(t),u(t)). Таким образом, ограничение

(4) – смешанное ограничение, связывающее фазовую переменную x и

управляющую переменную u . Ограничение u(t) U, t [0,T ] , очевидно,

можно записать в виде (4), если положить

V t = V = R ×U .

Для формулировки достаточных условий оптимальности введем вспомогательные функции W (t, x) и R(t, x,u) . Функция R строится по функции

W , при этом роль функции R близка к той роли, которую играет в принци-

Заметим, что сумма первых двух слагаемых в правой части этого выражения представляет собой производную от функции W в силу системы (2):

где x(t) – траектория системы (2).

41

Допустимым процессом управления в задаче (1)–(4) называется пара

(x,u) KC1 [0,T ] × KC[0,T ] , удовлетворяющая условиям (2)–(4).

Основная теорема о достаточных условиях оптимальности. Пусть

функция W (t, x) и допустимый процесс управления (x,u ) таковы, что

Этот функционал обладает следующими свойствами:

1. Пара (x,u ), очевидно в силу условий а) и б), доставляет минимум этому функционалу на множестве всех пар (x,u), удовлетворяющих условию (4). 2. На множестве допустимых процессов управления исходный функционал I

42

Для завершения доказательства остается заметить, что множество допустимых процессов управления является подмножеством процессов управления, удовлетворяющих условию (4).

Заметим, что имеющуюся свободу в выборе функции W (t, x) можно

использовать, чтобы соответствующая функция R(t, x,u) допускала эффективное нахождение точек экстремума.

4.2. Примеры

Пример 1. Рассмотрим задачу.

в нуль выражение в круглых скобках):

∂W = −2x. ∂x

43

Такой W (t, x) является

W (t, x) = −x2 .

и для выполнения условия а) теоремы из всех возможных значений x следует выбрать наибольшее.

фике решения уравнения (7)). С учетом условий (8) и (9) нас интересуют

только траектории, выходящие из точки (0, 2) и заканчивающиеся в точке (5, 4) при всех допустимых управлениях u(t).

Все траектории, выходящие из точки (0,2) при управлениях u(t) [0,1] , образуют так называемую интегральную воронку, т.е. располагаются между «верхней» траекторией, соответствующей управлению u(t) = 1, и «нижней»

– соответствующей управлению u(t) = 0.

Для нахождения границ этой интегральной воронки следует решить две

44

и

Решая эти задачи (см. приложение 2), получаем

4et−5 ≤ x(t) ≤ 4, t [0,5].

Так как допустимые траектории удовлетворяют условиям (8) и (9) одновременно, они заполняют множество, представляющее собой пересечение двух построенных интегральных воронок. Это множество Vxt показано на рис. 8.

Рис. 8

4. Учитывая, что функционал I рассматривается только на допустимых про-

В силу монотонности функцииRпо x условию а) теоремы о достаточных условиях оптимальности удовлетворяет функция x (t), у которой при каждом t значение x(t) является наибольшим из всех допустимых значений. Другими словами, при каждом фиксированном t на рис. 8 надо выбирать

45

точку множества Vxt с максимально большой координатой x. Таким образом,

6. На рис. 8 эта траектория отмечена знаком «0».

Условие б) теоремы выполняется автоматически, так как множество VxT со-

5

I1 = I (x1,u1 ) = −4.

Пример 2. Рассмотрим задачу

46

2. Выберем W (t, x) так, чтобы R(t, x,u) не зависела от u . Для этого в ка-

честве W (t, x) возьмем решение уравнения 2 ∂W + x = 0:

∂x

W (t, x) = − x2 .

4

При этом окончательный вид функции R определяется равенством

1 def

R(t,x,u) = −2x2 +16x − x2x = −3x2 +16x = r(x).

2

Эта функция принимает максимальное значение, если x является решением

тавляет функции r(x) абсолютный максимум, поэтому из всех допустимых значений x в соответствии с условием а) теоремы о достаточных условиях оптимальности следует (при каждом t) выбрать значение, ближайшее к

x = 2 2 . 3

3. Построим, как и в примере 1, множество всех допустимых траекторий – пересечение двух интегральных воронок. Их границы находятся как решения

47

следующих четырех задач (последние возникают после подстановки в уравнение (18) «граничных» управлений u(t) ≡ 1 и u(t) ≡ 0 с использованием начального и конечного условий):

Множество Vxt для данного случая показано на рис. 9. На этом же рисунке штрихами показана прямая значений x, доставляющих максимальное

Рис. 9

4. V t =Vxt ×[0,1] = {(x,u): x Vxt , u [0,1]}, t [0,4].

5. Построение оптимальной траектории (траектории, удовлетворяющей усло-

вию а) теоремы): фиксируем t = t , находим сечение , из всех точек x

этого множества выбираем точку, ближайшую к x = 2 2 .

3

48

Впервой строке этой формулы на указанном промежутке точки кривой x = e2t ближе к точкам прямой x = 2 2 , чем остальные допустимые значения.

3

7. Оптимальное управление u(t) находится по x(t) с использованием уравнения (18):

49

8. Найдем Imin :

Пример 3. Воспользуемся достаточными условиями оптимальности для доказательства того, что найденный с помощью принципа максимума для за-

1. Зададим функцию W (t,x) равенством

W (t,x) = (T − t) x.

Отметим сразу, что

W(T ,x) ≡ 0,

ипоэтому условие б) теоремы о достаточных условиях оптимальности выполняется автоматически. Остается проверить условие а).

2.По выбранной W (t,x) построим функцию R:

R(t,x,u) = (T − t)xu − xu = (T −1− t)xu.

3. Для каждого t [0,T −1) функция (T −1− t)xu монотонно возрас-

тает по x и по u , поэтому пара (x (t),u (t)) = (x0 et ,1), где каждая компонента принимает максимальное из всех допустимых значений, удовлетворяет условию а).

4. Для каждого t (T −1,T ] функция (T −1− t)xu монотонно убывает по x и по u , поэтому пара (x (t),u (t)) ≡ (x0 eT −1 ,0), где каждая компонента принимает минимальное из всех допустимых значений, удовлетворяет условию а).

5. Из 3 и 4 следует, что процесс (x (t),u (t)), t [0,T ].

50